Bài giảng môn Toán học 11 - Một số phương trình lượng giác thường gặp

1- Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . Dạng : asinx + b = 0 ( a,bR ; a0 ) asin2x + bsinx +c = 0 ( a,b,cR ; a0 ).Cách giải : Đặt sinx = t (  t   1 ) . Đưa phương trình về phương trình bậc nhất ( bậc hai) theo t2- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosxMột số phương trình lượng giác thường gặp Đ22 - Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx* Dạng : asinx + bcosx = c (1) a, b, c R và a 0 , b  0 * Cách giải :Cách 1:Vì a  0 , chia hai vế của phương trình(1) cho a = tg  ta được:sinx + tg cosx = cos sin(x +) =cosrồiđặt  sinx + cosx = sinxcos+ cosxsin  =Ví dụ 1 : Giải phương trình sau Giải :cosx = 1 sinx + sinx + (a)cho 3 ta được :Chia hai vế của phương trình(a)Cách 2: Vì a 0 , b  0 nên, ta được:sinx+cosx =(2)= sin  = cos ; Khi đó (2) có dạng: Hay: sin(x + ) = Nên ta có thể đặt:Vì :+= 1(3)cossinx+ sincosx =asinx + bcosx = c (1) a, b ,c  R và a  0 , b  0 0Chia hai vế của phương trình (1) choVí dụ 2:Giải phương trìnhGiải:(b)Chia 2 vế phương trình (b) cho ta được :Vì :nên ta đặt(b’)phương trình (b’) trở thành sin2xPT cuối vô nghiệm vì  PT đã cho vô nghiệm* Chú ý : 1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi : c2  a2 +b2sinx = cosx = ;Phương trình (1) trở thành : + b= ca (b+c)t2 - 2at + c - b = o (x  +k2)2) Có thể đưa phương trình (1) về một phương trình đại số theo t = tg bằng cách áp dung các công thức3)Phương pháp đưa vào đối số phụ thích hợp cho các phương trình với hệ số bằng số , phương pháp chuyển sang t = tgthích hợp cho các phương trình chứa tham số Bài toán : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm sốy = Tập xác định : D = R Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y0   (2y0 +3 )2  1 + y02  3y02 + 12y0 + 8  0Giải:  y0 cosx + 2y0 = sinx - 3Gọi y0 là một giá trị của hàm số Ta có : yo = PT (*) có nghiệm  sinx - y0 cosx = 2y0 + 3 ( * )có nghiệm PT y0 =