Bài tập Tích phân có lời giải

NGUYÊN HÀM
Ví du 1: Tìm nguyeân haøm caùc haøm soá sau:
 a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = + 
 c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
Giaûi
a) 
b)
c)
d) 
Ví du 2ï: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=1+ sin3x bieát F()= 0.
Giaûi
Ta coù F(x)= x – cos3x + C. Do F() = 0 - cos + C = 0 C = -.
Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x -.
Baøi taäp ñeà nghò:
1. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y.
2.Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=sin2x.cosx, bieát giaù trò cuûa nguyeân haøm baèng khi x= 
3. Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = e1-2x , bieát F( 
4. Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = , bieát F(
TÍCH PHÂN
Ví duï1: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau:
 a/ 	b/ 	c/ 
Giaûi
a/ = 
b/
 = = 8
 c/ =+=+ =(x-=5
 Daïng 1: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán daïng 1:
 Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët x = u(t) (ñieàu kieän cho t ñeå x chaïy töø a ñeán b) dx = 
 b2: Ñoåi caän: 
 x = a u(t) = a t = 
 x = b u(t) = b t = ( choïn , thoaû ñk ñaët ôû treân)
 b3: Vieát veà tích phaân môùi theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân . 
	Ví duï: Tính :
x
0 1
 t
0 
 	§Æt x = sint dx = cost.dt. Víi x [0;1] ta cã t
 	§æi cËn: VËy = = 
 Chuù yù: Khi gaëp tích phaân maø bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân coù daïng :
 thì ñaët x= sint t 
 thì ñaët x= tgt t 
 thì ñaët x= t \ 
Daïng 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán.
Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët t = (x) dt = 
 b2: Ñoåi caän: 
 	 x = a t =(a) ; x = b t = (b)
 b3: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân tìm ñöôïc .
Ví duï : Tính tích phaân sau :	a/ b/
Giaûi:
a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
x
0 1
 t
1 3
Ñoåi caän: Vaäy I= 
b/ Ñaët t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
x
 0 1
 t
 2
Ñoåi caän: Vaäy J = 
Baøi taäp ñeà nghò:
Bµi 1. TÝnh caùc tích phaân sau: 1/I= 
 2/J= 3/K= 
Bµi 2. Tính caùc tích phaân sau: 1/ 
2/ 3/ 4/ 
Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận
Dấu hiệu : 
Chứa (biểu thức)n
Đặt u = biểu thức
Chứa 
Đặt u = 
Chứa mẫu
Đặt u = mẫu
Chứa sinx.dx
Đặt u = cosx
Chứa cosx.dx
Đặt u = sinx
Chứa 
Đặt u = lnx
Dấu hiệu: 
Đặt x = sint , t 
Đặt x = a.sint , t 
Đặt x = tant , t 
Đặt x = a.tant , t 
 Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn:
 Coâng thöùc töøng phaàn : hoặc 
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: a/ I= b/J=
Giaûi
 a/ Ñaët : (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
Vaäy I = x cosx - = cosx= -1
 b/ Ñaët : 
Vaäy J= lnx. -
Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp:
a) Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu:
Phöông phaùp giaûi:Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính.
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ = .
b/ 
b) Daïng baäc1 treân baäc 2:
Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính.
*Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
Ñaët =
 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. 
 Vaäy ta coù: =
* Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
CI:
=(ln 
CII: Ñaët 
 Ax -2A+B= 0 
Vaäy = 
*Tröôøng hôïp maãu soá voâ nghieäm:
Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= 
Giaûi:
Ta coù = 
Tính J= 
Ñaët x+1=(t ) dx=. Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t= J= . Vaäy I= ln ) 
3/ Tính tích phaân haøm voâ tæ:
Daïng1: Ñaët t=
Daïng 2: Ñaët t=
Ví duï: Tính tích phaân I = 
Giaûi
x
 0 1
 t
 1 0
Ñaët t = t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt.
Ñoåi caän: Vaäy I= 
4/ Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp
Daïng:
Phöông phaùp giaûi:
Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi.
Daïng: 
Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán. 
Ví duï :
Daïng: Ñaëc bieät: Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx
Daïng: Ñaëc bieät: Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx
Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x=tgt
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ b/ c/ 	d/
Giaûi a/ = 
 b/
 c/ I==
Đaët t =sinx dt = cosx dx.
x
 0 
 t
 0 1
Đổi cận
 Vaäy: I=
d/J = =
Đaët t = sinx dt = cosx dx. 
x
 0 
 t
 0 1
Đổi cận
 VËy: J=
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
Bµi 1 : 1/ 	2/ 	3/ 4/ 	 5/ 	
Bµi 2 : 1/ I= 2/ J= 
Bµi 3 : 1/ I= 	 2/ I= 3/ I= 
Bµi 4: 1/ 	2/ 
Bµi 5 : 1/ 2/ 3/ 4/.
 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
1/Các kiến thức căn bản :
a) Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø :
b) Daïng toaùn2: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng cong vaø 2 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò (C) vaø y=g(x) coù ñoà thò (C’) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C), (C’) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b laø : 
Phöông phaùp giaûi toaùn:
 B1: Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa (C) vaø (C’)
 B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm:
Cách tính 
TH1: Neáu phöông trình f(x) = 0 voâ nghieäm trong (a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
 TH2: Neáu phöông trình f(x) = 0 coù 1 nghieäm laø x1(a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
 TH3: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù caùc nghieäm laø x1; x2(a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: 
Chuù yù: * Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù nhieàu hôn 2 nghieäm laøm töông töï tröôøng hôïp 3. 
 * Daïng toaùn 1 laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa daïng toaùn 2 khi ñöôøng cong g(x)=0
Ví duï 1ï: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = sinx treân ñoaïn [0;2] vaø Ox.
Giaûi:
Ta coù :sinx = 0 coù 1 nghieäm x= vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
S = = = 4 
Ví dụ2: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P1): y = x2 –2 x , vaø (P2) y= x2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng x = -1 ; x =2 .
Giaûi
Pthñgñ : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2 .
Do ñoù :S=
= = =(dvdt)
Ví dụ 3: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y2 = 4 x , vaø ñöôøng thaúng (d): 2x+y-4 = 0.
GiaûiTa coù (P): y2 = 4 x x = vaø (d): 2x+y-4 = 0 x= .
Phöông trình tung ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø: = 
Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= 
2/ Bài tập tương tự :
Baøi 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cña hµm sè y = 2 - x2 víi ®­êng th¼ng (d): y = x.
Baøi 2. Cho hµm sè y = (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña nã t¹i A(0,1).
Baøi 3. Cho hµm sè y = (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trôc Ox; Oy vµ ®­êng th¼ng x = 2.
Baøi 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng (C): vµ c¸c ®­êng th¼ng 
 (d): x + y - 2 = 0 ; y = 0.
Baøi 5. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiÕp tuyÕn (d) cña nã t¹i ®iÓm M(3;5) vµ Oy.
Baøi 6. Cho hµm sè y = (C) .
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C); tiÖm cËn cña nã vµ x = 2; x= 3. 
 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
1/Các kiến thức căn bản :
Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay sinh ra khi hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) coù phöông trình y= f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a, x=b , y= 0 quay moät voøng xung quanh truïc Ox laø: 
2/ Bài tập áp dụng :
 Ví duï 1: Tính theå tích khoái caàu sinh ra do quay hình troøn coù taâm O baùn kính R quay xung quanh truïc Ox.
Giaûi: 
Ñöôøng troøn taâm O baùn kính R coù phöông trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2
Theå tích khoái caàu laø : V= = = = (ñvtt)
Ví duï 2: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: x = –1; x = 2; y = 0; y = x2–2x.
Giaûi: 
Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : 
 = = (ñvtt)
Bµi 3 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra khi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau : 
y = 0, y = , x = 0, x = .
Gi¶i: V = §Æt : Þ 
 Þ V = = = Õ.
Bµi 4. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trôc Oy cña h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = , y = 2, y = 4 vµ x = 0.
Gi¶i: V = ( = 12.
Bài tập đề nghị :
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trục hoành, .
Parabol: , các đường thẳng x = -1, x = 3 và trục hoành.
.
.
.
Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành: 
 và .
.
.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trục hoành, .
Parabol : các đường thẳng x = -1, x = 2 và trục hoành.
.
.
Bài 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = và hai trục toạ độ. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình đó quanh trục Ox.
Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành: 
 v à .
Bài 6: Cho hàm số y = , (m là tham số).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang và các đường x = 2, x =4.