Bài giảng Toán Lớp 9 - Phần 1, 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai, giải bài toàn bằng cách lập phương trình

THCS Tân Nhựt Đại số 9
Tuần từ 13/04/2020 đến 18/04/2020
CHỦ ĐỀ : BÀI TOÁN BẬC HAI
PHẦN 1, 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, GIẢI 
BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Phương trình quy về phương trình bậc hai:
1. Phương trình trùng phương:
Phương trình có dạng với được gọi là phương trình 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0
trùng phương.
Bằng cách đặt , với , ta được phương trình bậc hai theo ẩn t : 𝑡 = 𝑥2 𝑡 ≥ 0
𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0
Để giải phương trình với , ta làm theo các bước sau 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0
đây:
 Bước 1: Đặt ,. Điều kiện𝑡 = 𝑥2 𝑡 ≥ 0
 Bước 2: Giải phương trình bậc hai , tìm ra t𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0
 Bước 3: Với mỗi giá trị của t thỏa mãn điều kiện , giải phương trình 𝑡 ≥ 0
𝑥2 = 𝑡
 Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
Ví dụ 1: Giải phương trình 𝑥4 ‒ 3𝑥2 ‒ 4 = 0
Giải
Bước 1: Đặt ,. Điều kiện𝑡 = 𝑥2 𝑡 ≥ 0
Bước 2: Ta được phương trình bậc hai với ẩn t như sau:
 (1)𝑡2 ‒ 3𝑡 ‒ 4 = 0
(𝑎 = 1, 𝑏 =‒ 3, 𝑐 =‒ 4)
Giải phương trình (1)
ta có: ∆ = 𝑏2 ‒ 4𝑎𝑐 = ( ‒ 3)2 ‒ 4.1.( ‒ 4) = 25 > 0
THCS Tân Nhựt Đại số 9
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:⇒
 (loại)
𝑡1 = ‒ 𝑏 ‒ ∆2𝑎 = ‒ ( ‒ 3) ‒ 252.1 =‒ 1 < 0
 (nhận)
𝑡2 = ‒ 𝑏 + ∆2𝑎 = ‒ ( ‒ 3) + 252.1 = 4 > 0
 Bước 3: Với 𝑡 = 𝑡2 = 4⇒𝑥2 = 4⇒𝑥 =± 4 =± 2
 Bước 4: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 𝑥1 = 2, 𝑥2 =‒ 2
2. Phương tình chứa ẩn ở mẫu:
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Đối chiếu điệu kiện xác định với các kết quả vừa nhận được và kết 
luận nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu sau :
𝑥 ‒ 1
𝑥 + 1 ‒ 𝑥 + 1𝑥 ‒ 1 = 𝑥2𝑥2 ‒ 1
Giải
𝑥 ‒ 1
𝑥 + 1 ‒ 𝑥 + 1𝑥 ‒ 1 = 𝑥2𝑥2 ‒ 1
⬄𝑥 ‒ 1𝑥 + 1 ‒ 𝑥 + 1𝑥 ‒ 1 = 𝑥2(𝑥 + 1)(𝑥 ‒ 1)
Bước 1: Điều kiện xác định: và 𝑥 ≠ 1 𝑥 ≠‒ 1
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình ta được:
(𝑥 ‒ 1)(𝑥 ‒ 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 ‒ 1) ‒ (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 ‒ 1) = 𝑥2(𝑥 + 1)(𝑥 ‒ 1)
Bỏ mẫu hai vế của phương trình ta được:
 (𝑥 ‒ 1)(𝑥 ‒ 1) ‒ (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = 𝑥2
⬄(𝑥 ‒ 1)2 ‒ (𝑥 + 1)2 = 𝑥2
⬄𝑥2 ‒ 2𝑥 + 1 ‒ 𝑥2 ‒ 2𝑥 ‒ 1 ‒ 𝑥2 = 0
THCS Tân Nhựt Đại số 9
⬄ ‒ 𝑥
2 ‒ 4𝑥 = 0
⬄𝑥
2 + 4𝑥 = 0
Bước 3: Giải phương trình bậc hai 𝑥2 + 4𝑥 = 0
⬄ (nhận) hay (nhận)𝑥 = 0 𝑥 =‒ 4
Bước 4: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 𝑥1 = 0, 𝑥2 =‒ 4
3. Phương tình tích:
Để giải phương trình tích, ta áp dụng tính chất ⬄ hoặc 𝐴.𝐵 = 0 𝐴 = 0 𝐵 = 0Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:a) (1 ‒ 3𝑥)(2𝑥 + 5) = 0b) (𝑥 ‒ 1)(𝑥2 ‒ 4𝑥 + 3) = 0
Giải:
a) (1 ‒ 3𝑥)(2𝑥 + 5) = 0
⬄ hoặc 1 ‒ 3𝑥 = 0 2𝑥 + 5 = 0
⬄ hoặc 3𝑥 = 1 2𝑥 =‒ 5
⬄ hoặc 𝑥 = 13 𝑥 = ‒ 52
Vậy phương trình đã cho có nghiệm , 𝑥 = 13 𝑥 = ‒ 52
b) (𝑥 ‒ 1)(𝑥2 ‒ 4𝑥 + 3) = 0
⬄ hoặc 𝑥 ‒ 1 = 0 𝑥2 ‒ 4𝑥 + 3 = 0
⬄ hoặc 𝑥 = 1 (𝑥 ‒ 1)(𝑥 ‒ 3) = 0
⬄ hoặc 0 hoặc 𝑥 = 1 𝑥 ‒ 1 = 𝑥 ‒ 3 = 0
⬄ hoặc 𝑥 = 1 𝑥 = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 𝑥 = 1, 𝑥 = 3
II. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình: Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn 
là đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm).
THCS Tân Nhựt Đại số 9
Bước 2: Lập bảng
Đại lượng 1 Đại lượng 2 Đại lượng 3
Liên hệ lúc đầu
Liên hệ lúc sau
Phương trình
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
Ví dụ: Giải bài toán sau: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng 
trong một số ngày qui định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội 
đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian qui định 1 ngày và chở thêm 
được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi x (ngày) là thời gian đội xe chở hàng theo kế hoạch (x>1)
Bước 2:
Số hàng phải chở 
(tấn)
Số ngày phải chở
(ngày)
Số hàng mỗi ngày 
phải chở (tấn)
Kế hoạch 140 x 140𝑥
Thực tế 140+10=150 x-1 150𝑥 ‒ 1
Phương trình
150
𝑥 ‒ 1 ‒ 140𝑥 = 5
Bước 3:
Giải:
Gọi x (ngày) là thời gian đội xe chở hàng theo kế hoạch (x>1)
Vì thực tế mỗi ngày đội đó chở vượt kế hoạch là 5 tấn nên ta có phương trình:150
𝑥 ‒ 1 ‒ 140𝑥 = 5
⬄
150𝑥(𝑥 ‒ 1).𝑥 ‒ 140(𝑥 ‒ 1)𝑥(𝑥 ‒ 1) = 5𝑥(𝑥 ‒ 1)𝑥(𝑥 ‒ 1)
⬄150𝑥 ‒ 140(𝑥 ‒ 1) = 5𝑥(𝑥 ‒ 1)
THCS Tân Nhựt Đại số 9
⬄150𝑥 ‒ 140𝑥 + 140 = 5𝑥2 ‒ 5𝑥
⬄10𝑥 + 140 ‒ 5𝑥2 + 5𝑥 = 0
⬄ ‒ 5𝑥
2 + 15𝑥 + 140 = 0
⬄𝑥
2 ‒ 3𝑥 ‒ 28 = 0
⬄ (nhận vì 7 > 1) hoặc (loại vì -4<1)𝑥 = 7 𝑥 =‒ 4 
Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày.
B. Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình trùng phương sau:
a) 2𝑥4 ‒ 3𝑥2 + 1 = 0
Đặt , điều kiện𝑡 = 𝑥2 𝑡 ≥ 0
Ta được phương trình bậc hai với ẩn t như sau:
 (1)2𝑡2 ‒ 3𝑡 + 1 = 0
(𝑎 = 2, 𝑏 =‒ 3, 𝑐 = 1)
Giải phương trình (1)
ta có: ∆ = 𝑏2 ‒ 4𝑎𝑐 = ( ‒ 3)2 ‒ 4.2.1 = 1 > 0
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:⇒
 (nhận)
𝑡1 = ‒ 𝑏 ‒ ∆2𝑎 = ‒ ( ‒ 3) ‒ 12.2 = 12 > 0
 (nhận)
𝑡2 = ‒ 𝑏 + ∆2𝑎 = ‒ ( ‒ 3) + 12.2 = 1 > 0
 Với 
𝑡 = 𝑡1 = 12⇒𝑥2 = 12⇒𝑥 =± 12 =± 22
Với 𝑡 = 𝑡2 = 1⇒𝑥2 = 1⇒𝑥 =± 1 =± 1
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm 
𝑥1 = ‒ 22 , 𝑥2 = 22 , 𝑥3 =‒ 1, 𝑥4 = 1 
b) 𝑥4 ‒ 𝑥2 ‒ 6 = 0
THCS Tân Nhựt Đại số 9
c) 6𝑥4 ‒ 𝑥2 = 2𝑥4 + 4𝑥2 + 9
d) (𝑥2 ‒ 2)(𝑥2 + 4) = 𝑥2 + 12
Bài 2: Thực hiện kế hoạch mùa hè xanh, lớp 9A được phân công trồng 420 
cây. Lớp dự định chia đều số cây cho mỗi học sinh trong lớp. Nhưng đến giờ 
trồng cây, có 5 bạn vắng, vì vậy mỗi bạn phải trồng thêm 2 cây nữa so với 
quy định. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?