Bài tập giải tích toán học

 minh rằng
f bị chặn trên [a;1).
1.2.18. Cho f là hàm liên tục trên R và đặt fxng là d∙y bị chặn. Các bất
đẳng thức sau
lim
n!1
f(xn) = f( lim
n!1
xn) và lim
n!1
f(xn) = f( lim
n!1
xn)
có đúng không ?
1.2.19. Cho f : R ! R là hàm liên tục, tăng và gọi fxng là d∙y bị chặn.
Chứng minh rằng
12 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
(a) lim
n!1
f(xn) = f( lim
n!1
xn);
(b) lim
n!1
f(xn) = f( lim
n!1
xn):
1.2.20. Cho f : R ! R là hàm liên tục, giảm và gọi fxng là d∙y bị chặn.
Chứng minh rằng
(a) lim
n!1
f(xn) = f( lim
n!1
xn);
(b) lim
n!1
f(xn) = f( lim
n!1
xn):
1.2.21. Giả sử f liên tục trên R; lim
x!Ă1
f(x) = Ă1 và lim
x!1
f(x) = +1. Xác
định g bằng cách đặt
g(x) = supft : f(t) < xg với x 2 R:
(a) Chứng minh rằng g liên tục trái.
(b) g có liên tục không ?
1.2.22. Cho f : R! R là hàm tuần hoàn liên tục với hai chu kì không thông
ước T1 và T2; tức là T1T2 vô tỷ. Chứng minh rằng f là hàm hằng. Cho ví dụ
hàm tuần hoàn khác hàm hằng có hai chu kì không thông ước.
1.2.23.
(a) Chứng minh rằng nếu f : R! R là hàm liên tục, tuần hoàn, khác hàm
hằng, thì nó có chu kì dương nhỏ nhất, gọi là chu kì cơ bản.
(b) Cho ví dụ hàm tuàn hoàn khác hàm hằng mà không có chu kì cơ bản.
(c) Chứng minh rằng nếu f : R! R là hàm tuần hoàn không có chu kì cơ
bản, thì tập tất cả các chu kì của f trù mật trong R.
1.2.24.
13
(a) Chứng minh rằng định lí trong mục (a) của bài toán trước vẫn còn đúng
khi tính liên tục của f trên R được thay thế bởi tính liên tục tại một
điểm.
(b) Chứng minh rằng nếu f : R! R là hàm tuần hoàn không có chu kì cơ
bản và nếu nó liên tục tại ít nhất một điểm, thì nó là hàm hằng.
1.2.25. Chứng minh rằng nếu f; g : R ! R là hàm liên tục, tuần hoàn và
lim
x!1
(f(x)Ă g(x)) = 0 thì f = g.
1.2.26. Cho ví dụ hai hàm tuần hoàn f và g sao cho mọi chu kì của f không
thông ước với mọi chu kì của g và sao cho f + g
(a) không tuần hoàn,
(b) tuần hoàn.
1.2.27. Cho f; g : R ! R là các hàm liên tục và tuần hoàn lần lượt với chu
kì cơ bản dương T1 và T2. Chứng minh rằng nếu T1T2 =2 Q, thì h = f + g không
là hàm tuần hoàn.
1.2.28. Cho f; g : R ! R là các hàm tuần hoàn .Giả sử f liên tục và không
có chu kì nào của g thông ước với chu kì cơ bản của f . Chứng minh rằng
f + g không là hàm tuần hoàn.
1.2.29. Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm đơn điệu f : R!
R không quá đếm được.
1.2.30. Giả sử f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng
lim
n!1
1
n
nX
k=1
(Ă1)kf(k
n
) = 0:
1.2.31. Cho f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng
lim
n!1
1
2n
nX
k=0
(Ă1)k
à
n
k
ả
f(
k
n
) = 0:
14 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.2.32. Giả sử f : (0;1) ! R là hàm liên tục sao cho f(x) ∙ f(nx) với mọi
số dương x và mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng lim
x!1
f(x) tồn tại (hữu
hạn hoặc vô hạn).
1.2.33. Hàm f xác định trên khoảng I ẵ R được gọi là lồi trên I nếu
f(áx1 + (1Ă á)x2) ∙ áf(x1) + (1Ă á)f(x2)
với mọi x1; x2 2 I và á 2 (0; 1). Chứng minh rằng nếu f lồi trên khoảng mở,
thì nó liên tục. Hàm lồi trên khoảng bất kì có nhất thiết liên tục không ?
1.2.34. Chứng minh rằng nếu d∙y ffng các hàm liên tục trên A hội tụ đều
tới f trên A, thì f liên tục trên A.
1.3 Tính chất giá trị trung gian
Ta nhắc lại định nghĩa sau:
Định nghĩa 3. Hàm thực f có tính chất giá trị trung gian trên khoảng I
chứa [a; b] nếu f(a) < v < f(b) hoặc f(b) < v < f(a); tức là, nếu v nằm giữa
f(a) và f(b), thì tồn tại c nằm giữa a và b sao cho f(c) = v.
1.3.1. Cho các ví dụ các hàm có tính chất giá trị trung gian trên khoảng I
nhưng không liên tục trên khoảng này.
1.3.2. Chứng minh rằng hàm tăng thực sự f : [a; b]! R có tính chất giá trị
trung gian thì liên tục trên [a; b].
1.3.3. Cho f : [0; 1] ! [0; 1] liên tục. Chứng minh rằng f có điểm cố định
trong [0; 1]; tức là, tồn tại x0 2 [0; 1] sao cho f(x0) = x0.
1.3.4. Giả sử f; g : [a; b] ! R liên tục sao cho f(a) g(b).
Chứng minh rằng tồn tại x0 2 (a; b) sao cho f(x0) = g(x0).
15
1.3.5. Cho f : R ! R liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0. Chứng minh
rằng tồn tại x0 sao cho
f
à
x0 +
T
2
ả
= f(x0):
1.3.6. Hàm f : (a; b) ! R liên tục. Chứng minh rằng, với x1; x2; : : : ; xn cho
trước trong (a; b), tồn tại x0 2 (a; b) sao cho
f(x0) =
1
n
(f(x1) + f(x2) + Â+ f(xn)):
1.3.7.
(a) Chứng minh rằng phương trình (1 Ă x) cosx = sinx có ít nhất một
nghiệm trong (0; 1).
(b) Với đa thức khác không P , chứng minh rằng phương trình jP (x)j = ex
có ít nhất một nghiệm.
1.3.8. Với a0 < b0 < a1 < b1 < Â Â Â < an < bn, chứng minh rằng mọi nghiệm
của đa thức
P (x) =
nY
k=0
(x+ ak) + 2
nY
k=0
(x+ bk); x 2 R;
đều là thực.
1.3.9. Giả sử f và g có tính chất giá trị trung gian trên [a; b]. Hỏi f + g có
tính chất giá trị trung gian trên khoảng đó không ?
1.3.10. Giả sử f 2 C([0; 2]) và f(0) = f(2). Chứng minh rằng tồn tại x1 và
x2 trong [0; 2] sao cho
x2 Ă x1 = 1 và f(x2) = f(x1):
Giải thích ý nghĩa hình học kết quả trên.
1.3.11. Cho f 2 C([0; 2]). Chứng minh rằng tồn tại x1 và x2 trong [0; 2] sao
cho
x2 Ă x1 = 1 và f(x2)Ă f(x1) = 1
2
(f(2)Ă f(0)):
16 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.3.12. Với n 2 N, gọi f 2 C([0; n]) sao cho f(0) = f(n). Chứng minh rằng
tồn tại x1 và x2 trong [0; n] thoả m∙n
x2 Ă x1 = 1 và f(x2) = f(x1):
1.3.13. Hàm liên tục f trên [0; n]; n 2 N, thoả m∙n f(0) = f(n). Chứng minh
rằng với mọi k 2 f1; 2; : : : ; n Ă 1g, tồn tại xk và x0k sao cho f(xk) = f(x0k), ở
đây xkĂ x0k = k hoặc xkĂ x0k = nĂ k. Hỏi với mọi k 2 f1; 2; : : : ; nĂ 1g, có tồn
tại xk và x
0
k sao cho f(xk) = f(x
0
k), ở đây xk Ă x0k = k ?
1.3.14. 6 Với n 2 N, gọi f 2 C([0; n]) sao cho f(0) = f(n). Chứng minh rằng
phương trình f(x) = f(y) có ít nhất n nghiệm với xĂ y 2 N.
1.3.15. Giả sử các hàm thực liên tục f và g xác định trên R giao hoán với
nhau; tức là, f(g(x)) = g(f(x)) với mọi x 2 R. Chứng minh rằng nếu phương
trình f2(x) = g2(x) có nghiệm, thì phương trình f(x) = g(x) cũng có nghiệm
(ở đây f2(x) = f(f(x)) và g2(x) = g(g(x)) ).
Chỉ ra ví dụ rằng giả thiết về tính liên tục của f và g trong bài toán trên
không thể bỏ qua.
1.3.16. Chứng minh rằng đơn ánh liên tục f : R! R thì hoặc tăng thực sự,
hoặc giảm thực sự.
1.3.17. Giả sử f : R! R là dơn ánh liên tục. Chứng minh rằng nếu tồn tại
n sao cho phép lặp thứ n của f là ánh xạ đồng nhất, tức là, fn(x) = x với
mọi x 2 R, thì
(a) f(x) = x; x 2 R, nếu f tăng thực sự,
(b) f 2(x) = x; x 2 R, nếu f giảm thực sự.
1.3.18. Giả sử f : R ! R thoả m∙n điều kiện f(f(x)) = f 2(x) = Ăx; x 2
R.Chứng minh rằng f không thể liên tục.
1.3.19. Tìm tất cả các hàm f : R! R có tính chất giá trị trung gian và tồn
tại n 2 N sao cho fn(x) = Ăx; x 2 R, ở đây fn kí hiệu phép lặp thứ n của f .
17
1.3.20. Chứng minh rằng nếu f : R ! R có tính chất giá trị trung gian và
fĂ1(fqg) đóng với mọi q hữu tỷ, thì f liên tục.
1.3.21. Giả sử f : (a;1) ! R liên tục và bị chặn. Chứng minh rằng, với T
cho trước, tồn tại d∙y fxng sao cho
lim
n!1
xn = +1 và lim
n!1
(f(xn + T )Ă f(xn)):
1.3.22. Cho ví dụ hàm liên tục f : R ! R đạt mỗi giá trị của nó đúng ba
lần. Hỏi có tồn tại hay không hàm liên tục f : R! R đạt mỗi giá trị của nó
đúng hai lần ?
1.3.23. Cho f : [0; 1] ! R liên tục và đơn điệu thực sự từng mảnh. (Hàm f
gọi là đơn điệu thực sự từng mảnh trên [0; 1], nếu tồn tại phân hoạch của
[0; 1] thành hữu hạn khoảng con [tiĂ1; ti], ở đây i = 1; 2; : : : ; n và 0 = t0 < t1 <
   < tn = 1, sao cho f đơn điệu trên mỗi khoảng con đó.) Chứng minh rằng
f nhận một trong các giá trị của nó một số lẻ lần.
1.3.24. Hàm liên tục f : [0; 1] ! R nhận mỗi giá trị của nó hữu hạn lần và
f(0) 6= f(1). Chứng minh rằng f nhận một trong các giá trị của nó một số
lẻ lần.
1.3.25. Giả sử f : K ! K liên tụctrên tập con compact K ẵ R. Ngoài ra,
giả sử x0 2 K là số sao cho mọi điểm giới hạn của d∙y lặp ffn(x0)g là điểm
cố định của f . Chứng minh rằng ffn(x0)g hội tụ.
1.3.26. Hàm f : R! R liên tục, tăng sao cho F xác định bởi F (x) = f(x)Ăx
tuần hoàn với chu kì 1. Chứng minh rằng nếu đ(f) = lim
n!1
fn(0)
n
, thì tồn tại
x0 2 [0; 1] sao cho F (x0) = đ(f). Chứng minh thêm rằng f có điểm bất động
trong [0; 1] nếu và chỉ nếu đ(f) = 0. (Xem các bài toán 1.1.40 - 1.1.42.)
1.3.27. Hàm f : [0; 1] ! R thoả m∙n f(0) 0, và tồn tại hàm
g liên tục trên [0; 1] sao cho f + g giảm. Chứng minh rằng phương trình
f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng mở (0; 1).
18 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.3.28. Chứng minh rằng mọi song ánh f : R! [0;1) có vô hạn điểm gián
đoạn.
1.3.29. Nhắc lại rằng mỗi x 2 (0; 1) có thể được biểu diễn bởi số nhị phân
(binary fraction) :a1a2a3 : : : , ở đây ai 2 f0; 1g; i = 1; 2; : : : . Trong trường hợp
x có hai khai triển nhị phân khác nhau, ta chọn khai triển có vô hạn chữ số
1. Tiếp đó, gọi hàm f : (0; 1) ! [0; 1] được xác định bởi
f(x) = lim
n!1
1
n
nX
i=1
ai:
Chứng minh rằng f gián đoạn tại mọi x 2 (0; 1), tuy nhiên, nó có tính chất
giá trị trung gian.
1.4 Hàm nửa liên tục
Định nghĩa 4. Hệ thống số thực mở rộng R bao gồm hệ thống số thực và
hai kí hiệu +1,Ă1 với các tính chất sau :
(i) Nếu x thực, thì Ă1 < x < +1, và x +1 = +1; x Ă1 = Ă1; x
+1 =
x
Ă1 = 0.
(ii) Nếu x > 0, thì x  (+1) = +1, x  (Ă1) = Ă1.
(iii) Nếu x < 0, thì x  (+1) = Ă1, x  (Ă1) = +1.
Định nghĩa 5. Nếu A ẵ R là tập khác rỗng, thì supA (tương ứng inf A) là
số thực mở rộng nhỏ nhất (tương ứng, lớn nhất) mà lớn hơn (tương ứng, nhỏ
hơn) hoặc bằng mọi phần tử của A.
Cho f là hàm thực xác định trên tập khác rỗng A ẵ R.
Định nghĩa 6. Nếu x0 là điểm giới hạn của A, thì giới hạn dưới (tương ứng
giới hạn trên) của f(x) khi x ! x0 được định nghĩa là inf (tương ứng sup)
của tập tất cả các y 2 R sao cho tồn tại d∙y fxng các điểm trong A khác x0,
hội tụ tới x0 và y = lim
n!1
f(xn). Giới hạn dưới và giới hạn trên của f(x) khi
x! x0 được kí hiệu tương ứng bởi lim
x!x0
f(x) và lim
x!x0
f(x).
19
Định nghĩa 7. Một hàm giá trị thực gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng
trên) tại x0 2 A; x0 là điểm giới hạn của A, nếu lim
x!x0
f(x) á f(x0) (tương ứng
lim
x!x0
f(x) ∙ f(x0)). Nếu x0 là điểm cô lập của A, thì ta giả sử rằng f là nửa
liên tục trên và dưới tại điểm này.
1.4.1. Chứng minh rằng nếu x0 là điểm giới hạn của A và f : A! R, thì
(a) lim
x!x0
f(x) = sup
±>0
infff(x)g : x 2 A; 0 < jxĂ x0j < ±;
(b) lim
x!x0
f(x) = inf
±>0
supff(x)g : x 2 A; 0 < jxĂ x0j < ±:
1.4.2. Chứng minh rằng nếu x0 là điểm giới hạn của A và f : A! R, thì
(a) lim
x!x0
f(x) = sup
±!0+
infff(x)g : x 2 A; 0 < jxĂ x0j < ±;
(b) lim
x!x0
f(x) = inf
±!0+
supff(x)g : x 2 A; 0 < jxĂ x0j < ±:
1.4.3. Chứng minh rằng y0 2 R là giới hạn dưới của f : A! R tại điểm giới
hạn x0 của A nếu và chỉ nếu với mọi " > 0, hai điều kiện sau đây được thoả
m∙n :
(i) tồn tại ± > 0 sao cho f(x) > y0 Ă " với mọi x 2 A và 0 < jxĂ x0j < ±;
(ii) với mọi ± > 0, tồn tại x
0 2 A sao cho 0 < jx0 Ă x0j < ± và f(x) < y0 + ":
Thiết lập bài toán tương tự cho giới hạn trên của f tại x0:
1.4.4. Cho f : A! R và x0 là điểm tới hạn của A. Chứng minh rằng
(a) lim
x!x0
f(x) = Ă1 nếu và chỉ nếu với mọi y thực và với mọi ± > 0, tồn tại
x
0 2 A sao cho 0 < jx0 Ă x0j < ± và f(x0) < y.
(b) lim
x!x0
f(x) = +1 nếu và chỉ nếu với mọi y thực và với mọi ± > 0, tồn tại
x
0 2 A sao cho 0 y.
20 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.4.5. Giả sử f : A! R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng nếu
l = lim
x!x0
f(x) (tương ứng L = lim
x!x0
f(x)), thì tồn tại d∙y fxng; xn 2 A; xn 6= x0,
hội tụ tới x0 sao cho l = lim
n!1
f(xn) (tương ứng L = lim
n!1
f(xn)).
1.4.6. Cho f : A! R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng
lim
x!x0
(Ăf(x)) = Ă lim
x!x0
f(x) và lim
x!x0
(Ăf(x)) = Ă lim
x!x0
f(x):
1.4.7. Cho f : A! (0;1) và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng
lim
x!x0
1
f(x)
=
1
lim
x!x0
f(x)
và lim
x!x0
1
f(x)
=
1
lim
x!x0
f(x)
:
(Ta giả sử rằng 1
+1 = 0 và
1
0+
= +1.)
1.4.8. Giả sử f; g : A ! R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng
các bất đẳng thức sau đây đúng (trừ trường hợp các dạng bất định +1Ă1
và Ă1+1):
lim
x!x0
f(x) + lim
x!x0
g(x) ∙ lim
x!x0
(f(x) + g(x)) ∙ lim
x!x0
f(x) + lim
x!x0
g(x)
∙ lim
x!x0
(f(x) + g(x)) ∙ lim
x!x0
f(x) + lim
x!x0
g(x):
Cho ví dụ các hàm sao cho 00 ∙ 00 trong các bất đẳng thức trên được thay bởi
00 <00.
1.4.9. Giả sử f; g : A ! [0;1) và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh
rằng các bất đẳng thức sau đây đúng (trừ trường hợp các dạng bất định
0 Â (+1) và (+1) Â 0):
lim
x!x0
f(x) Â lim
x!x0
g(x) ∙ lim
x!x0
(f(x) Â g(x)) ∙ lim
x!x0
f(x) Â lim
x!x0
g(x)
∙ lim
x!x0
(f(x) Â g(x)) ∙ lim
x!x0
f(x) Â lim
x!x0
g(x):
Cho ví dụ các hàm sao cho 00 ∙ 00 trong các bất đẳng thức trên được thay bởi
00 <00.
21
1.4.10. Chứng minh rằng nếu lim
x!x0
f(x) tồn tại, thì (trừ trường hợp các dạng
bất định +1Ă1 và Ă1+1):
lim
x!x0
(f(x) + g(x)) = lim
x!0
f(x) + lim
x!x0
g(x);
lim
x!x0
(f(x) + g(x)) = lim
x!0
f(x) + lim
x!x0
g(x):
Ngoài ra, nếu f và g là các hàm không âm, thì (trừ trường hợp các dạng bất
định 0 Â (+1) và (+1) Â 0):
lim
x!x0
(f(x) Â g(x)) = lim
x!0
f(x) Â lim
x!x0
g(x);
lim
x!x0
(f(x) Â g(x)) = lim
x!0
f(x) Â lim
x!x0
g(x):
1.4.11. Chứng minh rằng nếu f liên tục trên (a; b); l = lim
x!a
f(x) và L =
lim
x!a
f(x), thì với mọi á 2 [l; L], tồn tại d∙y fxng gồm các điểm trong (a; b) hội
tụ tới a sao cho lim
n!1
f(xn) = á.
1.4.12. Tìm tất cả các điểm tại đó f : R! R xác định bởi
f(x) =
(
0 nếu x vô tỷ,
sinx nếu x hữu tỷ
là nửa liên tục.
1.4.13. Xác định tất cả các điểm tại đó f xác định bởi
f(x) =
(
x2 Ă 1 nếu x vô tỷ,
0 nếu x hữu tỷ
là nửa liên tục.
1.4.14. Chứng minh rằng
f(x) =
8>:
0 nếu x vô tỷ hoặc x = 0,
1
q
nếu x = p
q
; p 2 Z; q 2 N,
và p; q nguyên tố cùng nhau,
là nửa liên tục trên.
22 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.4.15. Tìm tất cả các điểm tại đó hàm xác định bởi
(a) f(x) =
8>:
jxj nếu x vô tỷ hoặc x = 0,
qx
qx+1
nếu x = p
q
; p 2 Z; q 2 N,
và p; q nguyên tố cùng nhau
(b) f(x) =
8>:
(Ă1)q
q+1
nếu x 2 Q \ (0; 1] và x = p
q
; p; q 2 N,
và p; q nguyên tố cùng nhau,
0 nếu x 2 (0; 1) vô tỷ
không nửa liên tục trên, cũng không nửa liên tục dưới.
1.4.16. Cho f; g : A ! R nửa liên tục trên (tương ứng, dưới) tại x0 2 A.
Chứng minh rằng
(a) nếu a > 0 thì af nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0 2 A. Nếu
a > 0 thì af nửa liên tục trên (tương ứng, dưới) tại x0.
(b) f + g nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0.
1.4.17. Giả sử rằng fn : A ! R; n 2 N, nửa liên tục dưới (tương ứng, trên)
tại x0 2 A. Chứng minh rằng sup
n2N
fn (tương ứng, sup
n2N
fn) nửa liên tục dưới
(tương ứng, trên) tại x0.
1.4.18. Chứng minh rằng giới hạn theo từng điểm của một d∙y tăng (tương
ứng, giảm) các hàm nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) là nửa liên tục dưới
(tương ứng, trên).
1.4.19. Với f : A! R và x là điểm giới hạn của A, định nghĩa dao độ của f
tại x bởi
of(x) = lim
±!0+
supfjf(z)Ă f(u)j : z; u 2 A; jz Ă xj < ±; juĂ xj < ±g
Chứng minh rằng of (x) = f1(x)Ă f2(x), ở đây
f1(x) = maxff(x); lim
z!x
f(z)g và f2(x) = minff(x); lim
z!x
f(z)g:
23
1.4.20. Gọi f1; f2, và of như trong bài toán trước. Chứng minh rằng f1 và of
là nửa liên tục trên, và f2 là nửa liên tục dưới.
1.4.21. Chứng minh rằng để f : A ! R là nửa liên tục dưới (tương ứng,
trên) tại x0 2 A, điều kiện cần và đủ là với mọi a < f(x0) (tương ứng,
a > f(x0)), tồn tại ± > 0 sao cho f(x) > a (tương ứng, f(x) < a) bất cứ khi
nào jxĂ x0j < ±; x 2 A.
1.4.22. Chứng minh rằng để f : A ! R là nửa liên tục dưới (tương ứng,
trên) tại x0 2 A, điều kiện cần và đủ là với mọi a 2 R, tập fx 2 A : f(x) > ag
(tương ứng, fx 2 A : f(x) < ag) là mở trong A.
1.4.23. Chứng minh rằng f : R! R là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu tập
f(x; y) 2 R2 : y á f(x)g là đóng trong R2.
Lập công thức và chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục
trên của f trên R.
1.4.24. Chứng minh định lí Baire sau đây. Mọi hàm nửa liên tục dưới (tương
ứng, trên) f : A ! R là giới hạn của d∙y tăng (tương ứng, giảm) các hàm
liên tục trên A.
1.4.25. Chứng minh rằng nếu f : A ! R nửa liên tục trên, g : A ! R nửa
liên tục dưới và f(x) ∙ g(x) khắp nơi trên A, thì tồn tại hàm liên tục h trên
A sao cho
f(x) ∙ h(x) ∙ g(x); x 2 A:
1.5 Tính liên tục đều
Định nghĩa 8. Hàm thực f xác định trên tập A 2 R được gọi là liên tục đều
trên A nếu, với " cho trước, tồn tại ± > 0 sao cho với mọi x và y trong A mà
jxĂ yj < ±, ta có jf(x)Ă f(y)j < ".
24 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.5.1. Kiểm tra các hàm sau đây có liên tục đều trên (0; 1) hay không :
(a) f(x) = ex; (b) f(x) = sin
1
x
;
(c) f(x) = x sin
1
x
; (d) f(x) = e
1
x ;
(e) f(x) = eĂ
1
x ; (f) f(x) = ex cos
1
x
;
(g) f(x) = lnx; (h) f(x) = cosx  cos ẳ
x
;
(i) f(x) = cotg x:
1.5.2. Hàm nào trong số các hàm sau đây liên tục đều trên [0;1) ?
(a) f(x) =
p
x; (b) f(x) = x sinx;
(c) f(x) = sin2 x; (d) f(x) = sinx2;
(e) f(x) = ex; (f) f(x) = esin(x
2);
(g) f(x) = sin sinx; (h) f(x) = sin(x sinx);
(i) f(x) = sin
p
x:
1.5.3. Chứng minh rằng nếu f liên tục đều trên (a; b); a; b 2 R, thì lim
x!a+
f(x)
và lim
x!bĂ
f(x) tồn tại như các giới hạn hữu hạn.
1.5.4. Giả sử f và g liên tục dều trên (a; b) ([a;1)). Từ đó có suy ra tính liên
tục đều trên (a; b) ([a;1)) của các hàm
(a) f + g;
(b) fg;
(c) x 7! f(x) sinx ?
1.5.5.
(a) Chứng minh rằng nếu f là liên tục đều trên (a; b] và trên [b; c) , thì nó
cũng liên tục trên (a; c).
25
(b) Giả sử A và B là các tập đóng trong R và gọi f : A[B ! R là liên tục
đều trên A và B. Hỏi f có nhất thiết liên tục đều trên A [B ?
1.5.6. Chứng minh rằng mọi hàm liên tục và tuần hoàn trên R thì liên tục
đều trên R.
1.5.7.
(a) Chứng minh rằng nếu f : R! R liên tục sao cho lim
x!Ă1
f(x) và lim
x!1
f(x)
là hữu hạn, thì f cũng liên tục đều trên R.
(b) Chứng minh rằng nếu f : [a;+1) ! R liên tục và lim
x!1
f(x) là hữu hạn,
thì f cũng liên tục đều trên [a;1).
1.5.8. Kiểm tra tính liên tục đều của
(a) f(x) = arctg x trên (Ă1;+1);
(b) f(x) = x sin 1
x
trên (0;+1);
(c) f(x) = eĂ
1
x trên (0;+1):
1.5.9. Giả sử f liên tục đều trên (0;1). Hỏi các giới hạn lim
x!+0
f(x) và
lim
x!1
f(x) có tồn tại không ?
1.5.10. Chứng minh rằng mọi hàm bị chặn, đơn điệu và liên tục trên khoảng
I ẵ R là liên tục đều trên I.
1.5.11. Giả sử f liên tục đều và không bị chặn trên [0;1). Phải chăng hoặc
lim
x!1
f(x) = +1 , hoặc lim
x!1
f(x) = Ă1 ?
1.5.12. Hàm f : [0;1) ! R liên tục đều và với mọi x á 0, d∙y ff(x+n)g hội
tụ tới không. Chứng minh rằng lim
x!1
f(x) = 0.
1.5.13. Giả sử f : [1;1) ! R liên tục đều. Chứng minh rằng tồn tại số
dương M sao cho jf(x)j
x
∙M với x á 1.
26 Chương 1. Giới hạn và tính liên tục
1.5.14. Gọi f : [0;1) ! R liên tục đều. Chứng minh rằng tồn tại số dương
M với tính chất sau đây :
sup
u>0
fjf(x+ u)Ă f(u)jg ∙M(x+ 1) với mọi x á 0:
1.5.15. Cho f : A ! R; A ẵ R; liên tục đều. Chứng minh rằng nếu fxng là
d∙y Cauchy các phần tử trong A, thì ff(xn)g cũng là d∙y Cauchy.
1.5.16. Giả sử A ẵ R bị chặn. Chứng minh rằng nếu f : A ! R biến d∙y
Cauchy các phần tử của A thành d∙y Cauchy, thì f liên tục đều trên A. Tính
bị chặn củâ A có phải là giả thiết cốt yếu không ?
1.5.17. Chứng minh rằng f liên tục đều trên A 2 R nếu và chỉ nếu với mọi
d∙y fxng và fyng các phần tử của A,
lim
n!1
(xn Ă yn) = 0 suy ra lim
n!1
(f(xn)Ă f(yn)) = 0:
1.5.18. Giả sử f : (0;1) ! (0;1) liên tục đều. Từ đó có suy ra
lim
x!1
f(x+ 1
x
)
f(x)
= 1 ?
1.5.19. Hàm f : R! R liên tục tại 0 và thoả m∙n các điều kiện sau đây
f(0) = 0 và f(x1 + x2) ∙ f(x1) + f(x2) với mọi x1; x2 2 R:
Chứng minh rằng f liên tục đều trên R.
1.5.20. Với f : A! R; A ẵ R, ta định nghĩa
!f(±) = supfjf(x1 Ă f(x2))j : x1; x2 2 A; jx1 Ă x2j < ±g
và gọi !f là mô đun liên tục của f . Chứng minh rằng f liên tục đều trên A
nếu và chỉ nếu lim
±!0+
!f(±) = 0:
1.5.21.