Bài ôn tập chương I – Đại số & giải tích 11 nâng cao

Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
A – LÝ THUYẾT:
§1. Hàm số lượng giác:
	1) Hàm số sin
	* Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R và TGT: G = [-1; 1]
	* y = sinx là hàm số lẻ.
	* y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2p.
	* Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:
 sinx = 0 khi x = kp; sinx = - 1 khi ; sinx = 1 khi , k Î Z.
	* Đồ thị hàm số y = sinx: (SGK):
	2) Hàm số côsin
	* Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R. TGT: G = [-1; 1]
	* y = cosx là hàm số chẵn.
	* y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2p.
	* Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:
cosx = 0 khi ; cosx = - 1 khi x = (2k + 1)p; cosx = 1 khi x = k2p, k Î Z.
	* Đồ thị hàm số y = cosx: (SGK):
	3) Hàm số tang
	* Hàm số y = tanx = có TXĐ: D = R \ và TGT: G = R.
	* y = tanx là hàm số lẻ.
	* y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = p.
	* Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:
 tanx = 0 khi tanx = - 1 khi ; tanx = 1 khi , k Î Z.
	* Đồ thị hàm số y = tanx: (SGK):
	4) Hàm số côtang
	* Hàm số y = cotx = có TXĐ: D = R \ {kp, k Î Z} và TGT: G = R.
	* y = cotx là hàm số lẻ.
	* y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = p.
	* Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:
 cotx = 0 khi cotx = - 1 khi ; cotx = 1 khi , k Î Z.
* Đồ thị hàm số y = cotx: (SGK):
§2. Phương trình lượng giác cơ bản:
	1) Phương trình sinx = a	(1)
	* Nếu ½a½ > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
	* Nếu a = -1 phương trình (1) có nghiệm ( x = - 900 + k3600).
	* Nếu a = 1 phương trình (1) có nghiệm ( x = 900 + k3600).
	* Nếu ½a½< 1: Gọi a là cung thỏa mãn sina = a. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là: x = a + k2p và x = p - a + k2p 
Nếu a thỏa mãn điều kiện và sina = a ta viết a = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là: x = arcsina + k2p và x = p - arcsina + k2p.
	Phương trình sinx = sinb0 có các nghiệm là: x = b0 + k2p và x = 1800 + k2p. 
	Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
	2) Phương trình cosx = a	(2)
	* Nếu ½a½ > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
	* Nếu a = -1 phương trình (1) có nghiệm x = (2k + 1)p ( x = (2k + 1)1800.
	* Nếu a = 1 phương trình (1) có nghiệm x = k2p ( x = k3600).
	* Nếu ½a½< 1: Gọi a là cung thỏa mãn cosa = a. Khii đó phương trình (1) có các nghiệm là: x = ± a + k2p.
Nếu a thỏa mãn điều kiện 0 £ a £ p và cosa = a ta viết a = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là: x = ± arccosa + k2p.
	Phương trình cosx = cosb0 có các nghiệm là: x = b0 + k3600.
	3) Phương trình tanx = a	(3)
	Điều kiện của phương trình (3): 
	Nếu a thỏa mãn điều kiện và tana = a thì phương trình (3) có nghiệm x = arctana + kp.
	Phương trình tanx = tanb0 có nghiệm x = b0 + k 1800.
	4) Phương trình cotx = a	(4)
	Điều kiện của phương trình (4): x ¹ kp.
	Nếu a thỏa mãn điều kiện 0 < a < p và cota = a thì phương trình (4) có nghiệm x = arccota + kp.
	Phương trình cotx = cotb0 có nghiệm x = b0 + k 1800.
§3. Một số phương trình lượng giác thường gặp:
	1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
	Các phương trình dạng at + b = 0 (a ¹ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
	Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
	2) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
	Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a ¹ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
	Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
3) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
	10 Dạng phương trình: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ¹ 0) (1)
	20 Cách giải: Tìm cách đưa phương trình trên về phương trình lượng giác cơ bản.
	* Cách 1: Nếu a ¹ 0, đặt phương trình được đưa về phương trình . Điều kiện để phương trình có nghiệm là c2 £ a2 + b2. Khi đó ta đặt , ta có phương trình cơ bản sin(x + j) = sina.
	* Cách 2: Chia cả hai vế cho số dương rồi biến đổi phương trình về dạng cơ bản , trong đó 
	* Cách 3: Xét hai khả năng:
	. Nếu x = p + k2p là nghiệm của phương trình Þ b + c = 0, phương trình viết được dưới dạng asinx + bcosx + b = 0 Û 
	. Nếu x = p + k2p không là nghiệm của phương trình, khi đó nên ta có thể đặt t = phương trình trở thành:
	 Û (b + c)t2 – 2at + c - b = 0. Vì x ¹ p + k2p Þ b + c ¹ 0 
Phương trình có nghiệm Û c2 £ a2 + b2.
Chú ý: 
	* Trong cách giải 1, có thể hoán vị vai trò a và b cho nhau.
	* Nếu trong cách giải 1, cung j không phải là các cung đặc biệt thì ta nên dùng cách 2.	
	* Đối với các phương trình chứa tham số, ta nên dùng cách 2.
	* Nếu c2 = a2 + b2 thì phương trình (1) trở thành sin(x + j) = 1 với 
	4) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
	* Dạng phương trình: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (2)
	* Cách giải: Nếu cosx ¹ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x để đưa về phương trình bậc hai đối với tanx. Nếu sinx ¹ 0, chia cả hai vế của phương trình cho sin2x để đưa về phương trình bậc hai đối với cotx.
	Chú ý: Đối với phương trình dạng asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d (2’) có hai cách giải cơ bản như sau:
	* Cách giải 1: Dùng công thức hạ bậc:
	(2’) Û a.
	* Cách giải 2: Đưa về dạng (2) bằng cách biến đổi như sau:
	(2’) Û asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)
	 Û (a – d)sin2x + bsinxcosx + (c – d)cos2x = 0
	* Cách giải 3: Thưc hiện như đối với phương trình (2)
Nếu cosx ¹ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x để đưa về phương trình bậc hai đối với tanx. Nếu sinx ¹ 0, chia cả hai vế của phương trình cho sin2x để đưa về phương trình bậc hai đối với cotx.
	5) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
	* Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)
	* Cách giải: Đặt t = sinx + cosx = 
	Khi đó: sinxcosx = , phương trình (3) được đưa về dạng phương trình bậc hai đối với t là bt2 + 2at + 2c – b = 0. Giải phương trình bậc hai này và nhận nghiệm t0 thích hợp, sau đó giải tiếp phương trình sinx + cosx = t0 = 
	Chú ý: Đối với phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcossx + c = 0 (3’), ta đặt t = sinx – cosx = Þ sinxcosx = , rồi giải như đối với phương trình (3) nói trên.
6) Phương pháp giải một số phương trình lượng giác khác:
	* Phương pháp 1: Một số phương trình lượng giác không ở dạng chính tắc đã học, ta có thể sử dụng các công thức lượng giác thích hợp để biến đổi đưa về dạng phương trình tích.
	* Phương pháp 2: Khi phép phân tích thành tích không thực hiện được, ta cố gắng biểu diễn tất cả các số hạng bằng một hàm số lượng giác duy nhất, đó là ẩn số mới của phương trình. Có thể chọn ẩn số mới bằng quy tắc sau:
	- Nếu phương trình không thay đổi khi ta thế:
	. x bởi – x, chọn ẩn là cosx.
	. x bởi p - x, chọn ẩn là sinx.
	. x bởi p + x, chọn ẩn là tanx.
	- Nếu cả ba cách đều thực hiện được, chọn ẩn là cos2x.
	- Nếu cả ba cách đều không thực hiện được, chọn ẩn là .
B – BÀI TẬP ÁP DỤNG:
	1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:	
	2. Khảo sát tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
	a) y = tanx + sinx;	b) y = cosx + sin2x; c) y = sinx.cos3x; d) y = sinx + cosx.
	3. CMR: hàm số y = ½sinx½ tuần hoàn với chu kỳ T = p. Vẽ đồ thị hàm số y = ½sinx½.
	4. Trên cùng một hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị các hàm số sau:	
	 a) y = sinx;	b) y = - sinx; 	c) y = ½sinx½; 	d) y = sin½x½. 
	5. a) CMR: các hàm số y = Asin(wx + a) + B và y = Acos(wx + a) + B là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ (A, B, w, a là những hằng số, Aw ¹ 0).
 	 b) CMR: các hàm số y = Atanwx + B và y = Acotwx + B là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ (A, B, w là những hằng số, Aw ¹ 0).
6. Tìm chu kỳ tuần hoàn của các hàm số sau:
	a) y = sin3x;	b) y = 3sin4x;	c) y = ;
	d) y = 	e) y = ½cosx½;	g) y = ½sinx½ + ½cosx½.
	7. Chứng minh rằng:
	a) ĐiểmA(kp; 0) ( với k Î Z) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = sinx.
	b) Đường thẳng x = kp (k Î Z) là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = cosx.
	c) Điểm ( với k Î Z) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = tanx.
	8. Từ đồ thị của hàm số y = tanx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau:
	a) y = 2tanx; 	b) y = tan2x; 	c) 
9. Phép tịnh tiến theo véc tơ biến đồ thị của mỗi hàm số sau thành đồ thị của hàm số nào? Vẽ đồ thị của các hàm số đó:
a) y = sinx; 	 b) y = cos2x – 1; 	 c) d) y = cos½x½- 1. 
10. Phép đối xứng qua điểm biến đồ thị của mỗi hàm số sau thành đồ thị của hàm số nào? Vẽ đồ thị của các hàm số đó:
a) y = cosx; 	b) y = cos2x; 	
11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
	12. Phép đối xứng qua đường thẳng D: y – 1 = 0 biến đồ thị của mỗi hàm số sau thành đồ thị của hàm số nào? Vẽ đồ thị của các hàm số đó:
	a) y = sinx; 	b) y = cosx + 1;	c) 
	13. Giải các phương trình lượng giác:
	 b) cot(300 – 3x) = c) tan5x.tanx = - 1;
	.
	14. Giải các phương trình lượng giác:
a) sin3x + cos3x = 1;	b) 
; g) 3tan2x – 4tan3x = tan23xtan2x
15. Giải và biện luận phương trình: 
	16. Cho phương trình: 2cos2x + (m + 4)sinx – (m + 2) = 0 (1)
	a) Giải phương trình (1) khi m = 2;
	b) Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm thuộc 
	17. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 
msin2x + 2(m + 1)sinx – 2(m – 3) = 0 (1)
	18. Giải phương trình:
	19. Giải các phương trình lượng giác sau:
	a) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x;	 b) sin3x + cos3x = cos2x;
	c) tanx + tan2x = tan3x; 	 d) sin2x + sin22x + sin23x sin24x = 2;
	e) 	 f) tanx + cot2x = 2cot4x;
	20. Biết rằng số đo (radian) của ba góc của DABC là nghiệm của phương trình: CMR: DABC đều.
	21. Cho phương trình cos2x – (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 
a) Giải phương trình khi m = 1,5;
b) Tìm m để phương trình có nghiệm 
22. Cho phương trình 
a) Giải phương trình khi m = 0,5;
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
	23. Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2p) của phương trình:
	24. Giải các phương trình: 
a) x2 + 2xsin(xy) + 1 = 0; 	b) (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x;
	c) sinxcosx = 1; 	d) sin3x + cos5x = 1.
	25. Giải các phương trình:
	a) 2sin3x + 2sin2xcosx – sinxcos2x – cos3x = 0;	
b) 2tanx + tan2x + 2tanxtan3x + tan2xtan3x = 0;
	d) 3tan2x – 4tan3x = tan2xtan23x; 
	e) tan2xcot22xcot3x = tan2x - cot22x + cot3x; f) 2cot2x - 3cot3x = tan2x.
	26. a) Giải phương trình: 
	 b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 
(ĐH An ninh 1998)
	27. Giải phương trình: (ĐH BK Hà nội 1998)
	28. a) Cho phương trình: (1)
	10 Giải phương trình khi m = 1;
	20 Khi m ¹ 0 và , phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm nằm trên đoạn [20p; 30p]? 
	b) Giải phương trình:cos3x + sinx – 3sin2xcosx = 0 (ĐH Huế 1998)
29. a) Giải phương trình: 
	b) CMR: trong tất cả các tam giác nội tiếp đường tròn cho trước thì tam giác đề có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998)
	30. a) Giải phương trình: 3cos4x – 2cos23x = 1
	b) Chứng minh rằng: DABC là vuông hoặc cân khi và chỉ khi: a.cosB – b.cosA = a.sinA – b.sinB. (ĐH Đà nẵng 1998)
	31. a) Giải phương trình: tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
	b) Giải phương trình: 
	c) Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 
(ĐH Giao thông vận tải 1998)
	32. Cho phương trình: 
	a) Giải phương trình khi 
	b) Xác định a để phương trình có nghiệm. (ĐH Kiến trúc Hà nội 1998)
	33. Cho phương trình: 
	a) Giải phương trình với m = 1/2.
	b) Xác định m để phương trình có nghiệm trong khoảng 
	(ĐH Kiíến trúc Hà nội 1998)
34. a) Giải phương trình: 
	b) CMR: DABC có góc tù khi và chỉ khi cos2A + cos2B + cos2C > 1.
(ĐH Kinh tế quốc dân 1998)
	35. a) Giải các phương trình: 
	b) CMR: " x Î ta đều có:
 	 (ĐH Luật Hà nội 1998)
	36. 	a) Giải phương trình: sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcoss2x.
	b) CMR: trong mọi DABC luôn có: 
(ĐH Ngoại ngữ Hà nội 1998).
	37. 	a) Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0
	b) DABC có . CMR: DABC vuông
(ĐH Ngoại ngữ Hà nội 1998).
38.	a) Giải phương trình: 
sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
	b) CMR: trong mọi DABC luôn có:
(ĐH Ngoại thương 1998)
39. 	a) Giải phương trình: 
cosx.cos4x + cos2x.cos3x = 0;
b) Tính các góc của DABC nếu trong tam giác đó, ta có:
	(ĐH Ngoại thương 1998)
	40. Giải phương trình: a) ;	b) 
(ĐH Nông nghiệp I 1998)
	41. a) Giải phương trình: 
	b) CMR: trong DABC, ta có:
(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
42. 	a) Giải phương trình: sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x);
	b) Cho DABC có các góa A, B, C thỏa mãn hệ thức: 
cosA + cosB + cosC = 2(cosAcosB + cosBcosC + cosCcossA). 
Chứng minh rằng: DABC đều. 	 (ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
	43. 	a) Giải phương trình: sin2x = cos22x + cos23x;
	b) Cho DABC. CMR: 
	44. Giải phương trình: 	(ĐH Sư phạm Vinh 1998)
	45. Giải phương trình: (ĐH Thái nguyên 1998)
46. 	a) Giải phương trình: (1 + sinx)2 = cosx;
	b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
(ĐH Thủy lợi 1998)
	47. Giải và biện luận phương trình theo m: 
(ĐH Xây dựng 1998)
	48. Xác định m để hai phương trình sau tương đương:
	2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x	(1)
	4cos2x – cos3x = m.cosx + (4 – m)(1 + cos2x)	(2)
(ĐH Y dược TP Hồ Chí Minh) 1998)
	49. Giải các phương trình:
	a) 2(cot2x – cot3x) = tan2x + cot3x;
	b) sin23x – sin22x – sin2x = 0.	(ĐH Y khoa Hà nội1998)
	50. Giải phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx).
(HV Công nghệ bưu chính viễn thông 1998)
	51. Giải phương trình: 
(HV Kỹ thuật Quân sự 1998)
	52. 	a) Giải phương trình: sin6x + cos6x = cos4x;
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
(HV Ngân hàng 1998)
	53. 	a) Giải phương trình: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 1,5;
	b) Các góc của DABC thỏa mãn: .
	CMR: DABC cân.	 (HV Quan hệ Quốc tế 1998)
	54. 	a) Giải phương trình: 
	b) DABC có đặc điểm gì, nếu các góc của nó thỏa mãn hệ thức: 
	 (ĐH An ninh 1999)
	55. 	a) Giải các phương trình: 
 b) CMR: trong DABC có (b2 + c2)sin(C – B) = (c2– b2)sin(C + B) thì DABC vuông hoặc cân. 	 (Phân viện báo chí và tuyên truyền)
	56. Cho hàm số f(x) = 3cos62x + sin42x + cos4x - m
	a) Giải phương trình khi m = 0;
	b) Cho Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f(x) = g(x) có nghiệm.	 (ĐH Cần thơ 1999)
	57. 	a) Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0;
	b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để DABC vuông là cos2A + cos2B + cos2C = 0.	 (ĐH Công đoàn 1999)
	58. 	a) Giải phương trình: 
	b) Tìm GTNN của hàm số f(x) = 2sin2x + 4sinxcosx + 
(HV Công nghệ bưu chính viễn thông 1999)
	59.	a) Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng của phương trình:
	sin24x – cos26x = sin(10,5p + 10x).
	b) DABC thỏa . CMR: DABC đều
(ĐH Dược Hà nội 1999)
	60. 	a) Cho hai phương trình: 3sin3x – 3cos2x + 7sinx- cos2x + 1 = 0 (1)
 cos2x + 3cosxsin2x – 8sinx = 0 	 (2)
	 Tìm tất cả các nghiệm của (1) đồng thời là nghiệm của (2)
	b) CMR: nếu trong DABC ta có thì DABC cân.	 (ĐH Hàng hải 1999)
	61. 	a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng 
	mcos22x – 4sinxcosx + m – 2 = 0
	b) Giải phương trình: 
	62. Giải phương trình: 	 (ĐH Huế 1999)
	63. 	a) Giải phương trình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x
	b) DABC thỏa mãn hệ thức: Chứng minh rằng DABC đều. 	 (ĐH Kinh tế Quốc dân 1999)
	64. 	a) Giải phương trình: 
	b) Cho DABC có các góc thỏa mãn C £ B £ A £ 900. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: 	 (ĐH Kiến trúc Hà nội1999)
	65. 	a) Giải phương trình: 
	b) CMR: nếu DABC có sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C thì DABC đều.	 (HV Kỹ thuật mật mã 1999)
	66. Giải phương trình: 2sin3x – sinx = 2cos3x – cosx + cos2x
(HV Kỹ thuật Quân sự 1999)
	67. 	a) Giải phương trình: 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1)
	b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = f(x) = sin20x + cos20x.
(ĐH Luật Hà nội 1999)
	68. 	a) Giải phương trình: tanx.sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx)
	b) Cho DABC, tìm GTNN của biểu thức: 
	 (ĐH Mỏ địa chất 1999)
	69. Giải phương trình: cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0
(HV Ngân hàng 1999)
	70. 	a) Giải phương trình: sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x;
	b) Các góc của DABC thỏa mãn: 
CMR: DABC đều. (ĐH Ngoại thương 1999)
	71. Giải phương trình: 2sin3x – cos2x + cosx = 0.
(ĐH Nông nghiệp I 1999)