Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian

Quan hệ vuông góc 1
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; BC=. Mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D với .
	1. Chứng minh: SA^(ABCD) và tính SA.
	2. Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HJK). Chứng minh AK^(SBC); AL^(SCD).
	3. Tính diện tích tứ giác AKHL.
Câu 2: Trong mp(P) cho tam giác MAB vuông tại M. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A lấy hai điểm C, D nằm về hai phía A. Gọi C’ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’.
	1. Chứng minh CC’^(MBD).
	2. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AB. Chứng minh K là trực tâm tam giác BCD.
Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R thuộc mp(P). Dựng SA=2R vuông góc với mp(P). Gọi T là 1 điểm di động trên tiếp tuyến của (O) tại A. Đặt a=ÐABT (0<a<900). Đường thẳng BT cắt (O) tại M. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên SA.
	1. Chứng minh: Các mặt của tứ diện SAMB đều là tam giác vuông.
	2. Chứng minh khi T di động TN luôn qua 1 điểm cố định H.
	3. Tìm a đeer tam giác HAN là tam giác cân.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. SA vuông góc với (ABCD) và SA=. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. 
	1. Chứng minh: AM^SP; AP^SD và SM.SB=SN.SC=SP.SD=SA2.
	2. Chứng minh tứ giác AMNP có hai đường chéo vuông góc.
	3. Gọi O là giao điểm của AC và BD; K là giao điểm của AN và MP. Chứng minh S, K, O thẳng hàng.
	4. Tính diện tích tứ giác AMNP.
Câu 5: Trong mp(P0 cho tam giác ABC vuông tại A có BC=2a, ÐACB=600.Dựng hai đoạn thẳng BB’=a, CC’=2a cùng vuông góc và nằm cùng về 1 phía với (P). Tính các khoảng cách sau: 
	1. Từ C’ đến mp(ABB’).
	2. Từ trung điểm BC đến mp(ACC’).
	3. Từ B’ đến mp(ABC’).
	4. Từ trung điểm BC đến mp(AB’C’).
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có SA^(ABCD) và . Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB=2a, AD=DC=a.
	1. Tính số đo nhị diện (S,BC,A).
	2. Tính số đo nhị diện (A,SB,C).
	3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Câu 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông cân đỉnh A với BC=2a. AA’ vuông góc với đáy. Biết nhị diện (A,BC’,B) có số đo là x.
	1. Chứng minh: .
	2. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên B’C và A’C. Chứng minh góc phẳng nhị diện (A,B’C,A’) có số đo là (p-2x).
Câu 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các nửa đường thẳng Bm, Dn cùng vuông góc và ở cùng 1 phía mp(ABCD0 lấy M, N sao cho BM=x, DN=y.
	1. Tìm hệ thức giữa x, y theo a để mp(ACM) và mp(CAN) vuông góc.
	2. Giả sử x, y thoả mãn điều kiện nêu ra ở trên, gọi HK là đường vuông góc chung của AC và MN ( H thuộc AC, k thuộc MN). Chứng minh khi x, y thay đổi thì H cố định và HK không đổi.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm AB.
	1. Chứng minh SI^(ABCD).
	2. Chứng minh các tam giác SAD, SBC là vuông.
	3. Tính số đo nhị diện cạnh CD.
	4. Tính khoảng cách giữa AB và SC.
Câu 10: Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuong góc. Gọi I là trung điểm AD, M là trung điểm AB, F là trung điểm SB và K là giao điểm của CM và BI.
	1. Chứng minh mp(CME) vuông góc với mp(SIB).
	2. Tính BK và KF từ đó suy ra tam giác KBF cân.
	3. Dựng và tính độ dài các đoạn vuông góc chung của AB và SD; CM và SA.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh a có ÐBAD=600. Gọi O là giao điểm của AC và BD. biết SO^(ABCD) và .
	1. Tính khoảng cách từ A, O đến mp(SBC).
	2. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và SB.
	3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).
	4. Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mp(SBC). Tìm thiết diện của hình chóp tạo bởi mp(P).
Câu 12: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Từ A, B, C, D vẽ 4 nửa đừờng thẳng Ax, By, Cz, Dt nằm cùng 1 phía và cùng vuông góc với (ABCD). Trên Ax, Cz lấy A’, C’ sao cho OA’=a; A’C’=2a.
	1. Tính CC’ theo a. Chứng minh tam giác C’A’O vuông và A’C’ vuông góc với mp(DA’B).
	2. Trên By lấy B’ sao cho BB’=x và trên Dt lấy D’ sao cho DD’=y. Tìm hệ thức giữa x, y và a sao cho A’, B’, C’, D’ đồng phẳng. Chứng minh rằng khi đó A’B’C’D’ là hình bình hành.
	3. Tìm x, y để:
	a) D thuộc mp(A’B’C’).
	b) A’B’C’D’ là hình thoi ; là hình chữ nhật.
Quan hệ vuông góc (2)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác ABC vuông cân tại B (AB=BC=a). SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Gọi H là trung điểm BC và BK là đường cao tam giác SBC.
Chứng minh: BH vuông góc với mp(SAC).
Tính diện tích tam giác HBK.
3. M là điểm tuỳ ý thuộc đoạn AB với AM=x (0≤x≤a). Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a,x. Tìm x để thiết diện có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a.
	1. Chứng minh: BD^(SAC); BC^(SAB).
	2. Gọi M là 1 điểm di động trên đoạn AC và AM=x (0≤x≤a). Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AC. Tính diện tích thiết diện tạo được theo a, x. Định vị trí của M để diện tích thiết diện là lớn nhất.
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A, D; AB=AD=a, DC=2a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại D lấy S sao cho . Gọi M là 1 điểm thuộc đoạn AB sao cho AM=x. Qua M dựng mp(P) vuông góc với BD cắt DC, SC, SB lần lượt tại N, L, K. Tính theo a, x diện tích tứ giác MNKL. Khi nào diện tích đó là lớn nhất.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác ABC vuông tại B với AB=BC=2a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và .
	1. Chứng minh: Tam giác SBC là tam giác vuông.
	2. Mp(P) qua trung điểm SB cắt hình chóp tạo thành 1 thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó.
	3. Gọi K là trung điểm BC. Đường thẳng d qua K và vuông góc với mp(ABC). Gọi L là giao điểm của d và mp(P). Tính độ dài KL.
Bài 5: Cho tứ diện SABC có hai tam giác SBC và ABC là hai tam giác đều cạnh a. Biết . Gọi O là trung điểm BC.Kéo dài AO một đoạn OD sao cho O là trung điểm AD. Tính các cạnh của tứ diện.
	Giả sử SABC là tứ diện đều. Qua D dựng mp(P) song song với BC sao cho góc giữa BD và (P) là 300. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp(P).
Bài 6: Trong (P) cho hình chữ nhật ABCD có AB=a, AD=b. Trên hai nửa đường thẳng Ax, Cy cùng vuông góc và nằm về 1 phía với (P) lần lượt M, N sao cho AM=x, CN=y.
	1. Tính số đo của các góc tạo bởi các cặp mặt phẳng: (BDM) và (P); (BDN) và (P). Từ đó suy ra điều kiện để (BDM)^(BDN).
	2. Khi (BDN)^(BDM) hãy tính theo a, b, x, y thể tích tứ diện BDNM. Tìm điều kiện của x, y để thể tích đó là nhỏ nhất.
Bài 7: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có AB=a; AD=b; ÐBAD=a. Đường chéo AC’tạo với đáy 1 góc b. Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình hộp.
	1. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC’ và BD.
	2. Tính tổng F bình phương khoảng cách từ 1 điểm M tuỳ ý trong không gian đến 8 đỉnh của hình hộp theo a, b, a, b và x=OM. Tìm vị trí của M để tổng F đó là nhỏ nhất.
Bài 8: Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’. Biết tam giác ABC có diện tích S và tam giác ABC’ có diện tích là và hợp với mặt đáy 1 góc a. 
	1. Tính thể tích lăng trụ.
2. Khi S không đổi, tìm a để thể tích đó là lớn nhất.
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AC=b, ÐC=a. Đường chéo BC’ hợp với (ACC’A’) một góc b.
	1. Chứng minh: .
	2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB<BC. Hai mặt (ACC’A’) và (BDD’B’) hợp với nhau 1 góc 2a. Đường thẳng B’D hợp với (CDD’C’) một góc b. Gọi O là giao điểm của AC và DB.