Bài giảng Toán 11 - Tiết 37: Phương pháp quy nạp toán học

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO PHÚ YÊNCHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔTHAM DỰ HỘI GIẢNG THAY SÁCH GIÁO KHOA LỚP 11Môn: Toán lớp 11Gv TRẦN QUỐC NAMSỰ BÍ ẨN CỦA NHỮNG VIÊN BIMệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*1 + 3 =BÀI TOÁN THỨ NHẤT1 1 + 3 + 5 =1 + 3 + 5 + 7 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 =14= 229 = 3216= 4225 = 52 = 12+ 3+ 5+ 7+ 9n+...+(2n – 1)= n22.21.13.34.45.5.nTiết37 §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chương IIIDÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂNBài toán: Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*.Bước 1 :Bước 2 : Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 1 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1. Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.Phương pháp quy nạp: =+ 2k + 2 – 1VT = 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) VT = 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1) hay 1 = 1. (*) đúng §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2 (*)Giải : 1) Khi :1 + 3 + 5 + 7+ . . . +(2 – 1) = 22) Giả thiết (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2n nn nTa sẽ chứng minh (*) đúng : khi n = k + 1 + [2(k + 1) – 1] k2= (k + 1)2 = VP.Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1. .1 1k kn = k 1 :n = 11 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n21 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2Ví dụ 1.1kk2(*) 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2BÀI TOÁN THỨ HAI1 1 + 2 =1 + 2 + 3 =1 + 2 + 3 + 4 =13610+ 2+ 3+ 4n+...+n n.(n + 1)2.31.23.44.5Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N* §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1. Ta có đẳng thức : Giải : 1) Khi :1 + 2 + 3 + 4 + . . . +2) Giả thiết (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + Ta sẽ chứng minh (*) đúng : VT = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k khi n = k + 1+ (k + 1)Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1. hay 1 = 1. (*) đúng VT = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k =n = k 1:n = 1+ (k + 1)1 + 2 + 3 + 4 + . . . + nVí dụ 2n nn1 11nn nk kk1kCMR 1 + 2 + 3 + 4 + . . + n§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC a)c)d)b)e)f)Với giá trị nào của số tự nhiên n thì 2n+1 > n2 + 3nn = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC *Lưu ý : Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:- Ở bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.- Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Ví dụ 3CMR với số tự nhiên n ≥ 4. Ta có : 	 2n+1 > n2 + 3n (*)1) Khi n = 4 : VT = 32; VP = 28. Nên (*) đúng.Giải : 2) Giả thiết (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 4. Tức là : 2k+1 > k2 + 3k (**) Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n = k + 1.Tức là : 2(k+1) + 1 > (k+1)2 + 3(k+1)Nhân 2 vế (**)cho 2 ta sẽ được: 2.2k+1 > 2(k2 + 3k) 2k+2 > 2k2 + 6k = 	(k + 1)2 + 3(k + 1) + k2 + k - 4 Vì k ≥ 4 nên k2 + k – 4 > 0 Do đó :2k+2 > (k + 1)2 + 3(k + 1) (đpcm). §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 2+ 4+ 6+ 8+ ... + 2n= n(n + 1)(n + 1)nBÀI TOÁN THỨ BABài tập về nhà : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức :§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Củng cố :Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*Bước 1 :Bước 2 : Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 1 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (hay n = k  p). Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1Phương pháp quy nạp :(hay n = p)(hay n  p, pN*)(p là số tự nhiên nhỏ nhất mà Mệnh đề Đúng)§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC