Bài giảng Toán khối 11 - Cấp số nhân

*CẤP SỐ NHÂNGiáo viên: Nguyễn Quang vinhTổ: Toán – Tin Trường THPT Vũ Tiên- Thái Bình*VÍ DỤ MỞ ĐẦUCho hai dãy số sau:1, Dãy hữu hạn: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64.2, Dãy vô hạn: 3, 9, 27, , 3n,Tìm quy luật của hai dãy số trên ?*Trả lời:Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số -2.Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số 3.Dãy số thứ nhất: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64.Tính chất chungDãy số thứ hai: 3, 9, 27, , 3n, Hai dãy số trên được gọi là các cấp số nhânKể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số không đổi*1.Định nghĩa.Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:(un) là cấp số nhân  n ≥ 2, un= un-1.qq: gọi là công bội.Nhận xétCấp số nhân hoàn toàn xác định khi biết một phần tử uk và q.*Ví dụ 1.Cho cấp số nhân có u1= -3 và q = -2Tính các phần tử u4, u5 ?Lời giải.*Nhận xét.- Nếu q = 0 thì un = 0, n ≥ 2.- Nếu q = 1 thì un = u1, n ≥ 1. Dãy (un) là dãy hằng số.*Đáp ánBắt đầu012345678910 Tìm dãy số lập thành cấp số nhânVí dụ 2A. 2, -4, 8, 16, -32, 64B. 4, 0, 0, 0, ,0,C. 0, 3, 0, 0,, 0,. D. Đáp án: B (q=0), D(q=1/3)*Ví dụ 3Cho dãy (un) xác định bởi: u1=2, un=3un-1+2,n ≥1. CMR dãy (vn) lập thành cấp số nhân.Đặt vn= un+1,n ≥1. Lời giải un-1= vn-1-1Ta có: n ≥1, vn-1= un-1+1 vn= un + 1=(3un-1+2)+1= 3(un-1+1) = 3.vn-1 Dãy (vn) lập thành cấp số nhân với công bội q = 3.*2. Tính chấtĐịnh lí 1.Nếu (un) là một CSN thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: uk2=uk-1.uk+1Chứng minh.- Nếu q = 0 thì có CSN: u1, 0, 0, , 0,Khi đó hiển nhiên có tính chất: uk2 = uk-1.uk+1, k ≥ 2.- Nếu q ≠ 0 thì định nghĩa CSN ta có: uk2 = uk-1.uk+1*Chú ý1. uk2 = uk-1.uk+1 không tương đương với Nếu uk ≥ 0,  k thì:Tồn tại hay không một CSN có u2009=-3; u2011=34 ?Không tồn tại, vì: u20102=u2009.u2011=-3.34=-102 0 và có u3=7, u5 = 9.Tìm u6 ?Lời giải.*Định lý 2. Số hạng tổng quát của cấp số nhânCho CSN (un) với công bội qTa có: Chứng minh:..Vậy:*Định lý 3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.Cho CSN (un) công bội q. Đặt: Sn=u1+u2++unNếu q=1 thì un= u1,n Sn=n.u1Nếu q≠1 thì ta có kết quả sau:*Bài toán 1.Một ngân hàng quy định việc gửi tiền tiết kiệm theo kì hạn như sau: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút thì toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn mà người gửi đã gửi”. Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng với lãi suất kì hạn này là 0,4%.1. Nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến rút tiền thì số tiền rút được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu ?2. Với câu hỏi như trên, với giả thiết 1 năm sau người gửi mới đến rút tiền.?*Giải.Nếu người gửi a đồng, thì sau một tháng người đó thu được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu?Số tiền của người đó sau một tháng bằng tổng tiền gốc và tiền lãi, do đó có:a +a.0,004 = a.1,004 (đồng)Đặt un là số tiền rút ra sau n tháng.Khi đó (un) là CSN với công bội q=1,004u1=107.1,004 (đồng)  un= u1.qn-1=107.1,004.(1,004)n-1 ,n ≥ 1.Sau 6 tháng, số tiền là:u6= u1.q5=107.1,004.(1,004)5=10243473 (đồng)Sau 12 tháng, số tiền là:u12= u1.q11=107.1,004.(1,004)11=10490721(đồng)*Bài toán 2.(Vua Ấn Độ không đủ thóc để trả cho người phát minh bàn cờ vua)Tục truyền vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ vua được chọn một phần thưởng. người đó xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ: ô thứ nhất 1 hạt thóc, ô thứ 2 hai hạt cứ như vậy số thóc ở ô sau gấp đôi số thóc của ô trước cho đến ô cuối cùng. Hãy tính số hạt thóc để rải kín các ô bàn cờ?*Giải.Số hạt thóc để làm phần thưởng chính là tổng 64 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u1 = 1, q = 2S64 = 264 – 1. Cứ cho rằng 1000 hạt thóc nặng 20g thì khối lượng thóc là 369 tỉ tấn.Nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt trái đất thì sẽ được 1 lớp thóc dày 9mm. Hỏi nhà vua làm sao có được lượng thóc khổng lồ như vậy.*Bài toán 3. (nghịch lí Zê-nông)Asin – một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người có đôi chân chạy nhanh như gió đuổi theo con rùa trên một đường thẳng. nếu lúc xuất phát rùa ở điểm A1 cách Asin một khoảng a thì mặc dù chạy nhanh hơn, Asin cũng không bao giờ có thể đuổi kịp rùa.*Giải.Thật ra, nghịch lý nổi tiếng của Zê-nông đã không chú ý đến tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn chỉ là một số hữu hạn*Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:1. Mỗi CSN có u1>0 và 00 và q>1 là một dãy số:.A. TăngB. GiảmC. Không tăng,không giảm3. Mỗi CSN q>1 là một dãy số giảm khi:A. u1>0B. u1 0 và u3=7, u5=9. Tính u6 ?Giải.Do q > 0 u4 > 0,u6 > 0*(un) là cấp số nhân  n ≥ 2, un= un-1.quk2 = uk-1.uk+1um=uk.qm-k (Với u1≠ 0, q≠ 0, m ≥ k)KẾT LUẬN*bµi tËp vÒ nhµGhi nhớ định nghĩa, tính chất trong bài học2. Làm hoàn chỉnh các bài tập 1-6 SGK.