Bài tập Quan hệ song song

quan hệ song song
ắắ 2 ˜ 2 ắắ
Loại 1. Hai đường thẳng song song:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). I, J lần lượt là trung điểm AD, BC. 
K [SB] sao cho: 
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (IJK). Tìm điều kiện với AB, CD để thiết diện là hình bình hành.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh: MNPQ là hình bình hành 
Tìm điều kiện của tứ diện để MNPQ là hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông
Gọi R, S lần lượt là trung điểm AC, BD. Tứ giác MRPS là hình gì?
Nêu nhận xét về 3 đoạn thẳng MP, NQ, RS.
Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. P [BD].
Tìm (MNP) (ABD)
Q = AD (MNP). Khi nào MNPQ là hình bình hành 
MQ NP = I. Tìm (MNP) (ABI)
Cho 2 tam giác ABC, ABD không đồng phẳng, có trọng tâm lần lượt là G1, G2. 
	 Chứng minh: G1G2 // CD
Cho 2 hình bình hành ABCD, ABEF thuộc 2 mặt phẳng phân biệt, có tâm lần lượt là O,K.
	Trên các đường chéo AC, BF lấy M, N sao cho: 
	a) CM: OK // DF	b) CM: MN // DE
Chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). M, N lần lượt là trung điểm SA, SB.
	a) CM: MN // CD	b) Tìm P = SC (ADN)
	c) AN DP = I. CM: SI // AB, CD	d) Tứ giác SABI là hình gì?
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB//CD). I, J lần lượt là trung điểm AD, BC.
	G là trọng tâm tam giác SAB.
Tìm (SAB) (IJG)
Tìm thiết diện của hình chóp và (IJG). Thiết diện là hình gì? 
Tìm điều kiện với AB, CD để thiết diện là hình bình hành.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. I, J là trọng tâm SAB, SAD. M là 
	trung điểm CD. Xác định thiết diện của mp(IJM) và hình chóp. 
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AC, BC. K [BD]: KB = 2 KD
	a) Xác định thiết diện của tứ diện và (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân
Tính diện tích thiết diện theo a.
Loại 2. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
	10.Cho 2 hình bình hành ABCD, ABEF không đồng phẳng, có tâm lần lượt là O, O’
Chứng minh: OO’ // (ADF) và (BCE)
M, N là trọng tâm ABD, ABE. Chứng minh rằng: MN // (CEF)
	11.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. 
Chứng minh: MN // (SBC), (SAD)
P là trung điểm SA. Chứng minh: SB, SC // (MNP)
G1, G2 là trọng tâm ABC, SBC. Chứng minh: G1G2 // (SAB)
	12.Cho tứ diện ABCD. Qua M [AC] dựng (P) // AB, CD. (P) BC, BD, AD = N, P, Q.
MNPQ là hình gì?
Chứng minh rằng: khi M thay đổi trên đoạn AD.
*Xác định vị trí của M để SMNPQ Max
	13.Cho hình chóp S.ABCD. AC BD = O. () qua O và song song AB, SC. Dựng thiết 
	diện của () và hình chóp. Thiết diện là hình gì? 
	14.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của () qua trung 
	điểm M của AB và song song với BD, SA.
	15.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. SB = SD. M [AO]: AM = x
	() qua M và song song SA, BD. () cắt SO, SB, AB tại N, P, Q.
MNPQ là hình gì?
Cho SA = a. Tính SMNPQ theo a, x. Tìm x để S Max
	16.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD, AB = 2a, AD = CD = a, SAB 
	đều) () qua M [AD] và song song SA, CD. Mặt phẳng () BC, SC, SD = N, P, Q.
MNPQ là hình gì?
Tìm quĩ tích L = MQ NP khi M thay đổi trên đoạn AD.
	17.Cho SAB và hình bình hành ABCD không đồng phẳng. G là trọng tâm SAB.
	N [AC]: . Chứng minh: GN // (SCD) 
	18.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
	Mặt phẳng () chứa MN và song song với SA.
Tìm giao tuyến của mp() và mp(SAB)
Dựng thiết diện của () và hình chóp. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
	19.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm ABD. M [BC]: MB = 2MC. CM: MG // (ACD)
	20.Cho hình chóp S.ABCD. M, N SB, CD. () chứa MN và song song SC.
Tìm giao tuyến của () với (SBC), (SCD), (SAC) 
Tìm thiết diện của () và hình chóp.
	21.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. C’ SC. M di động trên SA. 
	Mặt phẳng () qua C’M và song song BC. 
Chứng minh () chứa 1 đường thẳng cố định
Tìm thiết diện của () và hình chóp. Xác định M để thiết diện là hình bình hành
Tìm quĩ tích giao điểm 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên SA.
	22.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang (AD // BC, BC = 2a, AD = a, AB = b, SAD 
	đều) () qua M AB và song song SA, BC. Mặt phẳng () CD, SC, SB = N, P, Q
Chứng minh: MNPQ là hình thang cân
Cho AM = x ( 0 < x < b). Tính diện tích thiết diện theo a, b, x. Tìm x để S Max
Tìm quĩ tích MQ NP
	23.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I là trung điểm AC, J [AD]: AJ = 2JD. 
	M di động bên trong tam giác BCD sao cho (MIJ) luôn song song với AB
Tìm quĩ tích điểm M
Tìm thiết diện của (MIJ) và tứ diện. Thiết diện là hình gì?
Tính diện tích thiết diện. 	
Loại 3. Mặt phẳng song song với mặt phẳng:
	24.Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm ABC, ACD, ABD.
	Chứng minh rằng: (G1G2G3) // (BCD) 
	25.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O. M, N là trung điểm SA, SD
Chứng minh: (OMN) // (SBC)
P, Q là trung điểm AB, ON. Chứng minh: PQ // (SBC)
	26.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a. M AB: AM = x. () qua M và 
	song song (SAD) cắt SB, SC, CD tại N, P, Q.
MNPQ là hình gì? 
Tìm quĩ tích I = MN PQ khi M di động trên đoạn AB
Cho góc SAD = 900, SA = a. Tính diện tích T của MNPQ theo a, x. 	(T = (a2 - x2)/2)
Xác định vị trí của M để 
	27.Cho 2 hình bình hành ABCD, ABEF không đồng phẳng. M, N là trung điểm AD, 
	BC. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm ADF, ADC, BCE. 
	Chứng minh: (IJK) // (CDFE)
	28.Cho 2 hình bình hành ABCD, ABEF không đồng phẳng. M, N AC, BF sao cho: 
	. Các đường thẳng song song kẻ từ M, N giao với AD, AF tại M’, N’
Chứng minh: (CBE) // (DAF) và M’N’ // DE
Khi k thay đổi, chứng minh MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
	29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt 
	là trung điểm của SA, SD, AB, ON, SB.
Chứng minh: (OMN) // (SBC)
Chứng minh: PQ // (SBC)
Chứng minh: (MOR) // (SCD)
 30.Cho tứ diện ABCD. G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm ABC, ACD, ADB.
Chứng minh: (G1G2G3) // (BCD)
Tìm thiết diện của tứ diện và (G1G2G3). Tính Sthd biết SBCD = S cho trước.
	c) P di động bên trong tứ diện sao cho G1P luôn song song (ACD). Tìm quĩ tích P. 
	31. Cho 2 nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M Ax, N By sao cho AM = BN.
	a) Xét () chứa By và song song Ax. Đường thẳng qua M và song song AB cắt () tại E.
	Chứng minh: BEN cân
Chứng minh: EN có phương không đổi
Chứng minh: (MEN) luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
	32. Cho a chéo b. A a, B b thay đổi.
Tìm tập hợp trung điểm của AB 
Tìm tập hợp điểm M chia AB theo tỉ số k.
Loại 4. Hình lăng trụ, hình hộp:
	33. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm A’B’ 
Chứng minh: CB’ // (AHC’)
Tìm AC’ (BCH)
Mặt phẳng () qua trung điểm của CC’ và song song AH, CB’. Xác định thiết diện và tỉ số mà thiết diện chia các cạnh của lăng trụ.
	34. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N là trung điểm AA’, AC.
Dựng thiết diện của lăng trụ với (MNB’)
Gọi P là trung điểm B’C’. Dựng thiết diện của lăng trụ với (MNP)
	35. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N AD, CC’: 
Chứng minh: MN // (ACB’)
Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với (ACB’)
	36. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Gọi M [AB1] sao cho: . Xác định thiết diện 
	của () với lăng trụ biết () song song với A1C và BC1
	37. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm ABC, A’B’C’, AA’C.
Dựng thiết diện của (G1G2G3) với lăng trụ 
Gọi () qua G1 và () // (C’G2G3). Dựng thiết diện của () và lăng trụ.