Bài tập ôn tập phòng dịch covid19 lần 1 môn Toán Lớp 8

BÀI TẬP ễN TẬP PHềNG DỊCH COVID19 LẦN 1
MễN: TOÁN – LỚP: 8A,B
Chuyên đề phân thức đại số
I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản: 
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0
	A là tử thức (tử).
	B là mẫu thức
Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1.
	b) Hai phân tức bẳng nhau: 
Với hai phân thức và , ta nói = nếu A.D = B.C
 2) Bài tập:
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
	a);	b) ;
	c) ;	d) ;
Bài 2. Tìm tập xác định của các phân thức sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d).
Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:
a) ;	b) ;	c) ;
II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
 a) Tính chất: 
- Tính chất 1: (M là đa thức khác đa thức 0).
- Tính chất 2: (M là nhân tử chung khác 0).
b) Quy tắc đổi dấu: .
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
	a);	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f).
Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước.
	a) ;	b) ;
Bài 3. Hãy viết các phân thức sau dưới dạng một phân thức có mẫu thức là 1 - x3;
	a) ;	b) ;	c) .
Bài 4. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau:
	a) ;	b) ;
III) Rút gọn phân thức
1) Phương pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
	a);	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;
	i) ;	k) .
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ;	b) .
Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:
	a) ;	b) .
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) với a = 3, x = ;	b) với x = 98
	c) với x = ;	d) với x = ;
Bài 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = .
Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
	a) ;	b) ;
Bài tập nâng cao.
Bài 7. Rút gọn các biểu thức.
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
g) ;	h) ;
Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
	a) ;	b) .
Bài 9. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức.
	A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
 HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
Bài 10. Rút gọn biết rằng x + y + z = 0.
Bài 11. Tính giá trị của phân thức A = , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0.
	HD
Ta có A2 = 
Do 2y < 3x < 0 . vậy A = .
Bài 12. Rút gọn biểu thức: P = .
	HD
Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
Do đó P = 
Bài 13. Cho phân số A = (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân.
	HD
Ta có A = . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được:
A= 
(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
Bài 14. Cho phân thức: M = 
	a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
	b) Rút gọn biểu thức M.
	HD:
	a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0	a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
 a + b = b + c = c + a
 a = b = c.
vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, 
tức là a2 + b2 c2 0.
	b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2 + b2 + c2 = x; 
ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y.
Ta có M = 
(Điều kiện là a2 + b2 c2 0)
IV) Quy đồng mẫu thức.
1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần).
- Lập tích các nhân tử bằng số và chữ:
	+) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu.
	+) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất.
2) Bài tập áp dụng 
Các bài tập cơ bản và nâng cao.
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) 
g) ;	h) .
Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
	f) .
V) Phép cộng các phân thức đai số.
1) Cộng hai phân thức cùng mẫu: Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu
2) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau:
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đã quy đồng).
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cộng các phân thức cùng mẫu thức:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 2. Cộng các phân thức khác mẫu thức:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
Bài 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng.
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
Bài 4. Cộng các phân thức:
a) ;
b) ;
c) ;
Bài 5. Cho hai biểu thức:
	A = ,	B = 
Chứng tỏ rằng A = B.
Bài 6. Tính giá trị của biểu thức :
a) A = với x = 10;
b) B = với x = -99
Các bài tập nâng cao
Bài 8. Tìm các số a và b sao cho phân thức viết được thành 
	HD: Dùng một trong hai phương pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi quy đồng.
Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) ;	b) .
Bài 10. Cộng các phân thức :
	.
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1980)
Bài 11. Rút gọn biểu thức :
	A = .
VI) Phép trừ các phân thức đại số.
1) Phân thức đối:
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
- Công thức: và .
2) Phép trừ:
- Quy tắc: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của 
- Công thức: 	
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính trừ các phân thức:
a) ;	b);
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
k) ;	l) ;
Bài 2. Thực hiện phép tính:
	a) ;
	b) .
Bài3. Tính giá trị của các biểu thức:
	a) A = với x = 99;
	b) B = với x = .
Các bài toán nâng cao
Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z.
	.
Bài 8. Thực hiện phép tính :
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho:
	a) ;
	Đáp số: Dùng phương pháp đồng nhất ta được a = , c = , b = .
	b) ;	(ĐS : )
	c) . 	(ĐS: a = -1; b = 1; c = 1)
Bài 10. Cho abc = 1	(1)
	(2)
Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
	HD
Từ (2) :
Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca 	(3)
Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
	= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1.
Bài 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức :	A = .
	HD : A =.
Bài 12. Tìm x, y, z biết : .
	HD: 
Từ suy ra : 
Bài 13. Tìm x, y biết:	.
	HD
Ta có 
Có bốn đáp số như sau:
x
1
1
-1
-1
y
1
-1
1
-1
Bài 14. Cho biết : (1), (2). Chứng minh rằng a + b + c = abc.
	HD
Từ (1) suy ra : 
Do (2) nên : 
Bài 15. Cho (1) (2). Tính giá trị biểu thức: .
	HD
Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0	(3)
Từ (2) suy ra : 
Do đó : 
Bài 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. CMR: .
	HD
Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0.
Do đó : 
Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz.
Bài 17. Cho . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
	HD
Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b 
Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên :
a) ;	(ĐS : )	
b) ; (ĐS : )
c) . (ĐS : 
Bài 19. Rút gọn biểu thức :
	HD
Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một :
	=
Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Bài 20. Rút gọn biểu thức :
	B = 
	HD 
Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp, ta được :
Do đó B = 
VII) Phép nhân các phân thức đại số.
1) Kiến thức cơ bản: .
2) Tính chất cơ bản:
 - Giao hoán: 
 - Kết hợp: 
 - Phân phối đối với phép cộng: .
3) Bài tập cơ bản: 
Bài 1. Làm tính nhân phân thức :
	a) ; 	b) ;
	c) .	d) ;
	Bài 2. Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy được nhân tử chung).
	a) ;	b) ;
	c) .
Bài 5. Rút gọn biểu thức :
a) ;	b) .
c) ;	
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức :
	 với x = 15, y = 5.
Bài 7. Chứng minh rằng :
	.