Bài tập khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Tính đơn điệu của hàm số
Hàm số đơn điệu: 
Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi 
* f nghịch biến trên K nếu với mọi
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì với mọi 
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì với mọi
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm 
sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)
Định lý 2:1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
* Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)
B. Bài Tập :
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy nhất 
thuộc đoạn 
Bài giải:
Xét hàm số liên tục trên đoạn 
Ta có
Vì sinx > 0 nên 
Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn 
* Hàm số f liên tục trên đoạn, ta có , nên phương trình cho không có nghiệm 
* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục 
( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc
Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R 
Bài giải:
Để hàm số đồng biến trên R thì 
* 
!/ m = -2 thì không thỏa 
!!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa
*, khi đó để thì 
Vậy hàm số đổng biến trên R 
Bài tập 3: Cho hàm số : . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
*
* , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt 
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn 
Bài tập tự luyện:
1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số có đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến?
Bài giải:
* Tập xác định D = R
* ; với 
* Để hàm số đồng biến trên D khi 
Bài tập 5:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng 
Bài giải:
. Để hàm số đồng biến trong khoảng 
PP1: 
, do đó
PP2: 
* m = 0 khi đó . Thế m = 0 có nhận không nhỉ ???
*
!/ Hàm số đồng biến trên D khi Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng 
!!/ Giả sửthì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt 
Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm 
Bài tập tự luyện:
1/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?.
2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến ?.
3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm 
4/ Cho hàm số . Tìm m để
5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng 
6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng 
HÀM SỐ HỮU TỶ
BÀI 01Cho hàm số y = có đồ thi là 
1. Cho A(0,a). Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox
2. Gọi M là điểm bất kỳ trên 
a. Tìm tọa độ M để tổng khoảng cách từ 
*) Đến hai tiệm cận là ngắn nhất
*) Đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất
b. CMR tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là hằng số không đổi
3. Một đường thẳng tiếp xúc tại Q, đồng thời cắt hai tiệm cận tại E,F và hai trục tọa độ tại là giao điểm hai đường tiệm cận
a. CMR : 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng và diện tích tam giác không phụ thuộc vào vị trí Q
b. Xác định tọa độ điểm Q để (t) vuông góc với IQ
c. Tìm tọa đô H,K sao cho chu vi tam giác HIK nhỏ nhất
4. Gọi B,C là hai điểm bất kỳ thuộc . Tìm tọa độ trung điểm N của BC để tam giác ABC đều, biết 
5. Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng (d) y = x + m luôn cắt tại 2 điểm phân biệt R,T . Từ đó tìm m để 
a. RT ngắn nhất
b. 
6. Tìm trên đồ thị cặp điểm mà chúng đối xứng nhau qua đường thẳng 
BÀI 02
Cho hàm số y = ; có đồ thị là 
1. Gọi M thuộc có hoành độ .
a. Chứng tỏ rằng tích khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận không phụ thuộc vào 
b. Tìm tọa độ M sao cho tích hệ số góc của đt IM và tiếp tuyến tại M bằng 3, I là giao điểm hai đường tiệm cận
2. Tìm trên đường thẳng y = 1 những điểm E sao cho qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến sao cho 2 tiếp tuyến tạo nhau 1 góc 
3. Tìm giá trị a để 2 cực trị của nằm về hai miền khác nhau của đường tròn : = 
4. Lập phương trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó vuông góc tiệm cận xiên. Tìm tọa độ tiếp điểm
4. Cho (d) : . Giả sử (d) cắt tại hai điểm phân biệt A,B
a. Có hay không những giá trị m để độ dài AB là ngắn nhất
b. Định m để độ dài AB = 
5. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của không qua giao điểm hai đường tiệm cận
6. Tìm trên đường thẳng (t) những điểm W sao cho khoảng cách từ W đến tiệm cận đứng gấp 2 lần khoảng cách từ W đến tiện cận xiên
BÀI 03
Cho hàm số y = m là tham số, đố thị là 
1. Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của hàm số trên có diên tích bằng 4 (đvdt)
2. Định m để có cực đại , cực tiểu mà 
a. = 16
b. = 5
3. Định m để đường thẳng y = m - x luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt AB sao cho AB = 
4. Khi m = - 3, đồ thị là 
a. Một đường thẳng (d) tiếp xúc tại M đồng thời cắt hai đường tiệm cận tại E,F. CMR: M luôn là trung điểm EF và diện tích tam giác EIF không phụ thuộc vào vị trí M. I là giao điểm hai đường tiệm cận 
b. là 2 đt lần lượt qua I có hệ số góc là .Tìm nguyên để cắt tại 4 điểm phân biệt P,Q,R,S sao cho 4 điểm này tạo thành hình chữ nhật
c. Tìm trên đồ thị hai điểm H,J sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 3x - y - 2 = 0
d. Qua M dựng 2đường thẳng lần lượt cùng phương tiệm cận đứng, tiệm cận xiên đồng thời cắt 2 đường tiệm cận đó theo thứ tự là Q,G. CMR diện tích hình bình hành MQIG không phụ thuộc vào vị trí M 
BÀI 04
Cho hàm số ,có đồ thị là ; m là tham số
A. Khi m = 0 đồ thị là 
1. Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm mà qua đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến 
2. Tìm trên đường thẳng y = 4 những điểm mà qua đó kẻ hai tiếp tuyến tạo nhau một góc 
3. Tìm trên đồ thị những cặp điểm sao cho chúng đối xứng nhau qua góc tọa độ
4. Tìm trên đồ thị hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài AB ngắn nhất
5Gọi là hai đường thẳng qua I giao điểm hai đường tiệm cận; đồng thời cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt R,M,S,N. Tìm tọa độ M,N,R,S sao cho MNRS là hình chữ nhật
B. Khi m là tham số 
6. Tìm tập hợp những điểm mà không có đố thị nào trong họ đi qua
7. CMR: thì đường cong luôn có cực đại và cực tiểu 
8. Định m để :
* 
* 
* ngắn nhất
* 
9. Tìm m để tiếp tuyến tại K có hoành độ x = 5 vuông góc với tiệm cận xiên
10. Tìm m để tích khoảng cách từ H thuộc đến hai tiệm cận
bằng 
HÀM SỐ BẬC BA 
BÀI 01: VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TIẾP TUYẾN & CỰC TRỊ
Cho hàm số , đồ thị , m : tham số
1) Cho m = 2 đồ thị là 
a. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua A(,4) và tiếp xúc 
b. Tìm trên đồ thị những điểm K sao cho qua K:
* Kẻ duy nhất một tiếp tuyến đến 
* Kẻ hai tiếp tuyến phân biệt đến 
* Kẻ đúng hai tiếp tuyến đến mà 2 tiếp tuyến tạo nhau một góc 
* Kẻ 3 tiếp tuyến đến 
* Kẻ 3 tiếp tuyến mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc đế 
c. Tìm tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị . Biết rằng (t):
* Song song với đường thẳng : 
* Vuông góc với đường thẳng : 
* Có hệ số góc 
d.Tìn trên đồ thị những điểm E,F đối xứng nhau qua góc tọa độ
2) m là tham số , đồ thị 
a. CMR: với thì hàm số có hai cực trị (, , (, 
* Định m để , và B(0, - 1) thẳng hàng
* Định m để :
+) + > 4
+) | - | = 27
b. Định m để : 
+) Tam giác O vuông tại O; O là gốc tọa độ
+) :
&) Cùng phương với đt: y = -4x + 4
&) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ
c. Định m để cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 
+) Trong đó có 2 hoành độ dương 
+) Lập cấp số cộng 
d. Với m nào thì tiếp tuyến tại điểm x = 1 cắt 2 trục tọa độ tạo 1 tam giác có diện tích bằng 2( đvdt)
e. Gọi H, P là 2 điểm trên 
+) Tìm m để H, P đối xứng nhau qua góc tọa độ
+) Có hay không giá trị m nguyên để H,P có tọa độ ngyên
f. Với m nào thì tiếp tuyến tại hai điểm cực trị vuông góc nhau
g. Định m để:
+) nhận I(,) làm tâm đối xứng
+) Điểm uốn có hoành độ thỏa mãn 
BÀI 02
Cho hàm số , có đồ thị là 
1. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ thị , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
2. Gọi là hoành độ giao điểm của và . Định m để:
a. Hoành độ lập thành cấp số nhân
b. = 27
3. Gọi . Định m để cắt © tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn :
a. Hoành độ lập cấp số cộng 
b. Hoành độ lập cấp số nhân
c. = 0
d. = 0
4. Định m để 2 cực trị của nằm về hai miền khác nhau của
5. Với m nào thì tiếp xúc 
BÀI 03 Bài tập cơ bản mà
Cho hàm số có đồ thị là , m là tham số
Câu hỏi bình thường tương tự BÀI 01 VÀ BÀI 02
1. Cho m = 1, đồ thị là 
a. Tìm trên đườmg thẳng y = 6 những điểm M có tọa độ nguyên sao cho qua m kẻ được : 
* Duy nhất một tiếp tuyến đến 
* Hai tiếp tuyến đến 
* Ba tiếp tuyến đến 
* Ba tiếp tuyến đến mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc
b. Tương tự cho 
c. Lập phương trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó 
* Có hệ số góc 
* Song song với đường thẳng :
* Vuông góc với đường thẳng : 
d. CMR: tồn tại duy nhất một tiếp tuyến qua điểm uốn của có hệ số góc nhỏ nhất
Câu hỏi khác
2. Tìm để đi qua điểm 
3. Định m để hàm số đồng biến 
* 
* 
4. Gọi là là hai cực trị của . Định m để :
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
5. Định m để hai cực trị của 
* Nằm về hai phía trục tung 
* Nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng 
* Một cực trị nằn trong còn cực trị kia nằm ngoài 
* 
* và điểm (1,0) thẳng hàng 
6. Tìm quỹ tích điểm 
7. Tìm m để điểm uốn của nằm trên đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ
8. Định m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ chắn hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2
HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
BÀI 01
Cho hàm số y = có đồ thị là 
1. Tìm giá trị âm của m để đồ thị cắt đường thẳng y = 1 có 3 giao điểm phân biệt 
2.Khi , đồ thị là 
a. Tìm trên đường thẳng y = - 1 những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến 
b. Chứng tỏ rằng có 3 tiếp tuyến qua (0,2) và kẻ đến . Tịnh góc tạo bởi các tiếp tuyến đó
3. Khi m là tham số , đồ thị là 
a. Tìm m để đi qua (1,2)
b. Tìm m để điểm uốn của đt có hoành độ thỏa mãn bất phương trình 
4. Giả sử có 3 cực trị là . Định m để 3 cực trị thỏa mãn:
a. Có hoành độ dương
b. Có hoành độ thuộc (1, 2)
c. Có hoành độ lập cấp số cộng 
d. = m 
e. = 4
f | đạt giá trị nhỏ nhất 
g. lưu động trên đường tròn đường kính O 
5. Định m để tiếp tuyến tại điểm x = 0 cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm phân biệt và cùng tọa độ tạo một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
6. Với m nào thì O luôn là trọng tâm tam giác 
BÀI 02
Cho hàm số có đồ thị là 
1. CMR với thì luôn cắt trụ hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ . CMR trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong (- 3,3)
2. Tìm m để = 207
3. Định m để diện tích hình phẳng giới hạn phía trên và phía dưới trục hoành của bằng nhau 
BÀI 03: Chỉ là bài toán tiếp tuyến căn bản - nhưng hs dễ làm sai thôi mà
Cho hàm số có đồ thị là 
1. Lập phương trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó 
* Đi qua điểm có hoành độ 
* Đi qua điểm có tung độ 
* Có hệ số góc 
2. Tìm trên đường thẳng những điểm N sao cho qua N kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến ( C )
3. Tìm trên trục hoành những đểm M sao cho qua đó không thể kẻ quá hai tiếp tuyến đến ( C )
BÀI 04: Chỉ có thể là căn bản thôi - thử xem 
Cho hàm số 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đi qua góc tọa độ O
2. Định tọa độ điểm K thuộc đồ thị để tiếp tuyến của tại K còn cắt tại 2 điểm E, F sao cho E là trung điểm KF
3. Tìm tập hợp điểm M trên trục y'Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến 
4. Định tập hợp điểm N trên đường thẳng y = 3 để từ N vẽ được 4 tiếp tuyến đến 
BÀI 05
Cho hàm số có đồ thị là , a là tham số
1. Xét các giá trị của a để y = 0 có nghiệm. Với mỗi a đó gọi là nghiệm bé nhất của phương trình. Xác định a để bé nhất.
2. Tìm a để hàm số có trục đối xứng 
3. Định a để hàm số có cực đại. kiểm nghiệm sằng điểm cực đại của đồ thị không thể có hoành độ dương.
4. Với giá trị a nào thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng.
5. Tìm điểm A thuộc Oy sao cho từ A có thể kẻ đến 3 tiếp tuyến
BÀI 06
Cho hàm số có đồ thị là , a là tham số
1. Xác định a sao cho y = 0 có hai nghiệm khác nhau và lớn hơn 1
2. Xác định a để phương trình y = 0 có 4 nghiệm phân biệt
3. Tìm a để tiếp xúc với đường cong : tại một điểm A cố định có hoành độ bằng -1
4. Tìm a sao cho tiếp xúc tại hai điểm khác nhau
5. Định a để hàm số có cực đại, khi đó chứng tỏ rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số không có hoành độ dương 
6. Tìm giá trị a nguyên âm để y > 0 
BÀI 07
Cho hàm số có đồ thị là 
1. Tìm các giá trị m sao cho y > 0 
2. Với giá trị m ở câu a chứng minh 
3. Xác định m để tiếp xúc với d: y = 2(x - 1) tại điểm có hoành độ x = 1
4. Tìm điểm cố định mà đường cong không đi qua bất chấp m
5. Với giá trị nào của m thì luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng
6. Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương . Lập phương trình tiếp tuyến của tại A và song song với đường thẳng 
7. Khi m = 1. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 
BÀI 08
Cho hàm số có đồ thị , m là tham số
1. Định m để tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt
2. Với giá trị m nào thì hàm số có cực trị. Đồng thời các cực điểm ấy tạo thành tam giác đều
3. Xác định giá trị m để cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
4. Tìm m để có đúng một cực trị
5. Tìm m để có điểm chung với trục hoành
6. Tìm m để có cực trị tại x = 1
7. Tìm m để có cực tiểu mà không có cực đại
8. Cho điểm M trên có hoành độ . Tìm những giá trị của để tiếp tuyến của tại M cắt tại hai điểm khác M. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ x = 2. Khi m = 1
BÀI 09
Cho hàm số 
1. Tìm k để hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm thỏa . 
2. Tìm k để hàm số cắt trục hoành có ít nhất hai nghiệm và tích hai nghiệm bằng 
3. Định k để hàm số có cực trị và giá trị cực trị đó có hoành độ nhỏ hơn 2
Bài toán về tiếp tuyến của đường cong.
 Cho (C) là đồ thị hàm số y= f(x)
1l)   Định lí :Điểm ( C), hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là k= 
2)    Các bài toán cơ bản :
(*) Dạng 1: lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại  
Lời giải :
Phương trình tiếp tuyến tại : y= 
VD1: Cho h/s .lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(2;3)
Lời giải:
Ta có : y’ = 
           y’(2)= 9
phương trình tiếp tuyến tại M: y= 9(x-2)+3 = 9x-15.
(*) Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
Lời giải:
Gọi là tiếp điểm .
Ta có = k  =?  =?
phương trình tiếp tuyến tại M:
VD2: Cho (C) là đường thẳng : y= . Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d có phương trình : y= 9x-4.
Lời giải :
Ta có hệ số góc của đường thẳng d là k=9.
Do tiếp tuyến song song với d hệ số góc của tiếp tuyến là k=9.
Gọi là tiếp điểm .
= k
  =9
 =4
  = 2
Với   =2   = 3
 phương trình tiếp tuyến: y=9(x-2) + 3 = 9x-15
Với = -2  = -1
Phương trình tiếp tuyến : y= 9(x-2)-1= 9x +17
Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) cùng song song với d lần lượt có phương trình : y=9x-15
                                                                                                                                        y=9x+17.
Chú ý: Đồ thị hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y= g(x)
có nghiệm
Dạng 3 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua 
Lời giải :
Đường thẳng đi qua  có phương trình dạng: y=  (*)
d là tiếp tuyến có nghiệm .
Giải hệ tìm được k, thay vào (*) phương trình tiếp tuyến .
VD3:Cho (C) là đồ thị hàm số y=  lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;-4) 
Giải :
Đường thẳng d đi qua A(1;-4) có phương trình dạng : y= k(x-1)-4.(*)
d là tiếp tuyến   có nghiệm .
Thế (2) vào (1) : 
=0
(x-2) =0
Với x= -2 k= -9 . Thế vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến y= -9x+ 5
Với x=1 k=0 thế vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:y=-4.
Tóm lại: phương pháp chung để giải dạng toán này là sử dụng các kết quả:
1)   Hệ số góc k của cát tuyến AB với đường cong (C): y=f(x), biết A,B theo thứ tự có hoành độ là , được cho bởi :k=
2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điếm là : 
Một số dạng bài tập có liên quan
Bài tập1:Lập phương trình tiếp tuyến với parabol(P) : = + 4x – 3. tại những điểm mà (P) cắt trục hoành.
Bài tập 2 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y= biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): .
Bài tập3:Cho đường cong: (C):y=. viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) biết rằng : 
a)   hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1
b)   tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):x-4y+3= 0
Bài tập4:Cho đường cong (C):y=. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong :
a)   Tại điểm M(-1;-1)
b)    Tại điểm có hoành độ bằng 1
c)   biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2