Bài tập thể tích khối đa diện 12

BàI TậP THể TíCH KHốI ĐA DIệN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , BD = a ; AC = a; và đường cao hình chóp là SO = a . Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho = 1200 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD và M.ABC
Bài 2. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết : 
 a) Cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a 
 b) Cạnh đáy là a và góc giữa cạnh bên và đáy là 300
 c) Cạnh đáy là a và góc giữa mặt bên và mặt đáy là 450 
 d) Chiều cao là h và góc ở đỉnh của mặt bên là 600 
Bài 3. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết : 
 a) Cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a 
 b) Cạnh đáy là a và góc giữa cạnh bên và cạnh đáy là 450 
 c) Chiều cao là a và góc giữa cạnh bên và đáy là 300 
 d) Cạnh đáy là a và độ dài đường cao của mặt bên là a
Bài 4. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ cách đều các đỉnh A,B,C .Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ
Bài 5. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 600 .Tính thể tích khối hộp đó. 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = h ; SA ^ (ABC) . Gọi H và I lần lượt 
là trực tâm DABC và DSBC 
 a) Chứng minh IH ^ (SBC)
 b) Tính thể tích khối chóp HIBC theo a và h
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 , DABC và DSBC là các tam 
giác đều cạnh a . Tính thể tích khối chóp đó .
Bài 8. Cho khoái choùp tù giaùc eàu S.ABCD . Mot mat phaúng (a) i qua A,B va trung iem M cua canh SC . Tính t soá the tích cua hai phaàn khoái choùp bò phaân chia bôi mat phaúng où
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA ^ (ABC) và SA = AB = a ; BC = a. Mặt phẳng (P) qua A , vuông góc SC tại H và cắt SB tại K . Tính thể tích khối chóp SAHK.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy DABC vuông tại B; SA ^ (ABC) ; BC = a ; SA = a ; = 600 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A lên SB ,SC . Tính thể tích khối chóp A.BCNM
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Gọi G là trọng tâm DSAC và khoảng cách từ 
trọng tâm G đến (SCD) là . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ; AB = a ; SA ^ (ABCD) ; SC hợp với đáy một góc 300 và với mặt bên (SAB) một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 13. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a , góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C) bằng 300 . Tính thể tích khối lăng trụ đó .
Bài 14. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A ;AB = AC = a và 
AA’= a.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA’ và BC’ .Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA’ và BC’và tính thể tích khối chóp MA’BC’
Bài 15. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên BB’ = a và chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC . Tính thể tích khối lăng trụ đó
Bài 16. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tâm O . Hình chiếu của A’ trên 
đáy ABC trùng với O và = 450
 a) Chứng minh BCC’B’là hình chữ nhật 
 b) Tính thể tích khối lăng trụ đó 
Bài 17. Cho lăng trụ đều ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy a. Góc giữa đừơng chéo AC1 và đáy là 60o .Tính thể tích 
khối lăng trụ
Bài 18. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1,đáy ABC cân đỉnh A. Góc giữa AA1 và BC1 là 30o và khoảng cách giữa chúng là a. Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 60o.Tính thể tích lăng trụ
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , BC , CD . Chứng minh rằng : AM vuông góc với BP 
và tính thể tích của khối tứ diện CMNP 
Bài 20. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D! có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , góc A bằng 60o. Chân đường vuông 
góc hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Biết BB1 = a
 a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
 b) Tính thê tích của khối hộp
Bài 21. Hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1đáy ABC là một tam giác vuông tại A , AC = a , góc C = 60o.Đường chéo BC1 tạo với măt phẳng (A A1C1C) một góc 30o.
 a) Tính độ dài AC1
 b) Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 22. Cho hình chóp đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a.Cạnh bên SA = a.Một mặt phẳng (P) đi qua A,B và vuông góc với mt phng (SCD),(P) lần lượt cát SC,SD tại C1 và D1.
Tính diện tích của tứ giác ABC1D1
Tính thể tích của khối đa diện ABCDD1C1 
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và = a. Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy. Lấy trung điểm P của BC và các điểm M, N lần lượt trên AB, AC sao cho AM = AN = AP. Tính thể tích của khối chóp S.AMPN.
Bài 24. Cho một hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh
 huyền vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy góc 45o 
 a) CMR hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh huyền của đáy
 b) Tính thể tích của khối chóp
Bài 25. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a. (SBC) ^(ABC) và SA = SB = a.
 a) CMR tam giác SBC là tam giác vuông
 b) Cho SC = x.Tính thể tích khối chóp theo a và x
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . 
 a) CMR : mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM) . 
 b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Bài 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là a. Gọi M là trung điểm SC .
Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD , cắt SB ,SD lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp SAEMF
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cạnh bên SA = h và SA ^ (ABCD) . 
M là điểm thay đổi trên cạnh CD , đặt CM = x . Hạ SH ^ BM 
 a) Tính SH theo a , h , và x
 b) Xác định vị trí của M để thể tích SABH đạt giá trị lớn nhất và tính GTLN đó 
Bài 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và = 300 . DSBC đều cạnh a và 
 (SAB) ^ (ABC) . . Tính thể tích khối chóp S,ABC
Bài 30. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a ; BC = 2a ; 
AA’ = 3a . Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với A’C lần lượt cắt các đoạn thẳng CC’, BB’ tại M và N
 a) Tính thể tích khối chóp C.A’AB 
 b) Chứng minh AN ^A’B
 c) Tính thể tích khối tứ diện A’AMN
Bài tập mặt cầu
1. Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuụng gúc với nhau và nhận AB = a ( a > 0) là đoạn vuụng gúc chung. Lấy điểm M trờn Ax và điểm N trờn By sao cho AM = BN = 2a. Xỏc định tõm I và tớnh theo a bỏn kớnh R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tớnh khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng AM và BI.                                                                                  
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều.
Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Qua A dựng mp() vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp() và hình chóp .
	3. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a và CD = 2a.
CMR AB CD. Hãy xác định đường vuông góc chung của AB và CD.
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác ABC.
	4. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ASB = 120o, BSC = 60o, ASC = 90o . 
CM tam giác ABC vuông.
Tính thể tích tứ diện SABC.
Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC.
5. 	Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng . Điểm M, N là trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
6. 	Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(ABC), lấy một điểm S khác A.
CMR tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính bán kính mặt cầu này trong 
trường hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 30o.
Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S A).
d. Lấy S’ đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC. Xác định thiết diện tạo 
 bởi mp đi qua S’, M và song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích của thiết diện đó khi SA = .
7. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.
a. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC). 
b. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc MIN vuông 
8. 	Cho góc tam diện Sxyz với xSy = 120o, ySz = 60o, zSx = 90o. Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a.
CMR tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mp(ABC).
Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a.
Tính góc phẳng của nhị diện [(SAC),(BAC)].
9. 	Trên mp() cho góc xOy. Đoạn SO = a vuông góc với mp(). Các điểm M, N chuyển động trên Ox, Oy sao cho ta luôn có : OM + ON = a.
Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SOMN.
Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu nhoại tiếp tứ diện SOMN. CMR khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất.
10. 	Cho đường tròn tâm O bán kính R. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy (S và A cố cố định), SA = h cho trước, đáy ABCD là một tứ giác tuỳ ý nội tiếp đường tròn đã cho mà các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
11. 	Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, mp(SBC) mp(ABC) và SA = SB = a.
CMR tam giác SBC vuông tại S.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x.
12. 	Trong mp(P) cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S. Gọi H, K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.
CMR A, B, C, H, K thuộc một mặt cầu.
Tính bán kính mặt cầu trên biết AB = 2, AC = 3, BAC = 60o
Giả sử tam giác ABC vuông tại A. CMR mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn luôn đi qua một đường tròn cố định khi S thay đổi.
13. 	Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AD = CA = DB = a và CD = 2a.
CMR AB vuông góc với CD. Hãy xác định đường vuông góc chung của AB và CD.
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CMR H là trực tâm tam giác ABC.
14. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD, cạnh a.
15. Cho tứ diện SABC, dáy là tam giác cân ABC, cạnh đáy BC = 2a, góc BAC = 2; cạnh bên SA hợp với đáy góc sao cho hình chiếu của S xuống mặt đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
16. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đay ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc A (ABCD). Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECD.
17. Cho chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và (SAB) vuông góc với mặt đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìn chóp.
18. Cho tam giác ABC cân, góc ở đỉnh BAC = 300, cạnh đáy BC = 4. Một mặt cầu O, bán kín R = 5 chứa đường trìn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
19. Cho tứ diện ABCD, AD = BC = 5, DB = AC = 12 và AD vuông góc với (ABC). Kẻ AH và Ak lần lượt vuông góc với DB và DC. HK cắt (ABC) tại E. Chứng minh có một mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCKH và nhận EA làm tiếp tuyến.
20. Cho chóp tam giác đều SABC , đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy 1 góc (0 <<1800)
1. Tính thể tích khối chóp
2. Tính diện tích toàn phần của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC.
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.