Bài tập phụ đạo Tự chọn Toán Đại số khối 11

C
 * Dạng cơ bản.
- 
- 
- 
- 
Bài 1. Giải các phương trình 
a. .
b. Sin2x = -1.
c. .
Bài giải.
a. 
b. 
c. 
Bài 2. Giải các phương trình:
a. .
b. Cos3x-Sin2x=0.
Bài giải.
	a. Điều kiện 
	.
Mà nên nghiệm là .
	b. .
Bài 3. Giải các phương trình.
Sin 3x + Sin5x =0.
tanx.tan2x=-1 .
Bài giải.
	a. .
	b. Điều kiện 
	.
Mà nên phương trình vô nghiệm.
* Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Sinx+Cos2x=1.
b. .
Bài giải.
a. .
b. Điều kiện .
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
2.Sin2x-5Sinx+3=0.
2.Sin2x-3Cosx=0
Bài giải.
Đặt 
Ta có phương trình theo t: 2t2-5t+3=0 . t2 loại, với t1=1 ta có .
2.Sin2x-3.Cosx=0 ta suy ra 2Cos2x+3Cosx-2=0.
Đặt t=Cosx, điều kiện |t|£1. ta có phương trình theo t là: 2.t2+3t-2=0. Giải ra được .
Ta nhận 
* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
- Cách giải:
.
Đặt . 
Ta có phương trình cơ bản Û.
- Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. .
b. .
c. .
d. .
e. 
Bài giải.
a. 
 .
b. 
c. 
d. 
e. 
Đưa về dạng 
Dạng. Phương trình thuần nhất bậc hai.
dạng: .
Để giải phương trình dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hạ bậc hoặc chia 2 trường hợp khác nhau của cosx ( thầy sẽ hướng dẫn lại trong ví dụ)
a. 
nếu 
thay vào phương trình trên ta có:
2.1 + 0 – 3.0 – 0 vô lý, vậy không phải là nghiệm của phương trình.
nên chia hai vế của phương trình cho ta có: 
b. 
lưu ý: bài này khác bài trên ở chỗ có số 2 ở vế phải đấy.
pt 
* nếu 
lúc đó pt nên cosx = 0 k là nghiệm.
* chia 2 vế co , ta được phương trình:
, phương trình này vô nghiệm
vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c. 
chỉ cần quy đồng 2 vế lên, sau đó làm y hệt các bài trên.
d. 
* 
thay vào phương trình ta thấy 0 = 0 nên là một nghiệm.
* 
chia hai vế cho ta có phương trình:
vậy nên 
Kết luận: phương trình có hai nghiệm hoặc 
Chú ý. Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc
Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây:
a. 
pt 
( vì )
b. 
pt 
c. 
Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc 
d. 
gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung sau khi xuất hiện nhân tử.
e. 
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
f. 
Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.
lưu ý: 
pt 
( bỏ mẫu)
pt 
( biến tổng thành tích)
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
Giải phương trình 
Giải khác.
Phương trình đã cho tương đương với:
(Tm)
Giải phương trình:  .
Phương trình 
.
Giải phương trình: 
a) 
b)   vô nghiệm
Đáp số : 
Giải phương trình: .
Phương trình đã cho tương đương với:
  .
Giải phương trình lượng giác 
Đáp số:  
Giải phương trình 
Điều kiện : 
a) ( thỏa mãn điều kiện )
b) 
Đáp số: 
Giải phương trình: .
Điều kiện : 
Khi đó phương trình 
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm là 
Giải phương trình 
Điều kiện : (*). Khi đó
  .
Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình là 
Giải phương trình 
Điều kiện 
Ta có 
   ( ) (thỏa mãn điều kiện)
Giải phương trình 
Điều kiện có nghĩa :   và 
PT 
Giải phương trình 
      .
Giải phương trình : 
Giải phương trình: 
Phương trình đã cho tương đương với
* 
* .
Giải khác.
Giải phương trình: .
.
Giải phương trình lượng giác sau:  
Giải phương trình : .
Phương trình đã cho tương đương với :
Giải phương trình: .
Từ phương trình đã cho ta có :
Giải phương trình : .
Giải phương trình : 
Phương trình đã cho
Giải phương trình : 
Phương trình đã cho tương đương với :
Vậy 
Giải phương trình: 
Giải phương trình : 
Giải phương trình    
Giải phương trình lượng giác sau:
(*)
(**)
Nhận xét: không phải là nghiệm của phương trình
Xét chia cả 2 vế của (**) cho 
(**) 
(**) vô nghiệm
Vậy (*) vô nghiệm
Giải phương trình lượng giác sau:  
Giải phương trình lượng giác sau:  
(*)
Điều kiện : (**)
(*) 
 Ta có 
Thử các điều kiện:
+) Xét: 
Do đó 
Kết hợp ta có thoả mãn điều kiện (**)
+) Xét 
Do đó 
Kết hợp và (**) ta có:   
Kết luận:  (*)   
Giải phương trình 
Giải phương trình : 
Giải phương trình : 
 (1) 
 Nhan thay Khong phai la nghiem cua phuong trinh. Vay  
 (2) 
 Vay tap nghiem cua pt la (1) 
                                       (2) 
Giải phương trình :  
Ta có: 
Biết 
Nên 
Do đó phương trình (1) tương tương:
*Với suy ra 
*Với 
Do nên ta có:
 * 
* 
Giải phương trình : 
Giải phương trình : 
.
Đặt 
Ta được : 
Đáp số : với là góc mà 
Giải phương trình lượng giác:  
Phương trình đã cho tương đương với
Đáp số :    
Giải phương trình : 
pt 
Chia cả 2 vế cho 2:
Giải phương trình :  
Các nghiệm số là
Chủ đề XÁC SUẤT
Bài 1. Gieo hai con súc sắc.
a) mô tả không gian mẫu
b) gọi A là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7″. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A).
c) Cũng câu hỏi trên cho các biến cố B: ” có ít nhất một con súc sắc xất hiện mặt 6 chấm” và C: “có đúng một con xuất hiện mặt 6 chấm”
Giải:a) vậy khôg gian mẫu có 36 phần tử. Hay . ( có thể liệt kê như thường làm)
b) A ={(6;1),(5;1),(5;2),(4;1),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3,4),(2;1),(2;2),(2;3)
,(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(\1;6)}
vậy n(A) = 21 nên P(A) = 
c) giống như trên n(B) = và n(C) = 
Bài 2.
Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong danh sách 20 người, đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10.
Giải:
chọn 5 trong số 20 người nên 
Số thứ tự không vượt quá 10 nên ta chọn 5 người trong tập những người có số thứ tự từ 1 đến 1-. Vậy
số trường hợp thuận lợi là: 
vậy xác suất cần tìm là 
Bài 3. Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ một tổ có 6 nam và 4nữ để làm trực nhật. Tính xác suất sao cho trong đó:
a) cả 3 đều nam.
b) có đúng hai bạn nam
c) có ít nhất 1 nam
Hướng dẫn – đáp án.
( chọn 3 nam trong số 6 nam)
( chọn 2 nam trong số 6 nam và 1 nữ trong số 4 nữ)
Dùng biến cố đối để tính C:”có ít nhất một bạn nam” lúc đó “không có bạn nam nào” ( tức là 3 nữ)
( chọn 3 nữ trong số 4 nữ), suy ra xác suất từ đó suy ra P(C).
Bài 4. Gieo ba đồng xu cân đối. Tính xác suất để :
a) cả 3 đồng xu đều sấp
b) có ít nhất 1 đồng xu sấp
c) có đúng 1 đồng sấp.
Giải:
Có thể giải bằng cách liệt kê hoặc dùng các quy tắc tính xác suất để tính.
ở đây giải bằng cách liệt kê
từ đó ta dễ dàng suy ra các câu a,b,c
hai bài sau đây coi như để kiểm tra lại xem những gì đã học lại nhé.
Bài 5. Cho một cỗ bài tú lơ khơ có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên 4 lá. Tính xác suất để:
a. 4 lá đều là át.
b. Có hai con át
c. Có ít nhất 1 con át.
d. Có hai con át và hai con K.
Bài 6. Hai hộp chứa các quả cầu. hộp 1 chứa 3 đỏ và 2 xanh. Hộp 2 chứa 4 đỏ và 6 xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho:
a. Cả hai quả đều đỏ.
b. Hai quả cùng màu.
c. hai quả khác màu.
Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
Các bước quy nạp:
- Kiểm tra lại với giá trị khởi đầu. Thông thường là 0 hoặc 1. Tuy nhiên trong một số bài có thể là các giá trị khác.
- Giả sử đúng khi n = k
- Chứng minh đúng với n = k+1
Bài tập: Chứng minh rằng:
a. 
b.
c.
d.
e. 
f. Với mỗi số nguyên dương n, đặt . Chứng minh rằng luôn chia hết cho 19.
Chủ đề DÃY SỐ.
* Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát.
Bài 1. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi số hạng tổng quát:
	a. .
	b. un=(-1)n.2n.
	c. un=3n-7.
	d. 
Bài giải.
a. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy un³-1. Dãy số bị chặn dưới.
b.
 Nên dãy số là dãy số không tăng và cũng không giảm.
(un) là dãy số không bị chặn..
c. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy un³-4. Dãy số bị chặn dưới.
d. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm.
(un) là dãy số tăng nên vậy un£3. Dãy số bị chặn trên.
* Dãy số cho dưới dạng hệ thức truy hồi.
Bài 2. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi cho dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi.
	a. .
	b. .
	c. .
	d. .
Bài giải:
a. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy un³1. Dãy số bị chặn dưới.
b. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm.
(un) là dãy số tăng nên vậy un£1. Dãy số bị chặn trên.
c. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm.
(un) là dãy số tăng nên vậy un£1. Dãy số bị chặn trên.
d. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy . Dãy số bị chặn dưới.
Chủ đề CẤP SỐ.
Công thức cần nhớ:
Để xét tính tăng hay giảm của dãy số ta xét hiệu nếu hiệu này dương,đây là dãy số tăng, ngược lại nếu âm, đây là dãy giảm. 
Để chứng minh một dãy số là cấp số cộng cần chứng minh với là hằng số. Lúc đó được gọi là công sai. 
Tổng của n số hạng đầu tiên 
Bài 1.Cho dãy số .
a) xét tính tăng, giảm của dãy số trên.
b) Chứng minh rằng đây là một cấp số cộng, tìm .
c) Tìm tổng của 50 số hạng đầu tiên của dãy.
giải:
ta xét vậy:
a) đây là dãy số tăng do 
b) đây là cấp số cộng vì không đổi và d = 19.
c) 
vậy 
Bài 2. Tìm cấp số cộng biết
Áp dụng các công thức về cấp số cộng ta có:
thay vào 2 phương trình trên ta có hệ sau đây:
tới đây có hai giá trị của d là 4 và -4. Vậy có hai giá trị của hoặc 
vậy có hai cấp số cộng thỏa điều kiện.
Bài 3 Cho một cấp số cộng 1,6,11 Tìm x biết:
1 + 6 + 11 + 16 +..+x = 970.
bài này ta phải tìm giá trị của x biết rằng x là một phần tử của cấp số cộng. giả thiết cho 970 chính là tổng của n số hạng đầu tiên đấy. 
ta nhận thấy cấp số cộng này có .
giả sử x là số hạng thứ n(n >0). vậy ta có.
vậy áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên ta có:
Tới đây tự bấm máy để suy ra ( do n>0)
vậy x là số hạng thứ 40 nên 
bài 4. Viết 5 số hạng xen giữa 25 và 1 để được một cấp số cọng có 7 số hạng. Số thứ 50 của dãy là số mấy?
Bài 5. Cho cấp số cộng với Tìm số hạng tổng quát của CSC.
Bài 4. Cho dãy số (un) với un=9-5n.
Chứng minh (un)là cấp số cộng.
Tính u100 và S100.
Bài giải.
un+1-un=-5 (không đổi).
vậy dãy số là cấp số cộng với u1=9-5.1=4 và công sai d=-5.
Bài 5. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) thỏa:
a. b. 
 d. 
Bài giải:
a. .
b. 
c. .
d. 
(1) suy ra d=2
(2) suy ra 
Vậy có hai cấp số cộng thỏa: .
Bài 6.
Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) .
Bài giải:
Từ u1+u3=2u2 và từ (1) ta suy ra u2=9 tức là u1+d=9
Từ (2) suy ra .
Mà u1+d=9 suy ra u1=9-d. Thay vào trên ra có được d2=16. Suy ra .
Vậy .
* Cấp số nhân
Dạng 1: Xác định các yếu tố của một cấp số nhân
Phương pháp chung: 
Dựa vào giả thiết bài toán và áp dụng các tính chất của cấp số nhânđể tìm ra các yếu tố của cấp số nhân đã cho. 
Bài tập 
Bài 1: Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162,... 
Tính U1,q,U10,S10 ? 
Giải: 
Bài 2: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau: 
a, U4 - U2=54 và U5 - U3=108. 
b, U1 + U2 + U3=35 và U4 + U5 + U6=280. 
Giải: 
Dạng 2: Chứng minh một dãy số là một cấp số nhân
Để chứng minh (Un) là một cấp số nhân ta có thể dùng các cách chứng minh sau: 
Bài tập: 
Bài1: Cho dãy số (Un) được xác định bởi U1=2, Un+1=3+4Un. 
CMR: Dãy số (Vn) xác định bởi Vn=Un+1 là cấp số nhân. 
Giải: 
Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân
Phương pháp chung: 
  Để a, b, c lập thành một cấp số nhân điều kiện là: ac=b2 
Bài toán được chuyển về việc giải phương trình. 
Bài tập 
Bài 1:	Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân. 
Giải: 
Dạng 4: Tính tổng
Phương pháp chung 
Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. 
Bàì tập 
Bài 4. Cho dãy số (un) có un=2n-1.
Chứng minh (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải:
Ta có (không đổi). Vậy (un) là cấp số nhân.
Số hạng đầu u1=20=1; công bội q=2
b. .
Bài 5. Cho cấp số nhân (un) thỏa: .
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
.
Bài 6. Cho cấp số nhân (un) thỏa: .
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
a. 
+ .
+ .
b. + q=2 và u1=1 thì .
 +thì và u1=-16.
Bài 7. Cho cấp số nhân (un) thỏa:
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
a. 
b. 
Chủ đề. GIỚI HẠN DÃY SỐ-GIỚI HẠN HÀM SỐ-HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. GIỚI HẠN DÃY SỐ.
*Sử dụng kết quả: 
a. .
b. 
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
	b. .
	d. 
Bài giải:
a..
b. .
c. .
d. .
Bài 2. Tính các giới hạn sau.
	b. 
c. 	d. .
e. 	f. 
Bài giải: 
a.	
b.
c. 	
d. e. 	
f. 
Bài 3. Tính các giới hạn.
	b. 	
c. 	d. 
Bài giải.
Bài tập tự giải.
II.GIỚI HẠN HÀM SỐ.
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
	b. 
d. 	e. 
f. 	g. 
Bài giải.
b. 
d. 
e. 
f. 
g. 
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
	b. 
Bài gải.
b. 
Bài 3. Tính các giới hạn sau.
	b. 
Bài giải.
Bài 4. Tính các giới hạn sau.
a.	 	b. 
c. 	d. .
e. 	f. 
Bài giải. 
a. 	
b
. 
c. 	
d. 
 e. 	
f. 
III. Chủ đề HÀM SỐ LIÊN TỤC.
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
;	b. 
c. 	
d. 	
e. 
f. 
Bài giải.
;
b. 
c. 	
d. 	
e. 
f. 
Bài 2. Cho các hàm số 
	b. 
Tính các giới hạn sau: ; ; ; f(1)?
Bài giải.
a1. x®1+ tức là x>1, khi đó .
Vậy 
a2. x®1- tức là x<1, khi đó .
Vậy 
Vậy không tồn tại .
f(1)=5.(1)+3=8
b1. x®1+ tức là x>1, khi đó .
Vậy 
b2. x®1- tức là x<1, khi đó .
Vậy .
Vậy .
Bài 2. Xét tính lien tục của các hàm số sau lại x0=1 
	b. 
Bài giải.
Ta có 
f(1)=1. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Ta có 
f(1)=3. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Bài 3. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0.
Bài giải.
Ta có .
Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi 
Bài 4. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4.
Bài giải.
Ta có 
Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi 
Bài 5. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1.
Bài giải.
Ta có 
Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi 
Chủ đề ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số :
Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 
Bước 2:  Tính (Đạo hàm bên trái):
Bước 3:  Tính (Đạo hàm bên phải):
Bước 4:  Đánh giá  hoặc giải , từ đó đưa ra kết luận.
Ví dụ: Cho hàm số : 
                           Tính đạo hàm của hàm số tại 
Lời giải:
Ta có : 
           Do đó: 
           Vậy hàm số liên tục tại x=0
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm 
                           =
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm 
                          =
        Nhận xét :   nên hàm số không có đạo hàm tại x=0
Kết luận: Hàm số có đạo hàm bên trái, bên phải , nhưng khong có đạo hàm tại x=0. 
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng ( dùng định nghĩa).
            Để tính đạo hàm của hàm số :  trên một khoảng  , bằng định nghiã , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại , tính 
Bước 2: Lập tỉ số : 
Bước 3: Tìm 
Chú ý : Nếu khoảng bằng đoạn , ta thực hiện theo các bước sau:
             Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng .
             Bước 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm 
        ==
             Bước 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm 
Ví dụ: Dùng định nghĩa , tính đạo hàm của hàm số sau: 
Lời giải: 
 Giả sử là số gia của đối số tại , tính 
        ==
Do đó: ==
   Vậy hàm số có đạo hàm 
Chú ý: Ta có thể nói hàm số có đạo hàm trên các khoảng và .
Dạng 3. Quy tắc tính dạo hàm
Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số và cũng có đạo hàm trên J,
a) ;
b) .
Ghi chú. Các công thức có thể viết gọn là  và 
Nhận xét
Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có
               .
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng .
Giải
Trên khoảng ta có  
Vậy 
a) Tính nếu .
b) Cho hai hàm số và . Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R. Chứng minh rằng với mọi x thuộc R,ta có .
 Đạo hàm của tích hai hàm số
        Nếu hai hàm số   và có đạo hàm trên J 
thì hàm số cũng có đạo hàm trên J,và ;
Đặc biệt,nếu k là hằng số thì 
Ghi chú. Các công thức trên có thể viết gọn là  và 
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số trong mỗi trường hợp sau :
a) ;
b) .
Giải
a) 
b) .
 Đạo hàm của thương hai hàm số
Ghi chú.  Công thức trên có thể viết gọn là  
HỆ QUẢ
     a) Trên ta có 
     b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta có 
Ghi chú. Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là  .
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số ,nếu :
a)   (a là hằng số)
b) .
Giải
a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có 
     .
b) Áp dụng hệ quả của định lí 3 (ở đây ),ta có
 Đạo hàm của hàm số hợp
a) Khái niệm của hàm số hợp
Ví dụ 4. Cho hai hàm số và ,trong đó và .
Nếu trong , ta thay biến số u bởi u(x) thì được 
Đặt .Rõ ràng là một hàm số biến số x.
Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u.
b) Các tính đạo hàm của hàm số hợp
Ghi chú. Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là 
Ví dụ 5. Đối với hàm số được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó như sau:
Ta có .
Do và .
Vậy .
Tổng quát ta xét hàm số (với và ).
Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian .
Do đó nếu hàm số có đạo hàm trên J thì ta áp dụng định lí 4 để tính đạo hàm của hàm số hợp 
(còn viết là ) như sau :
;
.
Ghi chú . Công thức nêu trong hệ quả q được viết gọn là  
Tương tự,ta xét hàm số .
a) Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm  số hơp của hàm số f và hàm số trung gian .
b) Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và  
HỆ QUẢ
 Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi 
thì hàm số có đạo hàm trên J,và 
Ghi chú. Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là 
Ví dụ 6 .
GHI NHỚ
a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây )
b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây (ở đây )
c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây ): 
5. Đạo hàm của hàm số 
            a) Hàm số có đạo hàm trên R,và .
 b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có  .
c) Công thức đạo hàm của được suy ra từ kết quả trên và công thức lấy đạo hàm của hàm số hợp.
Ví dụ . Tính đạo hàm của hàm số .
Giải
.
6. Đạo hàm của hàm số 
Từ công thức tính đạo hàm của hàm số , ta có
.
    Hàm số có đạo hàm trên R và .
7. Đạo hàm của hàm số 
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương hai hàm số, hãy tính đạo hàm của hàm số .
a) Hàm số có đạo hàm trên mỗi khoảng (với ),
và  
b) Giả sử hàm số có đạo hàm trên J và với mọi .
Khi đó,trên J ta có  
Ghi chú: Công thức nêu trong định lí 4b) có thể viết gọn là  .
Ví dụ 3.Tính đạo hàm của hàm số 
Giải
Do nên kết quả trên còn viết là .
8. Đạo hàm của hàm số 
a) Hàm số có đạo hàm trên mỗi khoảng (với ),và 
                 .
b) Giả sử hàm số có đạo hàm trên J và với mọi .
Khi đó trên J ta có  
Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số 
Giải
 Vì nên kết quả trên còn viết là .
BÀI TẬP
Dùng định nghĩa tính   với:  tại 
tại 
Ta có: 
Xét: 
Vậy .
Dùng định nghĩa tính   với:   tại 
Ta có: 
Xét: 
Vậy 
GIẢI KHÁC
=>f'(1)=2.1-4=-2
GIẢI KHÁC
*
=
=
=
=
*
tại 
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a.
b.
Bài giải.
a.
b.
Tính đạo hàm sau:
a.
b.
c.
Bài giải.
a.
b.
c.
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
 Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm sau:
Tính đạo hàm:
 Viết phương trình tiếp tuyến (D) của đồ thị hàm số , biết:
a.Tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y=3x-7
b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d':y=x+27y-54
Bài giải.
a.Gọi là tiếp điểm lần lượt là hệ số góc của d và D.
D//d 
Với 
Phương trình tiếp tuyến:
Với 
Phương trình tiếp tuyến:
 b.Gọi là tiếp điểm lần lượt là hệ số góc của d và D.
D vuông góc với d'
Với 
Phương trình tiếp tuyến:
Với 
Phương trình tiếp tuyến:
Viết phương trình ti