Bài giảng Toán Lớp 7 - Chủ đề: Các đường đồng quy của tam giác

(Lưu ý: Chủ đề ôn tập chương III các em không ghi kiến thức mà 
chỉ ghi ví dụ vào tập bài học và làm bài tập thôi nhé).
CHỦ ĐỀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
(Thời gian: 4- 9/5/2020)
*Tính chất ba đường cao của tam giác- Luyện tập:
I.Kiến thức:
-Đường cao của tam giác: là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường 
thẳng chứa cạnh đối diện của đỉnh đó.
I CB
A
 AI là một đường cao của tam giác ABC.
-Tính chất ba đường cao của tam giác: 
+Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
L K
I CB
A
 H A
I
B
C

H
C
B
LK
I
A
 -Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng 
với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng 
xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. 
CIB
A
II. Bài tập:
Ví dụ: Cho hình vẽ:
Chứng minh NS  LM.
GT  LMN có MQ  LN ( Q  LN), LP  MN (P  NM)
 LP cắt MQ tại S
KL NS  LM
Sơ đồ phân tích:
 NS  LM
 S là trực tâm của  NML
 LP cắt MQ tại S
 LP  MN MQ  NL
Trình bày: 
Trong  NML có:
LP  MN nên LP là đường cao
MQ  NL nên MQ là đường cao
Mà LP cắt MQ tại S
Suy ra S là trực tâm của  NML
Do đó NS là đường cao
Vậy NS  LM
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hình vẽ:
CF
E
BDA
Chứng minh BE  AC.
CHỦ ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG III
I .Kiến thức cần nhớ ( Không cần ghi)
1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác
Định lý 1: Trong một tam giác ,góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
Định lý 2: Trong một tam giác ,cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên,Đường xiên và hình chiếu 
* Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên:
GT  ABC, AC > AB
KL > B

C

GT  ABC, > B C
KL AC > AB
AH: đường vuông góc từ A đến d.
AB: đường xiên từ A đến d.
H: hình chiếu của A trên d.
HB: hình chiếu của đường xiên AB trên d
Định lí về đường vuông góc và đường xiên
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường 
thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất
 AH< AB
Định lí về các đường xiên và hình chiếu của chúng:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường 
thẳng đó :
a/ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn ;
b/ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn ;
c/ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau , và ngược lại,nếu 
hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
a) Nếu HB>HC=>AB>AC
b) Nếu AB>AC=>HB>HC
c) Nếu HB=HC=>AB=AC
Nếu AB=AC=>HB=HC
*Quan hệ giữa ba cạnh trong tam giác; bất đẳng thức tam giác 
1. Định lý : Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn 
độ dài cạnh còn lại.
2. Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn 
độ dài cạnh còn lại
3. Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ 
dài của hai cạnh còn lại
Trong tam giác ABC, ta có:
|AB−AC| < BC < AB+AC
Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
1. Đường trung tuyến của tam giác
Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác đầu 
kia là trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.
GT  ABC
KL AB+AC >BC 
AB+BC >AC
AC+BC > AB
 AD là một đường trung tuyến của ABC∆
* Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Định lý: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách 
đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
23
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
G là trọng tâm của ∆𝐴𝐵𝐶.
Tính chất tia phân giác 
của một góc.
I.Kiến thức cần nhớ:
* Định lý 1( định lý thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều 
hai cạnh của góc đó. 
* Định lý 2 ( định lý đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của 
góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
M nằm trong góc xOy
MA = MB
MA Ox; MB Oy
* Nhận xét: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của 
góc là tia phân giác của góc đó.
Tính chất ba đường phân giác của tam giác
1. Đường phân giác của tam giác
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M.
+ Đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC
+ Đường thẳng AM cũng được gọi là đường phân giác của tam giác ABC.
+ Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
GT  ABC
AD, BE, CF là các đường trung tuyến.
G là trọng tâm.
KL 𝐴𝐺
𝐴𝐷 = 𝐵𝐺𝐵𝐸 = 𝐶𝐺𝐶𝐹 = 23
̂𝑥𝑂𝑧 = ̂𝑧𝑂𝑦 z
Tính chất:
Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường 
trung tuyến ứng với cạnh đáy.
 cân tại A. Nếu AM là đường phân giác thì AM cũng là đường trung tuyến ∆𝐴𝐵𝐶 
( MB=MC)
2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này 
cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Tam giác ABC có ba đường phân giác giao (cắt) nhau tại I, khi đó:
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
1. Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng
Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là 
đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Trên hình vẽ trên, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
2. Định lí 1:
Điểm nằm trên đường trung trực của một 
đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn 
thẳng đó.
GT : d là đường trung trực của đoạn 
 thẳng AB, M∈d
 KL : MA=MB
Định lí 2:
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn 
thẳng đó.
GT H là trung điểm của đoạn thẳng 
AB
 MA=MB 
 KL M∈d
3. Nhận xét
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của 
đoạn thẳng đó.
Tính chất ba đường trung trực của tam giác.
I.Kiến thức cần nhớ:
1. Đường trung trực của tam giác
- Trong một tam giác, đường trung trực của một cạnh gọi là một đường trung trực 
của tam giác đó.
H
Trong hình vẽ trên, d là đường trung trực ứng với cạnh BC. Khi đó ta nói đường 
thẳng d là đường trung trực của ∆𝐴𝐵𝐶
- Mỗi tam giác có ba đường trung trực.
Định lí 1: 
Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung 
tuyến ứng với cạnh này.
GT: ΔABC cân tại A
 AM là đường trung trực của cạnh BC
KL: MB=MC
2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Định lí 2:
Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba 
đỉnh của tam giác đó.
GT: ΔABC
 a là đường trung trực của AC
 b là đường trung trực của BC
 c là đường trung trực của AB
 b,c cắt nhau tại O: O nằm trên đường thẳng a
 KL OA=OB=OC
*Chú ý: 
-Vì điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nên có một 
đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A,B,C. Đó là đường tròn 
ngoại tiếp ΔABC 
- Trong tam giác đều, đường trung trực cũng là đường phân 
giác và cũng là đường trung tuyến.
II.Bài tập:
Ví dụ:
Cho cân tại . Kẻ .ABC A AM BC  M BC
a) Chứng minh: .ABM ACM  
b) Chứng minh: là đường trung tuyến của .AM ABC
c) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh: MA D MA MD
.ABM DCM  
GT  ABC cân tại A 
 AM  BC ( M  BC)
 MA = MD 
KL a)  ABM =  ACM
 b) AM là đường trung tuyến của  ABC
 c)  ABM =  DCM
a) Sơ đồ phân tích:
  ABM =  ACM
 AM là cạnh chung
A A 90AMB AMC   AB AC
 ( AM  BC ) (  ABC cân tại A) 
b) Sơ đồ phân tích:
 AM là đường trung tuyến
 BM = MC
  ABM =  ACM ( chứng minh trên)
c) Sơ đồ phân tích:
  ABM =  DCM
 AM = DM (gt) BM= CM ( cmt)A AAMB CMD
 ( Hai góc đối đỉnh)
Trình bày:
a) Chứng minh: ABM ACM  
Xét và ta có:ABM ACM
 ( )A A 90AMB AMC   AM BC
 ( cân tại )AB AC ABC A
 là cạnh chungAM
Do đó (ch.cgv)ABM ACM  
b) Chứng minh: là đường trung tuyến của .AM ABC
Ta có (cmt)ABM ACM  
 (hai cạnh tương ứng)BM CM 
 là trung điểm của M BC
Vậy là đường trung tuyến của .AM ABC
c) Chứng minh: ABM DCM  
Xét và ta có:ABM DCM
 (gt)AM DM
 (cmt)BM CM
 (hai góc đối đỉnh)A AAMB CMD
Do đó (c.g.c)ABM DCM  
Bài tập tự luyện:
Bài 2: Cho  MNP cân tại M. Kẻ MK  NP ( K NP ).
a) Chứng minh:  MNK =  MPK.
b) Chứng minh: là đường trung tuyến của  MNP.MK
c) Trên tia đối của tia MK lấy điểm Q sao cho KM= KQ. Chứng minh  
MNK=  QPK.