Bài tập giải tích 12 - Khảo sát hàm số

x
y x x
ì -
=ï
í -
ï = - + +ỵ
 c) 
34 3
2
y x x
y x
ì = -í
= - +ỵ
 d) 
4 2
2
1
4 5
y x x
y x
ìï = - +
í
= -ïỵ
 e) 
3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x
ìï = - + -
í
= - +ïỵ
 f) 
2
1
3 1
xy
x
y x
ì
ï =í -
ï = - +ỵ
Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau: 
 a) 
3 3 2
( 2)
y x x
y m x
ì = - +í
= -ỵ
 b) 
3 2
2
3 2
1 13
2 12
x xy x
y m x
ì
= + -ïï
í ỉ ự = + +ç ÷ï è øỵ
 c) 
3
3
3
( 3)
xy x
y m x
ì
ï = - +í
ï = -ỵ
 d) 
2 1
2
2
xy
x
y x m
ì +ï =
í +
ï = +ỵ
 e) 
1
1
2
xy
x
y x m
ì +ï =
í -
ï = - +ỵ
 f) 
2 6 3
2
x xy
x
y x m
ì - +ï =í +
ï = -ỵ
 g) 
13
1
3
y x
x
y mx
ìï = - + +
í -
ï = +ỵ
 h) 
2 3 3
2
4 1
x xy
x
y mx m
ì - +ï =í -
ï = - -ỵ
 i) 
3
2
2 1
( 1)
y x x
y m x
ìï = + +
í
= -ïỵ
Bài 3. Tìm m để đồ thị các hàm số: 
 a) 
2( 2) 1; 1
2
xy y mx
x
+ -
= = +
+
 cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 
 b) 
22 3 ; 2
1
x x my y x m
x
- +
= = +
-
 cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 
 c) 
2
; 2
1
mx x my y mx
x
+ +
= = +
-
 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu. 
 d) 
2 4 5 ; 2
2
x xy y mx
x
+ +
= = +
+
 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu. 
 e) 
2( 2) ; 3
1
xy y mx
x
-
= = +
-
 cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau. 
VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 22 
 f) 
2
1
mx x my
x
+ +
=
-
 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 
Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số: 
 a) 3 23 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = - + cắt nhau tại ba điểm phân biệt. 
 b) 3 23 (1 2 ) 1y mx mx m x= + - - - cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 
 c) 2 2( 1)( 3)y x x mx m= - - + - cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 
 d) 3 2 22 2 2 1; 2 2y x x x m y x x= + - + - = - + cắt nhau tại ba điểm phân biệt. 
 e) 3 2 2 22 3 ; 2 1y x x m x m y x= + - + = + cắt nhau tại ba điểm phân biệt. 
Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số: 
 a) 4 22 1;y x x y m= - - = cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. 
 b) 4 2 3( 1)y x m m x m= - + + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 
 c) 4 2 2(2 3) 3y x m x m m= - - + - cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 
Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số: 
 a) 3 1; 2
4
xy y x m
x
+
= = +
-
 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn 
AB ngắn nhất. 
 b) 4 1;
2
xy y x m
x
-
= = - +
-
 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn 
AB ngắn nhất. 
 c) 
2 2 4 ; 2 2
2
x xy y mx m
x
- +
= = + -
-
 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính 
AB theo m. 
Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số: 
 a) 3 23 6 8y x mx mx= - + - cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp 
số cộng. 
 b) 3 23 9 1; 4y x x x y x m= - - + = + cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm 
của đoạn AC. 
 c) 4 2 2(2 4)y x m x m= - + + cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp 
số cộng. 
 d) 3 2( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= - + - - + - cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập 
thành một cấp số nhân. 
 e) 3 23 (2 2) 9 192y x m x mx= + + + + cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành 
một cấp số nhân. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 23 
2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 
· Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) 
 Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) 
 Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) 
· Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về 
một trong các dạng sau: 
Dạng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1) 
 Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ 
 giao điểm của hai đường: 
 (C): y = f(x) 
 d: y = m 
 · d là đường thẳng cùng phương với trục hoành. 
 · Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm 
 của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1) 
Dạng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2) 
 Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k. 
 Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m. 
Dạng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3) 
 (k: không đổi) 
 Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ 
 giao điểm của hai đường: 
 (C): y = f(x) 
 d: y = kx + m 
 · Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương 
 với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m). 
 · Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2,  của (C) 
 có hệ số góc k. 
 · Dựa vào các tung độ gốc b, b1, b2,  của d, d1, d2,  
 để biện luận. 
Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4) 
 Khi đó (4) có thể xem là phương trình 
 hoành độ giao điểm của hai đường: 
 (C): y = f(x) 
 d: y = m(x – x0) + y0 
 · d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0). 
 · Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2,  
 của (C) đi qua M0. 
 · Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận. 
Chú ý: 
 · Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: a £ x £ b thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) 
với a £ x £ b. 
 · Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m. 
y 
x 
m A 
(C) 
c.(d) : y = m 
c.yCĐ 
yCT 
xA 
y 
x 
A 
y = kx 
c.
m (C) 
M1 
M2 
b1 
b2 
d1 
d 
d2 
O 
y 
x0 
d3 
d1 y0 
0 
(C) 
c.M1 
M2 
d2 
m = –¥ 
m = +¥ 
m > 0 
m = 0 
m < 0 
d 
 I 
 IV (–) 
(+) 
M 
x 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 24 
VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị 
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các 
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị. 
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= - + - + - = b) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= - + - - + + = 
 c) 3 3 23 1; 3 2 2 0y x x x x m m= - + - - - - = d) 3 33 1; 3 4 0y x x x x m= - + - - + + = 
 e) 
4
2 4 22 2; 4 4 2 0
2
xy x x x m= - + + - - + = f) 4 2 4 22 2; 2 2 0y x x x x m= - + - - + = 
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2
25 7 ; ( 5) 3 7 0
3
x xy x m x m
x
- +
= - + + + =
-
 b) 
2
22 4 2 ; 2 2( 2) 3 2 0
2 3
x xy x m x m
x
- +
= - + - + =
+
 c) 
2
21; ( 1) 2 1 0xy m x x
x
+
= - + - = 
 d) 
2
22 4 ; 2( 1) 4( 1) 0
2 4
x xy x m x m
x
- +
= - + + + =
-
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2
22 ; 2sin 2 cos 2 0 (0 )
2 1
xy m m
x
= + - - = £ £
-
a a a p 
 b) 
22 3 ; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 )
2
x xy m m
x
-
= - + + + = £ £
-
a a a p 
 c) 
2
23 3 ; cos (3 )cos 3 2 0 (0 )
2
x xy m m
x
+ +
= + - + - = £ £
+
a a a p 
 d) 3 2 3 23 6; cos 3cos 6 0y x x x x m= - + - + - = 
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2 5 7 ; 2 (3 7)2 5
3
t tx xy m m
x
-- += + + = +
-
 b) 
2 1; 2 ( 1)2 1
1
t tx xy m m
x
-+ -= + - = -
-
 c) 
2
22 5 4 ; 2 (5 ) 4 0
1
t tx xy e m e m
x
- +
= - + + + =
-
 d) 
2
25 4 ; (5 ) 4 0t tx xy e m e
x
- +
= - + + = 
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị 
(T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2 2 23 6 3 6 3 6( ) : ; ( ) : ; 2 0
1 1 1
x x x x x xC y T y m
x x x
- + - + - +
= = - =
- - -
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 25 
 b) 
2 2 25 4 5 4 5 4( ) : ; ( ) : ; 2 0x x x x x xC y T y m
x x x
- + - + - +
= = - + = 
 c) 3 2 3 2 3 2( ) : 3 6; ( ) : 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m= - + = - + - + - + = 
 d) 
3 33 2 2 2( ) : 2 9 12 4; ( ) : 2 9 12 4; 2 9 12 0C y x x x T y x x x x x x m= - + - = - + - - + + = 
 e) 2 2 2 2( ) : ( 1) (2 ); ( ) : ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m= + - = + - + - = + - 
 f) 
2 2
21 1( ) : ; ( ) : ; ( 1) 2 1 0x xC y T y m x x
x x
+ +
= = - + - = 
Bài 6. Cho hàm số 2( )
1
xy f x
x
+
= =
-
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 3 0x y- = . 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: 
 23 ( 2) 2 0x m x m- + + + = 
Bài 7. Cho hàm số 1( )
1
xy f x
x
+
= =
-
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 2 0x y- = . 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 22 ( 1) 1 0x m x m- + + + = 
Bài 8. Cho hàm số 
2
( )
1
xy f x
x
= =
-
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1). 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 2(1 ) (1 ) 1 0m x m x- - - + = 
VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị 
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (a ¹ 0) (1) 
 Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + 
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành 
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3 
 · Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm Û (C) và Ox có 1 điểm chung 
 Û 
 ( .1 )
 2 ( .1 ). 0CĐ CT
f không có cực trị h a
f có cực trị h by y
é
êì
êí <êỵë
(C) 
A 
x0 O x 
y 
(h.1a) 
(C) 
A 
x0 x 
y 
(h.1b) x1 o x2 
yCT 
yCĐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 26 
 · Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm Û (C) tiếp xúc với Ox 
 Û 2 ( .2). 0CĐ CT
f có cực trị hy y
ì
í =ỵ
 · Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
 Û 2 ( .3). 0CĐ CT
f có cực trị hy y
ì
í <ỵ
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu 
 · Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt 
 Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương 
 Û 
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trị
y y
x x
a f hay ad
ì
ï <ï
í > >ï
< <ïỵ
 · Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt 
 Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm 
 Û 
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trị
y y
x x
a f hay ad
ì
ï <ï
í < <ï
> >ïỵ
x1 xA xB xC 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o 
x2 
x 
a > 0 
yCT 
B 
f(0) 
x1 
xA xB xC 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o x2 x 
a < 0 
yCT 
B f(0) 
x"0 
C 
x1 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o 
x2 
x 
(H.3) 
yCĐ 
x0 x'0 
B 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
x0 o x1 
B 
x'0 
(yCT = f(x0) = 0) 
x 
(H.2) 
x1 xA xB xC 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o 
x2 
x 
a > 0 
yCT 
B 
f(0) 
xC x2 
x1 
xA xB 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o x 
a < 0 
yCT 
B 
f(0) 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 27 
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: 
a) 3 22 3( 1) 6 2 0x m x mx- + + - = b) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + = 
c) 3 22 3 6( 1) 3 12 0x mx m x m- + - - + = d) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = 
e) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = f) 3 3 2 0x mx m- + = 
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: 
a) 3 2 2( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0x m x m m x m m- + - - + + - = b) 3 3 2 0x mx m- + = 
c) 3 2(2 1) (3 1) ( 1) 0x m x m x m- + + + - + = d) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + = 
Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = 
c) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = d) 31 0
3
x x m- + = 
Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: 
a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = 
c) 3 21 5 74 0
3 2 6
x x x m- + + + = d) 3 2 (2 1) 2 0x mx m x m- + + - - = 
Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt: 
a) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = b) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = 
 c) 3 23 9 0x x x m+ - + = d) 3 2 18 2 0x x mx m- + - = 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 28 
3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG. 
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc 
của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x . 
 Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x là: 
 y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) 
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ 
phương trình sau có nghiệm: 
 ( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
ì =
í =ỵ
 (*) 
 Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì 
 (C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình 2ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép. 
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) 
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm ( )0 0 0;M x y : 
 · Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). 
 Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0. 
 · Tính y¢ = f¢ (x0). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0). 
 · Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) 
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước. 
 Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. 
 · Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0). 
 · D có hệ số góc k Þ f¢ (x0) = k (1) 
 · Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D. 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. 
 · Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m. 
 · D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
 ( )
'( )
f x kx m
f x k
ì = +
í =ỵ
 (*) 
 · Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D. 
 Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau: 
 + D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana 
 + D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a 
 + D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1
a
- 
 + D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì tan
1
k a
ka
-
=
+
a 
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm ( ; )A AA x y . 
 Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. 
 · Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0). 
 · Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) 
 · D đi qua ( ; )A AA x y nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0) (2) 
 · Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của D. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 29 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. 
 · Phương trình đường thẳng D đi qua ( ; )A AA x y và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) 
 · D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
 ( ) ( )
'( )
A Af x k x x y
f x k
ì = - +
í =ỵ
 (*) 
 · Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D. 
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: 
a) (C): 3 23 7 1y x x x= - - + tại A(0; 1) b) (C): 4 22 1y x x= - + tại B(1; 0) 
 c) (C): 3 4
2 3
xy
x
+
=
-
 tại C(1; –7) d) (C): 21
2 1
y x
x
= + -
-
 tại D(0; 3) 
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: 
a) (C):
2 3 3
2
x xy
x
- +
=
-
 tại điểm A có xA = 4 
b) (C): 3( 2)
1
xy
x
-
=
-
 tại điểm B có yB = 4 
c) (C): 1
2
xy
x
+
=
-
 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. 
d) (C): 22 2 1y x x= - + tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. 
e) (C): 3 3 1y x x= - + tại điểm uốn của (C). 
f) (C): 4 21 92
4 4
y x x= - - tại các giao điểm của (C) với trục hoành. 
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ 
ra: 
a) (C): 3 22 3 9 4y x x x= - + - và d: 7 4y x= + . 
b) (C): 3 22 3 9 4y x x x= - + - và (P): 2 8 3y x x= - + - . 
c) (C): 3 22 3 9 4y x x x= - + - và (C’): 3 24 6 7y x x x= - + - . 
Bài 9. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 
được chỉ ra: 
a) (C): 5 11
2 3
xy
x
+
=
-
 tại điểm A có xA = 2 . 
b) (C): 2 7 26y x x= - + tại điểm B có xB = 2. 
Bài 10. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một 
tam giác có diện tích bằng S cho trước: 
a) (C): 2
1
x my
x
+
=
-
 tại điểm A có xA = 2 và S = 
1
2
. 
b) (C): 3
2
x my
x
-
=
+
 tại điểm B có xB = –1 và S = 
9
2
. 
c) (C): 3 1 ( 1)y x m x= + - + tại điểm C có xC = 0 và S = 8. 
Bài 11. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra: 
a) (C): 3 22 2 5y x x= - + ; k = 12 b) (C): 2 1
2
xy
x
-
=
-
; k = –3 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 30 
c) (C):
2 3 4
1
x xy
x
- +
=
-
; k = –1 d) (C): 2 4 3y x x= - + ; k = 2 
Bài 12. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho 
trước: 
a) (C):
3
22 3 1
3
xy x x= - + + ; d: y = 3x + 2 b) (C): 2 1
2
xy
x
-
=
-
; d: 3 2
4
y x= - + 
c) (C):
2 2 3
4 6
x xy
x
- -
=
+
; d: 2 5 0x y+ - = d) (C): 4 21 33
2 2
y x x= - + ; d: y = –4x + 1 
Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho 
trước: 
a) (C):
3
22 3 1
3
xy x x= - + + ; d: 2
8
xy = - + b) (C): 2 1
2
xy
x
-
=
-
; d: y x= 
c) (C):
2 3
1
xy
x
+
=
+
; d: y = –3x d) (C):
2 1
2
x xy
x
+ -
=
+
; d: x – 2 
Bài 14. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a: 
a) (C):
3
2 02 4; 60
3
xy x x= - + - =a b) (C):
3
2 02 4; 75
3
xy x x= - + - =a 
c) 03 2( ) : ; 45
1
xC y
x
-
= =
-
a 
Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a: 
a) (C):
3
2 02 4; : 3 7; 45
3
xy x x d y x= - + - = + =a 
b) (C):
3
2 012 4; : 3; 30
3 2
xy x x d y x= - + - = - + =a 
c) 04 3( ) : ; : 3 ; 45
1
xC y d y x
x
-
= = =
-
a 
d) 03 7( ) : ; : ; 60
2 5
xC y d y x
x
-
= = - =
- +
a 
e) 
2
03( ) : ; : 1; 60
2
x xC y d y x
x
- +
= = - + =
-
a 
Bài 16. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d 
cho trước: 
a) (C):
2 (2 1) 2
1
x m x my
x
+ + - +
=
+
 tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C). 
b) (C):
22 1
3
x mxy
x
+ -
=
-
; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 . 
Bài 17. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d 
cho trước: 
a) (C):
2(3 1) ( 0)m x m my m
x m
+ - +
= ¹
+
 tại điểm A có yA = 0 và d: 10y x= - . 
Bài 18. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra: 
a) (C): 3 3 2y x x= - + - ; A(2; –4) b) (C): 3 3 1y x x= - + ; B(1; –6) 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 31 
c) (C): ( )
222y x= - ; C(0; 4) d) (C): 4 21 33
2 2
y x x= - + ; 30;
2
D
ỉ ư
ç ÷
è ø
e) (C): 2
2
xy
x
+
=
-
; E(–6; 5) f) (C): 3 4
1
xy
x
+
=
-
; F(2; 3)