Bài ôn tập chương I – Hình học 11 nâng cao

Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG 
TRONG MẶT PHẲNG
A – LÝ THUYẾT
§1., § 2. Mở đầu về phép biến hình, phép tịnh tiến và phép dời hình
	1) Định nghĩa: 
	1. Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M trên mặt phẳng có thể xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng.
	Ký hiệu: F(M) = M’, M’ là ảnh của M qua phép biến hình F.
	Với mỗi hình (H) ta gọi hình (H’) = {M’ = F(M), M Î (H)} là ảnh của hình (H) qua phép biến hình F, và viết H’ = F(H).
	Phép biến hình F(M) = M được gọi là phép đồng nhất.
	2. Phép tịnh tiến theo véc tơ là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho 
	Ký hiệu: 
	2) Các tính chất của phép tịnh tiến:
	1. 
2. 
	3.	
	4. Nếu 
	3) Phép dời hình:
	Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
	Các tính chất: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.	
§3. Phép đối xứng trục
	1)Định nghĩa và ký hiệu: 
	* Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng a.
	* Ký hiệu: Đa(M) = M’.
* Phép đối xứng qua đường thẳng a còn gọi là phép đối xứng trục. Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng.
	2) Các tính chất:
	* Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
	* Đa(M) = M’ Þ Đa(M’) = M.
	* Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
	3) Trục đối xứng của một hình:
	Đường thẳng a được gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu Đa(H) = (H).
§4. Phép quay và phép đối xứng tâm
	1) Định nghĩa:
	* Trong mặt phẳng, cho một điểm O cố định và góc lượng giác j không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M ¹ O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM, OM’) = j được gọi là phép quay tâm O góc quay j. Ký hiệu phép quay tâm O góc quay j là Q(O, j).
	* Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là 
	* Ký hiệu phép đối xứng qua điểm O là ĐO. Phép đối xứng qua một điểm được gọi là phép đối xứng tâm. Điểm O được gọi là tâm đối xứng.
	* Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình (H) nếu ĐO(H) = H.
	2) Các tính chất:
	* Phép quay là một phép dời hình.
	* Khi j = p thì Q(O, j) là ĐO.
§5. Hai hình bằng nhau
	1) Định lý:
	Nếu DABC = DA’B’C’ Þ $ phép biến hình F(DABC) = D A’B’C’.
	2) Định nghĩa:
	Hai hình (H) = (H’) Û $ phép dời hình F(H) = H’.
§6. Phép vị tự
	1) Định nghĩa:
	* Cho điểm O cố định và một số k không đổi, k ¹ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O tỷ số k. Ký hiệu là V(O, k) hoặc 
	2) Các tính chất:
	* Định lý 1:	 
* Định lý 2: 	
	* Hệ quả: 
Phép vị tự tâm O tỷ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với ½k½, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỷ số đồng dạng là ½k½ , biến góc thành góc bằng nó.
	3) Ảnh của đường tròn qua phép vị tự:
	* Định lý 3: 
	4) Tâm vị tự của hai đường tròn:
Tâm vị tự của hai đường tròn là tâm của phép vị tự V biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm vị tự đó được gọi là vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tùy theo tỷ số của phép vị tự V là dương hay âm.
	Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự ngoài và một tâm vị tự trong. Hai đường tròn có bán kính bằng nhau (tâm khác nhau) thì chỉ có một tâm vị tự trong, đó chính là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm của hai đường tròn .
§7. Phép đồng dạng
	1) Định nghĩa:
	Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỷ số k (k > 0), nếu " M, N và F(M) = M’, F(N) = N’ thì M’N’ = k.MN.
	2) Tính chất:
* Định lý: Mọi phép đồng dạng F tỷ số k đều là hợp thành của một phép vị tự tỷ số k và một phép dời hình D.
	* Hệ quả: Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k (k là tỷ số của phép đồng dạng), biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỷ số k, biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR, biến góc thành góc bằng nó.	
	3) Hai hình đồng dạng:
Hai hình (H) ~ (H’) Û $ phép đồng dạng F ½ F(H) = H’.
B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN
	1. Chứng minh các tính chất đã học của phép tịnh tiến.
	2. Cho đường tròn (O) dường kính AB cô định . Một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM, AN Cắt tiếp tuyến tại B tại P, Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ.
	3. Cho 2 đường tròn không đồng tâm (O; R) và (O1; R1) và điểm A Î (O; R). Xác định điểm M Î (O; R) sao cho 
	4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép tịnh tiến T theo véc tơ 
	a) Viết phương trình ảnh của mỗi đường thẳng sau đây qua phép tịnh tiến T.
	i) Đường thẳng a: 3x – 5y + 1 = 0;
	ii) Đường thẳng b: 2x + y + 100 = 0;
	b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + y – 1 = 0 qua phép tịnh tiến T.
	5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và a’ có phương trình
a: Ax + By + C = 0, a’: A’x + B’y + C’ = 0. Tìm những véc tơ sao cho phép tịnh tiến T theo véc tơ đó biến a thành a’.
	6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) sao cho với a2 + c2 = b2 + d2 = 1. Chứng minh rằng F là phép dời hình.
	7. Cho hai điểm A, B phân biệt và phép dời hình F khác với phép đồng nhất sao cho F(A) = A, F(B) = B. Chứng minh rằng:
	a) Nếu điểm M Î AB thì F(M) = M;
	b) F là phép đối xứng qua đường thẳng AB.
	8. Cho phép đối xứng trục Đa và phép tịnh tiến vuông góc với a. CMR: 
hợp thành của Đa và là phép đối xứng trục, hợp thành của và Đa cũng là phép 
đối xứng trục.
	9. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB và A’B’. CMR: có thể tìm được một phép đối xứng trục hoặc hợp thành của hai phép đối xứng trục để biến điểm A thành A’, biến điểm B thành B’.
	10. Cho DABC = DA’B’C’. CMR: chỉ cần tối đa ba phép đối xứng trục để hợp thành của chúng biến DABC thành DA’B’C’.
	11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d và đường tròn (C) có phương trình:	 d: Ax + By + C = 0;
	(C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.
	a) Viết phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Ox.
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Oy.
c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là đường thẳng d’: bx – ay = 0.
	12. Cho DABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng với Plần lượt qua các đường thẳng AI, BI, CI. CMR: các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
	13. Cho hai điểm A, B phân biệt. Chứng minh rằng, nếu phép dời hình F thỏa F(A) = B và F(B) = A thì F là phép đối xứng trục hoặc phép đối xứng tâm.
	14. Cho đường tròn (O) và điểm I Ï (O). Với mỗi điểm A chạy trên đường tròn , xét hình vuông ABCD tâm I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D.
	15. Cho đường thẳng a và điểm G Ï a. Với mỗi điểm A Î a dựng tam giác đều ABC tâm G. Tìm quỹ tích các điểm B và C khi A chạy trên a.
	16. Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trên cạnh của hình vuông. Tìm các điểm N, P nằm trên cạnh của hình vuông sao cho DMNP là tam giác đều.
	17. Cho tam giác đều ABC. Hãy kể ra các phép dời hình iến tam giác ABC thành chính nó.
	18. Cho tam giác đều ABC. Gọi QA, QB là các phép quay góc 600 tâm A, B. Gọi F là hợp thành của QB và QA.
	a) Tìm các điểm A’ = F(A), B’ = F(B), C’ = F(C).
	b) Phép F là phép gì?
	c) Phép hợp thành của QA và QB là phép gì?
	19. Về phía ngoài của DABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm O và O’.
	20. Về phía ngoài của hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tâm của các hình vuông đó là đỉnh của một hình vuông.
21. Về phía ngoài của một tứ giác lồi ABCD, dựng các hình vuông cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tâm của các hình vuông đó là đỉnh của một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
	22. Cho DABC và DA’B’C’ có các đường cao AH, A’H’. Trong mỗi trường hợp sau, hai tam giác đó có bằng nhau hay không?
	a) AH = A’H’, AB = AB, A’C’ = A’C’.
	b) AH = A’H’, AB = AB, A’C’ = A’C’, các góc A và A’ đều là góc tù.
	23. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, hình thang A’B’C’D’ vuông tại A’ và D’. Chứng minh rằng hai hình thang ấy bằng nhau nếu AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’.
	24. CMR: hai tam giác vuông bằng nhau nếu có các cạnh huyền bằng nhau và đường cao ứng với cạnh huyền bằng nhau.
	25. Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các trung tuyến tương ứng bằng nhau.
	26. Cho DABC DA’B’C’ có AB // A’B’, BC // B’C’, CA // C’A’. Chứng minh có phép vị tự biến tam giác này thành tam giác kia.
	27. Cho hai phép vị tự . Gọi F là hợp thành của và . CMR:
	a) F là một phép tịnh tiến nếu k1k2 = 1. Hãy xác định véc tơ tịnh tiến.
	b) F là một phép vị tự nếu k1k2 ¹ 1. Hãy xác định tâm và tỷ số của phép vị tự đó.
	28. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng D thay đổi đi qua A cắt (O) ở A và M, cắt (O’) ở A và M’. Gọi P, P’ lần lượt là trung điểm của AM, AM’.
	a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PP’.
	a) Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn thẳng MM’.
	29. Dựng DABC biết góc A bằng a, tỷ số AB/AC = k và chu vi bằng m.
	30. Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các đường cao tương ứng bằng nhau.
	31. Cho hai điểm A và A’ đối xứng với nhau qua điểm I, F là phép dời hình biến I thành I, biến A thành A’. Chứng minh rằng F là phép đối xứng tâm hoặc phép đối xứng trục.
	32. Cho đường tròn (O) dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn .
	33. Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và Điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và D.
	34. Cho đường tròn (O) và điểm P Î (O). Đường thẳng D thay đổi qua P cắt (O) tại A và B. Tìm