Bài giảng Toán 11 - Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

 Dãy sốCấp số cộng Cấp số nhân§2.§3.§4. CHƯƠNG III Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân §1. Phương pháp quy nạp Toán học BÀI GIẢNG :§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCHoạt động 1: Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ n ” n = 1 : 2 > 1 (Đ) n = 2 : 4 > 2 (Đ) n = 3 : 8 > 3 (Đ) n = 4 : 16 > 4 (Đ) n = 5 : 32 > 5 (Đ)b) Q(n) có đúng với nN* không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n .§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1:Bước 2:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học:Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.Bước3 :Chứng minh rằng với nN* thì : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1)Giải: 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng. 2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có:Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh : Ví dụ 1:II. Ví dụ áp dụng :Sk+1=1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2Thật vậy: Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2 Vậy: (1) đúng với mọi nN*.1 1 + 3 =1 + 3 + 5 =1 + 3 + 5 + 7 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 =14= 229 = 3216= 4225 = 52 = 12+ 3+ 5+ 7+ 9n+...+(2n – 1)= n22.21.13.34.45.5.nMệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.Giải :Đặt An = n3 – n .1) Với n = 1, ta có : A1= 03 2) Giả sử với n = k  1, ta có:Ak = (k3 – k)3 (giả thiết quy nạp)3) Ta chứng minh Ak+1...3Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1= (k3- k) +3(k2+k)= Ak+ 3(k2+k)Ak3 và 3(k2+k)...3 nên Ak+13 .Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*. Ví dụ 2:Hoạt động 2: (Củng cố)Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p .Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .Dặn dò:1/ Nhớ học bài.2/ Làm Hoạt động 2/81 và BT 1, 2 trang 82 SGK.3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”.Baøi hoïc ñaõ KEÁT THUÙC