Bài ôn tập chương II – Đại số & giải tích 11 nâng cao

Chương II: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT.
A – LÝ THUYẾT:
§1. Hai quy tắc đếm cơ bản:
	1) Quy tắc cộng:
	* Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Trong đó có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
	* Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như sau:
	Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, . . . , Ak. Trong đó có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, . . . và nk cách thực hiện phương án Ak,. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + . . . + nk cách.
	2) Quy tắc nhân:
	* Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.
	* Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, . . . , Ak. Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, . . . , công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n2nk cách.
	3) Quy tắc cộng mở rộng:
	Ký hiệu ½A½ là số phần tử của tập hợp A, ta có: 
½A È B½= ½A½+ ½B½-½A Ç B½ 
§2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp:
1) Hoán vị:
	* Cho tập hợp A có n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị của tập A.
	* Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử được ký hiệu là Pn và bằng n!
	2) Chỉnh hợp:
	* Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên dương 1 £ k £ n. Khi lấy ra một tập con gồm k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
	* Số chỉnh hợp chập k của một tập hợp n phần tử được ký hiệu là .
	Với quy ước và 0! = 1, ta có: 
Với 0 £ k £ n.
	3) Tổ hợp:
	* Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên dương 1 £ k £ n. Mỗi tập con của A gồm k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).
	* Số các tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử được ký hiệu là .
	Với quy ước và 0! = 1, ta có: 
 với 0 £ k £ n.
	* Các tính chất của :
	 = ; 	.
§3. Công thức nhị thức Niu tơn:
	* Công thức khai triển nhị thức Niu tơn:
	* Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascan chính là dãy gồm n + 1 số sau:
	, , , . . . , , .
§4. Biến cố và xác suất của biến cố:
	1) Biến cố: 
	* Phép thử, ký hiệu T, là một thí nghiệm mà:
	- Kết quả của nó không đoán trước được;
	- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra
	* Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu là Ω. 
	* Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không của A tùy thuộc vào kết quả của T.
	* Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
	* Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A, ký hiệu là ΩA. Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập ΩA
	2) Xác suất của biến cố:
	a) Định nghĩa xác suất cổ điển: 
Giả sử T là phép thử có không gian mẫu la Ω là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan tới phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: 
	b) Định nghĩa thống kê của xác suất: 
	* Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
	* Tỷ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T.
	* Tần suất được coi như giá trị gần đúng của xác suất, tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm. 
§5. Các quy tắc tính xác suất
	1) Quy tắc cộng xác suất:
	a) Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố A hoặc B xảy ra, ký hiệu là A È B, được gọi là hợp của hai biến cố A và B.
	Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp cá kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A È B là ΩA È ΩB.
	b) Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
	c) Quy tắc cộng xác suất:
	* A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(A È B) = P(A) + P(B).
	* A1, A2, . . . , Ak là k biến cố dôi một xung khắc thì:
	P(A1 ÈA2 È . . . È Ak) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(Ak).
	d)Biến cố đối:Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không xảy ra A”, ký hiệu là , được gọi là biến cố đối của A.
	* Định lý: 
	1) Quy tắc nhân xác suất:
	a) Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B. biến cố “Cả và B cùng xảy ra”, ký hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
	* Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB là ΩA Ç ΩB. 
	b) Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu viêc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
	* Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và ; và B; và cũng độc lập với nhau.
	c) Quy tắc nhân xác suất:
 	* Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: P(AB) = P(A).P(B).
	* Nếu k biến cố A1, A2, . . . , Ak độc lập với nhau thì:
	P(A1A2 . . . Ak) = P(A1).P(A2 ). . . P(Ak).
§6. Biến ngẫu nhiên rời rạc
	1) Khái niệm:
	Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.
	2) Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:
	Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1, x2, . . . , xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, . . . , pn. Bảng sau đây được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
X
x1
x2
. . .
xn
p
P1
P2
. . .
pn
	3) Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1, x2, . . . , xn}.
	* Kỳ vọng của X, ký hiệu là E(X), là một số không âm được tính theo công thức: , trong đó: pi = P(Xi), i = .
	* Phương sai của X, ký hiệu là V(X), là một số không âm được tính theo công thức: 
Hoặc Trong đó pi = P(Xi), i = ; m = E(X).
	* Căn bậc hai số học của phương sai của X được gọi là độ lệch chuẩn của X, ký hiệu là s(X). 
B – BÀI TẬP ÁP DỤNG:
	1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 nếu:	a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau?
	b) Các chữ số của nó khác nhau?
	c) Các chữ số của nó hoàn toàn như nhau?
	2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 3, 5, 7 và lớn hơn 4000 nếu :
	a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau?
	b) Các chữ số của nó khác nhau?
	3. Biển đăng ký xe ô tô gồm 6 chữ số và 2 chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng các chữ I và O). Chữ số đầu tiên khác 0. Hỏi số ô tô được đăng ký nhiều nhất có thể là bao nhiêu?
	4. Một nhóm học sinh có 10 nam và 4 nữ. Chọn 4 học sinh để trực lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu
	a) Chọn học sinh nào cũng được?
	b) Trong 4 học sinh được chọn có đúng một nữ?
	c) Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất một một nữ?
	5. Một đoàn tàu có 4 toa tàu đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bước lên tàu. Hỏi
	a) Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của 4 hành khách đó?
	b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có một người lên?
	c) Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có 3 người lên, một toa có một người lên?
	6. Một tập hợp A có 1000 phần tử. Hỏi 
a) A có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
	b) A có tất cả bao nhiêu tập hợp con nhiều hơn 2 phần tử?
	7. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu:
	a) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?
	b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
	8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ sô, biết rằng:
a) Hai chữ số đứng kề nhau phải khác nhau?
	b) Các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
	9. Cho tập hợp A = {1, 2, . . . , n}, trong đó n Î N, n > 1. Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) thỏa mãn x, y Î A và x ³ y?
	10. Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hãy tính số các số tự nhiên 
	a) Có 6 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi chữ số khác chữ số 2.
b) Có 6 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi 25.
	c) Có 6 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 251.
	11. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Xét tập H gồm 40 điểm phân biệt, trong đó có 15 điểm trên a và 25 điểm trên b. Hỏi có bao nhiêu tam giác được lập nên từ các đỉnh thuộc H?
	12. Cho đa giác đều có 2n cạnh A1A2. . . A2n nội tiếp một đường tròn. Biết rằng số tam giác có đỉnh lấy từ 2n điểm A1A2. . . A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy từ 2n điểm A1A2. . . A2n. Tìm số n.
	13. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn của biểu thức: 	 	
	14. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn của biểu thức biết rằng 
	15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn của biểu thức: 	 	 biết rằng: 
	16. Một bàn dài kê hai dãy ghế, mỗi dãy gồm 4 ghế tạo thành 4 cặp ghế đối diện với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 nam sinh và 4 nữ sinh vào những ghế đó (mỗi người ngồi vào đúng một ghế) sao cho:
	a) Các học sinh ngồi tùy ý?
	b) Các nam sinh ngồi vào một dãy, các nữ sinh ngồi vào một dãy khác
	c) Hai học sinh bất kỳ ngồi đối diện nhau phải khác giới?
	17. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 4 viên trắng, 5 viên đen và 6 viên đỏ. Từ hộp lấy ra cùng lúc 4 viên bi tùy ý. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để trong 4 viên bi ấy:
	a) Có cùng một màu?
	b) Không có đủ cả ba màu?
	c) Có đủ cả ba màu?
	18. Giải bất phương trình: 
	19. Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000?
	20. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên N gồm 6 chữ số lấy từ A sao cho 350000 < N < 430000?
	21. Có 20 câu hỏi ôn tập, trong đó có 5 câu về hàm số, 4 câu về đại số, cấc câu còn lại thuộc các lĩnh vực khác. Cần ra một đề thi gồm 5 câu chọn từ 20 câu hỏi trên. Hai đề được coi là trùng nhau khi mỗi câu hỏi của đề này đều là câu hỏi 
của đề kia. Hỏi:
	a) Có bao nhiêu cách ra đề thi khác nhau?
	b) Nếu đề thi bắt buộc phải có đúng một câu hỏi về hàm số và có đúng một câu hỏi về đại số, ba câu còn lại tùy ý thì số cách ra đề thi là bao nhiêu?
	22. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đã lập nên có bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu bởi chữ số 1?
	b) Không bắt đầu bởi chữ số 5?
	c) Bắt đầu bởi 23?
	d) Không bắt đầu bởi 234?
	23. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của biểu thức (a + b)n. Biết rằng tổng tất cả các hệ số là 4096.
	24. Giải các phương trình: 
	25. Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi một hoán vị nào đó của 6 chữ sô 1, 2, 3, 4, 5, 6.
	26. a) Có bao nhiêu cách xếp theo một hàng ngang 4 nam sinh và 3 nữ sinh xen kẽ nhau sao cho người đứng cuối hàng là nam sinh?
	b) Tìm n thỏa mãn điều kiện 
	27. Trong khai triển Niu tơn của biểu thức ba hệ số đầu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm các hạng tử có lũy thừa của x là số nguyên.
	28. Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ 6 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên N chẵn có các chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn: 3000 < N < 4000.
	29. CMR: 
	30. a) Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A trong đó phải có mặt chữ số 3?
	b) Giải bất phương trình: 
	31. Giải phương trình: 
	32. Tính tổng: (ĐH Bách khoa Hà nội 1999)
	33. Từ một hộp chứa 3 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được hai viên bi màu trắng và một viên bi màu đen. 	 (ĐH Cần thơ 1999).
	34. a) Có hai xạ thủ loại I và tám xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của 
các loại xạ thủ theo thứ tự là 0,9 và 0,8. Chọn ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ 
đó bắn một viên đạn. Tính xác suất để viên đạn đó trúng đích.
b) Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để ít nhất có một cầu thủ ghi bàn.
(ĐH Đà nẵng 1999).
35. Gieo đồng thời ba đồng xu đối xứng và đồng nhất. Tính xác suất để có ít nhất một mặt sấp xuất hiện. 	 (ĐH Đà nẵng 1999).
	36. Cho 8 quả cầu có trọng lượng là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu nhiên ba quả cầu trong đó. 	 
	a) Có bao nhiêu cách lựa chọn như thế?
	b) Tính xác suất để tổng trọng lượng của ba quả cầu được chọn không vượt quá 9kg.	 (ĐH Huế 1999).
	37. Xét tập A gồm các số tự nhiên có ba chữ số lập thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
	a) Tính số phần tử của A.
	b) Chọn ngẫu nhiên một phần tử của A. Tính xác suất để phần tử đó là số chẵn. 	 (ĐH Huế 1999)
	38. 	a) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức sau:
	f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5+ + (2x + 1)6 + (2x + 1)7
	b) Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Cần lập một tổ công tác gồm một kỹ sư làm tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách để lập tổ công tác? 	 (ĐH Kiến trúc Hà nội 1999).
	39. Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi. Mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh học thuộc 80 câu. Tìm xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi trong đó có 4 câu mình đã học thuộc. 	 (ĐH Luật Hà nội 1999).
	40. Có 2 hộp, mỗi hộp có 2 viên bi đỏ và 8 viên bi trắng. Các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc. Cho hai người lấy mỗi người một hộp bi và từ hộp của mình, mỗi người lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để hai người lấy được số bi đỏ như nhau. 	 (ĐH Nông nghiệp I Hà nội 1999).
	41. Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100000 đồng, có 5 vé mỗi vé trúng 50000 và 10 vé mỗi vé trúng 10000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất các biến cố để:
	a) Người đó trúng 30000 đồng.
	b) Người đó trúng ít nhất 30000 đồng. 
(ĐH Nông nghiệp I Hà nội 1999).
	42. 	a) Giải bất phương trình: 
	b) Xét dãy số gồm 7 chữ số lấy từ các chữ số 0, 1, 2, . . ., 9 thỏa mãn các tính chất sau:
	- Chữ số đứng ở vị trí thứ ba là chữ số chẵn.
	- Chữ số ở vị trí cuối cùng không chia hết cho 5
	- Các chữ số ở hàng thứ 4, thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau.
	Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy? 
(ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh 1999).
	43. Có 6 quả cầu giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 6. Sau khi xáo trộn, người ta lấy ra 4 quả trong đó.
	a) Sắp xếp chúng theo thứ tự lấy ra thành một hàng ngang từ trái sang phải. Tìm xác suất để được số 1234.
	b) Tìm xác suất để được tổng các chữ số là 10. 
(ĐH Sư phạm Hà nội 1999)
	44. 	a) Người ta viết các số có 6 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số khác chỉ xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy?
	b) Gọi tập hợp M gồm các số có hai chữ số khác nhau được lập từ các chữ sô 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên hai phần tử của M. Tính xác suất để ít nhất một trong hai phần tử đó chia hết cho 6. 	 (ĐH Sư phạm Vinh)
	45. Một phòng thi có 40 thí sinh được xếp vào 20 bàn, mỗi bàn đủ 2 thí sinh. Hãy tính xác suất để hai thí sinh A và B được cùng ngồi trên một bàn. 
(ĐH Thái nguyên 1999).
	46.	a) Gieo hai lần một con xúc xắc. Tìm xác suất của biến cố: Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc ít nhất bằng 6.
	b) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4? 	 (ĐH Thủy lợi 1999)
	47. Cho ba hộp giống hệt nhau, mỗi hộp đựng 7 bút chì chỉ khác nhau về màu sắc:
	Hộp thứ I có 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh, 2 bút màu đen;
	Hộp thứ II có 2 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh, 3 bút màu đen;
	Hộp thứ III có 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen;
	Lấy ngẫu nhiên một hộp và rút hú họa từ hộp đó ra 2 bút.
	a) Tính xác suất để hai bút đó có cùng màu xanh.
	b) Tính xác suất để hai bút đó không có màu đen. 
(ĐH Xây dựng Hà nội 1999)
	48. Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 40000 được lập thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5? 	 (ĐH Xây dựng Hà nội 1999)
	49. Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9, trên mỗi thẻ ghi một số, các thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên đồng thời ra hai thẻ. Tìm xác suất sao cho tích của hai số được ghi trên hai thẻ đã chọn là số chẵn.
(Học viện công nghệ Bưu chính viễn thông 1999)
50. Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để không có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau. 
(HV KTQS 1999)
	51. Trong một hộp kín đựng 10 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra ba viên. Tính xác suất để;
	a) Cả ba viên lấy ra đều màu đỏ.
	b) Trong ba viên lấy ra, có ít nhất một viên màu đỏ.
 (Phân viện báo chí và tuyên truyền 1999)
	52. Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ, mỗi người ngồi đúng một ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu:
	a) Các học sinh ngồi tùy ý.
	b) Các học sinh nam ngồi vào một bàn, còn các học sinh nữ ngồi vào một bàn còn lại.	 (ĐH Huế)
	53. 	a) Chứng minh rằng: 
	b) Cho DABC. Xét tập hợp 5 đường thẳng song song với AB, 6 đường thẳng song song với BC và 7 đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình thang?
	c) Cho tập hợp F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của F. Tính xác suất để hai chữ số lấy được đều chẵn và có tổng nhỏ hơn 7. 
(ĐH Cảnh sát nhân dân)
	54. Có 10 chữ cái khác nhau.. Hỏi có thể thành lập được tối đa bao nhiêu chữ thỏa mãn:	
a) Có 5 chữ cái?
	b) Có 5 chữ cái khác nhau?	(ĐH Đà lạt)
	55. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh A, B, C, D, E và một ghế dài 5 chỗ ngồi sao cho:
	a) Bạn C ngồi chính giữa.
	b) Bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế. (ĐH Hàng hải TP Hồ Chí Minh)
	56. Với 10 chữ số, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau. 	 (ĐH Giao thông vận tải)
	57. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng. Người ta lấy ngẫu nhiên ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi được lấy ra không có đủ cả ba màu? 	 (ĐH Huế)
	58. Trong hộp có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên cùng lúc. Tính xác suất để trong 3 viên lấy ra đó có đúng 2 viên màu đỏ. 	 (ĐH Kinh tế uốc dân)
59. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm phế phẩm được chia ngẫu nhiên thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần 10 sản phẩm.
	a) Tính xác suất để ít nhất có một phần có đúng một phế phẩm.
	b) Tính xác suất để mỗi phần đều có một phế phẩm.
(Học viện Kỹ thuật Quân sự)
	60. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Biết rằng mỗi toa đều có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách sao cho:
	a) Các vị khách lên các toa tùy ý.
	b) Có một toa có 3 trong 4 vị khách.
	61. Xét các số tự nhiên gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1, bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
	a) Các chữ số được xếp tùy ý.
	b) năm chữ số 1 được xếp kề nhau. (HV Ngân hàng TP Hồ Chí Minh)
	62. Giải phương trình: 	 (ĐH Ngoại ngữ Hà nội)
	63. Chứng minh "k, n Î N, n ³ k ³ 2, ta luôn có: 
(ĐH Quốc gia Hà nội)
	64. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
	a) Có bao nhiêu tập con X của A thỏa X chứa 1 và không chứa 2.
	b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập hợp A và không bắt đầu bởi 123. 	 (ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh)
	65. Một người gọi điện thoại nhưng quên hai chữ số cuối của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ rằng hai chữ số đó khác nhau. Tính xác suất để người đó quay số một lần đúng được số điện thoại cần gọi. 	(ĐH Sư phạm Quy nhơn)
	66. Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. 
(ĐH Sư phạm Vinh)
	67. CMR: 	 (ĐH Thủy lợi)
	68. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 2, 3, 6, 9? 	 (ĐH Y khoa Hà nội)
	69. Giải phương trình ẩn k Î N: 
	70. CMR: 
	71. CMR: 
	72. CMR: a) 
	b)