Bài tập chương III: Quan hệ vuông góc bài tập phần góc

BÀI TẬP CHƯƠNG III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
BÀI TẬP PHẦN GÓC
Góc giữa hai đường thẳng
1) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Biết . Tính chiều cao của hình chóp.
2) Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Gọi là góc giữa hai đường thẳng DM và BN. Tính .
3) Cho tứ diện ABCD có . Gọi lần lượt là góc giữa các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC. Tính .
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau:
i) IK và AC, IB và AC.
ii) CK và IB, DK và IB.
5) Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và thỏa mãn điều kiện . Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
i) AC và BF.
ii) AC và DE.
iii) DH và AC, trong đó H là tâm hình vuông ABEF.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Biết góc giữa MN và bằng .
i) Tính MN, SO.
ii) Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng .
2) Cho hình lăng trụ đều , đáy có cạnh bằng a, cạnh bên có độ dài bằng b. Gọi M là trung điểm của AB và là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng . Tính .
3) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích bằng nửa diện tích đáy. Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
4) Cho tam giác ABC vuông tại A, và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) sao cho .
i) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng .
ii) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng .
5) Cho tam giác ABC vuông tại A; cạnh và nằm trong mặt phẳng ; cạnh và tạo với một góc . Chứng minh rằng cạnh BC tạo với một góc .
Góc giữa hai mặt phẳng
1) Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
2) Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng .
3) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, có , góc giữa hai mặt phẳng và là .
i) Chứng minh rằng .
ii) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để .
4) Cho hình vuông ABCD cạnh a, trong mặt phẳng . Hai điểm M, N di động trên CB và CD. Đặt . Trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng lấy điểm S. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để:
i) tạo với nhau góc .
ii) .
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; ; góc giữa hai mặt phẳng bằng . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng , tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng .
6) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với đáy. Biết rằng và góc giữa hai mặt phẳng bằng . Tính .
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc . Mặt phẳng chứa AB và cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Góc tạo bởi mặt phẳng và mặt đáy của hình chóp là .
i) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a.
ii) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng .
8) Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng , , .
i) Tính góc giữa hai mặt phẳng .
ii) Tính diện tích tam giác ABC.
9) Tam giác ABC có đỉnh A nằm trong mặt phẳng , khi các đỉnh B và C có hình chiếu trên lần lượt là , sao cho tam giác là tam giác đều cạnh a. Giả sử .
i) Gọi I là giao điểm của BC và . Chứng minh IA vuông góc với AC.
ii) Tính diện tích tam giác ABC, rồi suy ra giá trị của góc giữa hai mặt phẳng và .
10) Cho hình lập phương có cạnh là a. Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và .
i) Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng .
ii) Tính góc giữa hai mặt phẳng .
iii) Tính diện tích của thiết diện dựng được ở câu i).