Bài ôn tập chương IV – Đại số 10 nâng cao

Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
§1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức:
	1, Định nghĩa và tính chất:
	*. Định nghĩa: a, b Î R. Các mệnh đề “a > b”, “a < b”, “a ³ b”, “a £ b” được gọi là những bất đẳng thức.
	*. Các tính chất:
	10. .
	20. a > b và b > c Þ a > c.
	30. .
	40. Nếu c > 0 thì a > b Û ac > bc.
	 Nếu c b Û ac < bc.
	*. Các hệ quả:
	10. a > b và c > d Þ a + c > b + d.
	20. a + c > b Û a > b – c.
	30. a > b ³ 0 và c > d ³ 0 Þ ac > bd.
	40. a > b ³ 0 và n Î N* Þ an > bn.
	50. a > b ³ 0 Û 
	60. a > b Û 
	2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
	10. – ÷ a÷ £ a £ ÷ a÷.
	20. ÷ x÷ 0).
	30. ÷ x÷ > a Û x a. (a > 0).
	40. ÷ a÷ - ÷ b÷ £ ÷ a + b÷ £ ÷ a÷ + ÷ b÷ "a, b Î R.
	3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân:
	a) Đối với hai số không âm:
*. Định lý: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
	*. Hệ quả: + Hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
	+ Hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
	Ứng dụng: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
	+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
	b) Đối với ba số không âm:
	*. Định lý: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
	*. Hệ quả: + Ba số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.
	+ Ba số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.
	4. Bất đẳng thức Bunhiacốpski:
	a) Bất đẳng thức Bunhiacốpski đối với bốn số thực:
	Với bốn số thực a, b, c, d ta có (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ad = bc.
	b) Bất đẳng thức Bunhiacốpski đối với sáu số thực:
Với 6 số ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
§2. Đại cương về bất phương trình:
	1. Khái niệm bất phương trình một ẩn:
	*. Định nghĩa: Cho hai hàm số y – f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df, Dg. Đặt D = Df Ç Dg.
	Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f(x) g(x), f(x) £ g(x), f(x) ³ g(x) được gọi là bất phương trình một ẩn; x gọi là ẩn, D gọi là tập xác định của bất phương trình đó.
	Số x0 Î D được gọi là một nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x) nếu f(x0) < g(x0) là một mệnh đề đúng.
	Giải một bất phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó.
	*. Chú ý: Khi giải bất phương trình ta phải nêu điều kiện để x Î D.
	*. Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có chung một tập nghiệm.
	2. Biến đổi tương đương các bất phương trình:
	*. Định lý: Bất phương trình f(x) < g(x) và hàm số y = h(x) cùng xác định trên D. Khi đó, trên D, bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với mỗi bất phương trình sau:	10. f(x) + h(x) < g(x) + h(x).
	20. f(x)h(x) 0 "x Î D;
	30. f(x) h(x) > g(x)h(x) nếu h(x) < 0 "x Î D.
	*. Hệ quả: Cho bất phương trình f(x) < g(x) có tập xác định D. Ta có:
	10. f(x) < g(x) Û [f(x)]3 < [g(x)]3.
	20. Nếu f(x) và g(x) không âm "x Î D thì f(x) < g(x) Û [f(x)]2 < [g(x)]2.
§3. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn:
	1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 (1):
	10. Nếu a > 0 thì Vậy tập nghiệm của (1) là 
	20. Nếu a < 0 thì Vậy tập nghiệm của (1) là 
	30. Nếu a = 0 thì (1) Û 0x < - b. Do đó:
	- Bất phương trình vô nghiệm nếu b ³ 0;
	- Bất phương trình (1) nghiệm đúng " x nếu b < 0.
	2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn:
	*. Quy tắc: Muốn giải hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được làm tập nghiệm của hệ.
	*. Chú ý: Để xác định tập nghiệm S của hệ, ta biểu diễn các tập nghiệm của từng bất phương trình trên trục số bằng cách gạch đi những điểm (phần) không thuộc tập nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, phần còn lại sẽ biểu diễn tập nghiệm cần tìm.
§4. Dấu của nhị thức bậc nhất:
	1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó:
	*. Nhị thức bậc nhất (đối với x) là biểu thức có dạng f(x) = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước với a ¹ 0
	Nghiệm của phương trình ax + b = 0 cung là nghiệm của nhị thức bậc nhất.
*. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất:
	Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
	Bảng xét dấu:
x
- ¥ - b/a +¥
af(x)
 + 0 - 
§5. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
	*. Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có một trong các dạng: ax + by + c < 0, ax + by + c < 0, ax + by + c £ 0, ax + by + c ³ 0, trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho a2 + b2 ¹ 0; x và y là các ẩn.
	Mỗi cặp (x0; y0) sao cho ax0 + by0 + c < 0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
	*. Định lý xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
	Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c > 0, nửa còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c < 0.
	Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0, ta làm như sau:	- Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0
- Xét một điểm M(x0; y0) Ï (d).
Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
	2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
	Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
	- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
	- Sau khi làm như trên đối với tất cả các bất phương trình của hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
§6. Dấu của tam thức bậc hai:
	1.Tam thức bậc hai:
	*. Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những số cho trước với a ¹ 0.
	Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.
	*. Định lý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0).
	Nếu D 0 "x Î R.
	Nếu D = 0 thì af(x) > 0 " x ¹ 
	Nếu D > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1 < x2).Khi đó:
+ af(x) < 0 " x Î (x1; x2).
+ af(x) > 0 " x Ï [x1; x2].
	*. Nhận xét: Từ định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta suy ra:
	"x Î R, ax2 + bx + c > 0 Û 
	"x Î R, ax2 + bx + c < 0 Û 
§7. Bất phương trình bậc hai:
	1. Định nghĩa và cách giải:
	Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là phương trình có một trong các dạng sau:
f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0, trong đó f(x) là một tam thức bậc hai.
	Để giải một bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Để giải một hệ bất phương trình bậc hai một ẩn, tagiải riêng từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm tìm được.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1. Cho hai bất phương trình: mx + 1 - 2m > 0 (1) và (m + 1)x + m - 1 > 0 (2)
 a) Tìm m để (1) và (2) tương đương.
 b) Mỗi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).
2. Giải các bất phương trình:
 a) (x2 - 2x - 3)(5 - x) > 0	b) .
 c) (2x + 4)(5 - x) ³ 0	d) .
 e) (3x + 2)2 > (2x - 1)2	f) .
 g) (x - 1)(9x2 - 1) ³ 0	h) .
 i) 	j) .
k) 	l) .
m) 	n) (x2 + 3x)(2x + 3) - 16.
o) 	p) .
q) 	r) .
 s) t) 
3. a) ÷ x - 1÷ < 2÷ x + 1÷ 	b) ÷ x - 1÷ - ÷ x÷ + ÷ 2x + 3÷ ³ 2x + 4.
 c) ÷ 2x + ÷ x÷ - 3÷ < x + 4	d) ÷ x + ÷ 2 - 3x÷ ÷ < 2.
 e) ÷ x2 - 3x + 2÷ > ÷ x2 + 3x + 2÷ 	f) ÷ 3÷ x - 2÷ -3÷ ³ 3.
4. Giải và biện luận các bất phương trình sau theo m:
 a) 2÷ x + 1÷ + 4m÷ 1 - 2x÷ ³ - 3.
 b) ÷ x - 2m + 1÷ > m – 1.
5. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 a) ÷ x÷ +÷ 1 - x÷ = m.
 b) 3÷ x÷ + 2ax = 3a – 1.
6. Xác định tất cả các giá trị của a, b sao cho:
 a) Nghiệm của bất phương trình ÷ x - a + 1÷ £ 2b + 3 là đọan [-2; 5].
 b) Mỗi nghiệm của bất phương trình ÷ x - a + 1÷ £ 2b + 3 cũng là nghiệm của bất phương trình ÷ 2x - b - 6÷ £ 3b + 2 (với b ³ -2/ 3).
	7. Cho hệ bất phương trình:
	 a) 	 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
	 b) Tìm m để hệ vô nghiệm; có nghiệm và tìm tập nghiệm của hệ; hệ có nghiệm duy nhất; mọi x Î [-2; -1] đều là nghiệm của hệ.
	 c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
	8. Giải và biện luận theo tham số a các hệ bất phương trình:
	 a) 	b) 
	9. Tìm nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình:
	 a) 	b) 
	10. Giả sử với b, d > 0. CMR: .
	11. Chứng minh bất đẳng thức Côsi cho bốn số không âm:
	12. Cho ba số dương a, b, c. CMR:
.
	13. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn:
.
	14. Gọi S, 2p, là diện tích và chu vi của DABC bất kỳ, CMR: .
	15. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	a) a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 6abc.
	b) a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b.
	c) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e).
	16. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:
	17. Cho a, b, c Î [0; 1].CMR:
a) a2 + b2 + c2£ 1 + a2b + b2c + c2a.
b) 
	18. Cho a £ 6, b £ - 8, c £ 3, x ³ 1. CMR: x4 – ax2 – bx ³ c.
	19. Cho ba số a, b, c thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. CMR:
	abc + 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) ³ 0.
	20. Cho ba số dương a, b, c. CMR:
	21. Cho ab ³ 1. CMR: 
	22. Chứng minh các bất đẳng thức:
	23. Cho các số thực x1, x2, y1, y2, z1, z2 thỏa mãn các điều kiện: x1x2 > 0, x1z1 > y12, x2z2 > y22. CMR: (x1 + x2)( z1 + z2) ³ ( y1 + y2,)2.
	24. Cho ba số a, b, c > 0 thỏa a + b + c £ 1. CMR: 
	25. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	26. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c £ 1. CMR:
	27. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh và 2p là chu vi của DABC. CMR: 
	 (ĐH Y Dược TP HCM-1998)
	28. Cho ba số thực thoả mãn: a + b + c = 3. CMR: a4 + b4 + c4 ³ a3 + b3 + c3.
	(HV Bưu chính viễn thông 1998)
	29. CMR: a6 - a3 + a2 - a + 1 > 0 " a ÎR (ĐH Y khoa Hà nội - 1999)
	30. Cho a + b ³ 0, CMR: (ĐH Bách khoa Hà nội - 2000)
	31. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: .
(HV Quan hệ Quốc tế-2001)
	32. CMR: (ab + bc + ca)2 ³ 3abc(a + b + c) " a, b, c Î R.
 (ĐH Sư phạm TP HC M-2001)
	33. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	 (ĐH Nông nghiệp I-2001)
	34. Giải các bất phương trình sau:
	a) ÷ x÷ + ÷ 3 - x÷ > 4 + ÷ x + 2÷,	 b) ÷÷ x - 1÷ - 5÷ £ 2,	 
	35. Giải các phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
	a) - x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 - x);	b) 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3.
36. Giải các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
37. Tìm m để BPT sau nghiệm đúng "x.
	a) (m - 2)x2 - 2(m - 3)x + m + 1 ³ 0 c) .
	b) (m - 4)x2 + 10x - m - 4 < 0	 d) 
	38. Tìm m để BPT sau được nghiệm đúng " x:
	(2m2 – 3m – 2)x2 + 2(m – 2)x – 1 < 0
	39. Giải và biện luận các bất phương trình:
	a) (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m + 3 > 0
	b) 4(m + 2)x2 – 2(2m – 1)x + m – 1 < 0
	40. Giải các bất PT và hệ BPT sau:
	41. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của DABC. CMR bất phương trình sau nghiệm đúng "x: b2x2 + ( b2 + c2 – a2)x + c2 > 0.
	42. Cho m, n, t là ba số dương. CMR phương trình sau có nghiệm:
	f(x) = m(x – n)(x – t) + n(x – m)(x – t) + t(x – m)(x – n) = 0.
	43. Giải các bất phương trình sau:
	a) ÷ 2x + 5÷ > ÷ 7 – 4x÷,	b) ÷ x2 – 2x - 8÷ > 2x.
	c) ,	
	44. Giải các bất phương trình sau:
45. Tìm m để hệ BPT sau có N0 duy nhất: 
	46. Tìm m để hệ BPT sau có Nghiệm: 
	47. Giải các bất phương trình sau: 
	.
	48. Giải các BPT:	
	49. a) Tìm m để hệ vô nghiệm:	b) Tìm k để hệ có nghiệm:
	50. CMR: trong một tam giác vuông, tổng độ dài của đường cao hạ xuống cạnh huyền và cạnh huyền lớn hơn nửa chu vi.
	51. Giải BPT: 
 (ĐH Công đoàn - 1999)
	52. Giải bất phương trình:
	 (ĐH Kiến trúc - 2001)