Bài tập Tích phân

 TÍCH PHÂN 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 1 1/6/2010 
TÍCH PHÂN : 
1. Định nghĩa: 
Giả sử f(x) là 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng K ,a và b là hai phần tử bất kỳ 
của K .F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K. 
Hiệu số F(b)-F(a) gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và kí hiệu : 
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)   
2. Tính chất: 
1. 
a
f(x)dx 0
a
 
2. 
b a
f(x)dx f(x)dx
a b
   
3. 
b b
kf(x)dx k f(x)dx
a a
  
4. 
b b
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
a a
    
5. 
b c b
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
a a c
    
6. f(x) 0 trên đoạn [a;b] 
b
a
f(x) 0  
7. f(x) g(x) trên đoạn [a;b]
b b
a a
f(x) g(x)   
8. m f(x) M  trên đoạn [a;b]
b
a
m(a b) f(x) M(a b)     
Ta luôn có : 
b b b
a a a
f(x)dx f(t)dt f(u)du...    
Bài tập: 
1. Tính các tích phân: 
a) 
2
2
1
x dx b) 
e
1
dx
x c) 
2
2
1
dx
x
 d)
4
1
xdx 
2. Tính các tích phân: 
 TÍCH PHÂN 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 2 1/6/2010 
a) 
4
2
4
1( 3cosx)dx
cos x



 b) 
4
2
0
sin ( x)dx
4


 
c) 
4
2
0
cos ( x)dx
4


 d ) 
2
2
cos5xcos3xdx



 
3. Chứng minh rằng: 
a) 
1 2
0
4 x 51 dx
2 2

  b )
1
2
0
dx
4 23 2sin x
 
 

4. Tính các tích phân: 
a) 
3
3
x 2 dx

 b) 
2
2
2
x 1 dx

 c)  
3
2
x 1 x 2 dx

   
5. Tính các tích phân: 
a) 
2
2
0
min(x 3x 1;x 2)dx   b) 
2
2
0
Max(x 3x 1;x 2)dx   
1. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè. 
 a) Đổi biến dạng 1: 
b
a
f(x)dx 
Đặt x (t)  , (t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]  với: 
a ( );b ( )      . Khi đó ta có: 


   
b
a
f(x)dx f[ (t)] '(t)dt 
Các dạng cơ bản: (k>0) 
1. 
b
2
a
1 x dx Đặt x sin t, t [ ; ]2 2
 
   
2. 
b
2
a
dx
1 x
 Đặt x sin t, t ( ; )2 2
 
   
3. 
b
2
a
dx
x 1
 Đặt x tan t, t ( ; )
2 2
 
   
 TÍCH PHÂN 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 3 1/6/2010 
4. 
b
2
a
dx
( x ) k  
 Đặt x k tan t, t ( ; )
2 2
 
     
 Ví dụ:  
1 2
0
A 1 x dx 
 Đặt x = sint với      
t ;
2 2
. . Khi x=0  t = 0; khi x =1 t =
2

 Ta cã: 2 2 21 x 1 sin t cos t cos t     v× t 0;
2
    
 vµ dx = cost.dt. Do ®ã: 
  
     
1 2 2 2 2
0 0 0
1 cos2t
A 1 x dx cos t.dt dt
2
 20
1 1
t sin 2t
2 2 4
     
 
. 
1. Tính các tích phân: 
a) 
1 2
0
4 x dx b) 
1
2
2
0
dx
1 x
 c) 
1
2
0
dx
4 x
 
d) 
1
2
0
dx
x 1
 e) 
2 3
2
0
dx
x 4
 f) 
0
2
1
dx
x 2x 2  
 
b) Đổi biến dạng 2: 
b
a
f[ (x)] '(x)dx  
Đặt t (x)  , Ta có: 
(b)b
a (a)
f[ (x)] '(x)dx f(t)dt


    
Ví dụ Tính   
1
0
B 5x 3 dx 
Đặt t = 5x+3 
1dt=5dx dx= dt
5
  .Khi x 0 t 3
x 1 t 8
   

  
       
88
1 2
0
3 3
1 1 1
B 5x 3 dx tdt t 55 11
5 5 5
Hay          
11
1 2
0
00
1 1
B 5x 3 dx (5x 3)d(5x 3) (5x 3) 11
5 5
 TÍCH PHÂN 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 4 1/6/2010 
1. Tính các tích phân: 
a) 
1
0
dx
2x 1 b)
1
2
0
2x 1 dx
x x 1

 
 c) 
1 x
x
0
e dx
e 1
 d) 
4
0
tan xdx

 e) 
2
4
cot xdx


 f)
6
0
s inx dx
1 cos3x

 
2. Tính các tích phân: 
a) 
e
1
ln x dx
x b) 
e 3
1
ln x dx
x c) 
2e
e
dx
x ln x 
d) 
e
1
sin(ln x) dx
x e) 
e
1
ln x dx
x 1 ln x
 f) 
3
2
e
e
dx
x ln x ln(ln x) 
g)
e
1
lnex dx
1 ln x h) 
e
2
1
dx
x cos (1 ln x)
 i) 
e
1
dx
x(1 ln x) 
3. Tính các tích phân: 
a) cosx
0
e .sinxdx

 b) 
2
1
x
0
xe dx c) 
x x2
x x
0
e e dx
e e





d) 
1
x
0
dx
e 1
 e) 
tan x
2
0
e dx
cos x

 f) 
1 x
x
0
e dx
e 1
4. Tính các tích phân: 
1
2
0
x x 1dx b) 
1
3 2
0
x x 1dx c) 
1
0
x x 1dx