Bài tập tính xác suất

Bài tập tính xác suất
Công thức Ω 
P(A) = c
P(Φ) = 0;	 P(Ω) = 0;	0 ≤ P(A) ≤ 1
P() = 1 – P(A) 
Quy tắc cộng xác suất 
A1 , A2 , Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì 
	P(A1 A2  Ak ) = P(A1) + P(A2) +  + P(Ak)
Quy tắc nhân xác suất
A1, A2 Ak là các biến cố độc lập với nhau thì 
P(A1 A2  Ak ) = P(A1) . P(A2) ... P(Ak) 
Nếu P(A.B) P(A) . P(B) thì A,B không phải là hai biến cố độc lập
Nếu P(A.B) 0 thì A,B không xung khắc
 P(A.B) = 0 thì A,B là 2 biến cố xung khắc
Bài tập
Bài 1 trang 74 - ĐS> CB
Gieo ngẫu nhiên 1 con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần
Hãy mô tả không gian mẫu? Tính số phần tử của Ω 
Ω = {(i,j) | 1 ≤ i,j ≤ 6 }
n(Ω) = 36 phần tử
Xác định các biến cố 
A: “Tổng số chấm xuất hiện trong 2 lần reo không bé hơn 10”
	A = {(4,6); (6,4); (5,5); (5,6); (6,5); (6,6)}
	B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”
B = {(1,5); (2,5); (3,5); (4,5); (5,5); (6,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,6)}
Tính P(A), P(B) 
P(A) = = = 
P(B) = = 
Bài tập 2 trang 74 - ĐS> 11 chuẩn
Có 4 tấm bia được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên 3 tấm
Hãy mô tả không gian mẫu
Ω = {(1,2,3); (1,2,4); (1,3,4);(2,3,4)}
n(Ω) = = 4 (do không quan tâm thứ tự và rút không hoàn lại)
Xác định các biến cố
A: “Tổng số chấm trên 3 tấm bia bằng 8”
	A = {(1,3,4)}
B: “Các số trên 3 tấm bia là 3 số tự nhiên liên tiếp”
	B = {(1,2,3); (2,3,4)}	
Tính P(A), P(B) 
Từ kết quả trên P(A) = ; P(B) = =
Chú ý:
	Loại bài tập này là bài tập đơn giản nhất về tính xác suất các biến cố. Thông thường quy trình của loại bài tập này là:
Mô tả không gian mẫu
Hoặc tính số phần tử của không gian mẫu
Xác định các biến cố theo yêu cầu bài toán
Tính xác suất của các biến cố theo công thức
P(A) = 
	VD2 trang 73 - ĐS> 11 chuẩn
Bài 4 trang 74 - ĐS & GT 11 chuẩn
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình (1)
Tính xác suất sao cho
Phương trình (1) có nghiệm
Phương trình (1) vô nghiệm
Phương trình (1) có nghiệm nguyên
Bài tập tính xác suất 
Loại bài tập
Tự xác định không gian mẫu
Tự gọi tên các biến cố cần tính xác suất 
Tinh các phần tử của không gian mẫu và biến cố
Tính xác suất các biến cố
Giải bài tập 4 (74- 11CB)
Phương trình (1) có biệt thức
	Với b {1,2,3,4,5,6} = E 
	Phương trình (1) có nghiệm khi 	 
	b {3,4,5,6}
	Gọi A là biến cố “phương trình (1) có nghiệm”
	 B là biến cố “phương trình (1) vô nghiệm nguyên”
	 C	 là biến cố “phương trình (1) có nghiệm nguyên”
	Ta có 	n(Ω) = 6
	n(A) = 4
	n(B) = 2
	n(C) = 1
	P(A) = = =
	P(B) = P() = 1 – P(A) = 
	P(C) = = 
Bài 5 trang 74 - ĐS> 11 chuẩn
Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 con. Tính xác suất sao cho:
Cả 4 con đều là con át
Ta có không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 4 của 52 nên
	n(Ω) = = 270725
Gọi A là biến cố “cả 4 con rút được để là át”
	n(A) = = 1
 P(A) = = 
Được ít nhất 1 con át
Gọi B là biến cố cần tìm.
 là biến cố “trong 4 quân bài rút ra không có quân nào là át”
n() = =194580 cách (vì trừ đi 4 con át)
 P() = = 0,7187
 P(B) = 1 – P() 0,2813 
Được 2 con át và 2 con K
Gọi C là biến cố cần tìm
 n(C) = .= 6.6 = 36
P(C) = = 0,000133
Bài 6 trang 74 - ĐS> 11 chuẩn
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành 2 dãy đối diện nhau. Tính các xác suất :
Nam nữ ngồi đối diện nhau
Không gian mẫu gồm các hoán vị của 4 người
	n(Ω) = 4! = 24
Gọi A là biến cố “nam và nữ ngồi đối diện nhau”
trước hết ta đánh số ghế như hình vẽ
Nếu như xếp 2 nam ngồi ở ghế số 1 và số 2 có 2 cách xếp.
Sau khi xếp nam xong, xếp 2 nữ vào ghế 3 và 4 cũng có 2 cách xếp
Hoán vị chỗ ngồi cho 2 bạn ngồi đối diện nhau ta có 2.2 = 4 cách
Theo quy tắc nhân ta có 	2.2.4 = 16 cách xếp
 n(A) = 16
 P(A) = = = 
Nữ ngồi đối diện nhau
Gọi B là vc “nữ ngồi đối diện nhau” hay biến cố “xếp 4 người ngồi để nữ ngồi đối diện nhau”
Vì có hai nam và hai nữ xếp vào 4 ghế như hình vẽ. Nên khi nữ ngồi đối diện nhau thì lập tức hai nam cũng ngồi đối diện nhau. Mặt khác các cách xắp xếp chỉ có thể là nam, nữ ngồi đối diện hoặc là nữ ngồi đối diện nhau B = 
 P(B) = P() = 1- P(A) = 1 - = 
	Cách 2: Giả sử hai nữ gọi là a,b hai nam là c,d
Nếu xếp hai nữ vào hai ghế 1và 4 ta có 2! = 2 cách. Mỗi một cách xếp hai nữ có hoán vị hai nam là 2! = 2 cách 
 2.2 = 4 cách
Tương tự ta xếp hai nữ vào hai ghế 2 và 3 cũng có 4 cách
Theo quy tắc công ta có : 	4 + 4 = 8 cách
 n(B) = 8
 P(B) = =
Bài 7 trang 75 - ĐS> 11 chuẩn
Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả.
	Gọi A là biến cố “quả lấy từ hộp thứ nhất màu trắng”
	Gọi B là biến cố “quả lấy từ hộp thứ hai màu trắng”
Xét xem A, B có độc lập không?
Trong mỗi hộp được đánh số từ 1 đến 10 sao cho: các quả cầu trắng trong hộp I được đánh số từ 1 đến 6. Các quả cầu trắng trong hộp II được đánh số từ 1 đến 4.
 * A = {(i,j) / 1 ≤ i ≤ 6; 1 ≤ j ≤ 10}
 n(A) = 6.10 = 60 cách
Có Ω = { (i,j) / 1 ≤ i ≤ 10; 1 ≤ j ≤ 10}
 P(A) = = =
 *	B = {(i,j) / 1 ≤ i ≤ 10; 1 ≤ j ≤ 4}
	 n(B) = 10.4 = 40
	 P(B) = =
 *	A B = A.B = {(i,j) / 1 ≤ i ≤ 6; 1 ≤ j ≤ 4}
	n(AB) = 6.4 = 24
	 P(AB) = =. = P(A) . P(B) 
	 A và B là hai biến cố độc lập
Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra la cùng màu
Gọi C là biến cố “ 2 quả cầu lấy ra cùng màu” hay C là biến cố “lấy được 2 quả cầu trắng hoặc lấy được hai quả cầu đen”.
	 C = A.B .
Mà AB và . là hai biến cố đối (xung khắc) 
Ta có A,B độc lập , cũng độc lập
 P(C) 	= 	P(AB) + P(.)
	= 	P(A) . P(B) + P() . P() 
	= 	. + (1-)(1-) 
	= 	 + = 
	Cách 2: Tính trực tiếp P(C) = + = 
Tính xác suất hai quả lấy ra khác màu
Gọi D là biến cố “ hai quả cầu lấy ra khác màu”
 D = 
 P(D) = P() = 1 - = 
Bài tập
Bài 5.4 trang 72 – BT ĐS> 11 chuẩn
	Kết quả (b,c) của việc gieo con súc sắc cân đối, đồng chất 2 lần. Trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần reo thứ hai, được thay bằng phương trình:
	 (1)
Tính xác suất để
phương trình (1) vô nghiệm
phương trình (1) có nghiệm kép
phương trình (1) có nghiệm
Giải:
Không gian mẫu Ω = {(b,c) / 1≤ b,c ≤ 6; b,c N}
 n(Ω) = 36
Gọi A là biến cố “để (1) vô nghiệm”
 B là biến cố “để (1) có nghiệm kép”
 C là biến cố “để (1) có nghiệm”
	Xét phương trình (1) có:
	 	1≤ b,c ≤ 6
Ví dụ 2 trang 70 – BT ĐS> 11 chuẩn
	Một lớp học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp, 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Tính xác suất của các biến cố sau khi chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên:
A: “ sinh viên được chọn học tiếng Anh”
B: “ sinh viên được chọn học tiếng Pháp”
C: “sinh viên được chọn học cả tiếng Anh và tiếng Pháp”
D: “sinh viên được chọn không học tiếng Anh cả tiếng Pháp”
Giải:
	Ta có không gian mẫu có 60 phần tử
	n(A) = 40 	 P(A) = = 
	n(B) = 30 	 P(B) = = 
	n(C) = 20	 P(C) = = 
	P(A B) 	= P(A) + P(B) – P(A B) 
	=	 + - = 
	P(D) 	= P( ) = P()
	= 1- P(A B) = 1- = 
Bài 39 trang 85 - ĐS & GT NC
	Cho hai biến cố A và B với P(A) = 0,3; P(B) = 0,4; P(AB) = 0,2.
	Hai biên cố A và B có :
Xung khắc không?
Ta thấy P(AB) = 0,2 0 
	 A,B không xung khắc
Độc lập với nhau không?
Nếu A,B độc lập P(A.B) 	= P(A) . P(B) 
Mà theo bài ra P(A) . P(B) 	= 0,3 x 0,4 = 0,12 0,2 = P(AB) 
	 2 biến cố A và B không độc lập
Bài tập
Bài 2.37 trang 66 – BT ĐS & GT 11 NC
Trên một cái vòng để quay sổ xố có gắn 38 con số từ 1 đến 36 và hai con số 0 và 00. Trong 36 số từ 1 đến 36 có 18 con số chẵn màu đỏ, 18 số lẻ màu đen. Hai số còn lại 0 và 00 không đỏ cũng không đen. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng lại ở mỗi số đều như nhau.
Tính xác suất để khi quay 1 lần:
Kết quả dừng ở ô màu đỏ
Không gian mẫu có 38 phần tử
Gọi A là biến cố “quay 1 lần, kết quả dừng ở ô mầu đỏ”
 n(A) = 18
 P(A) = =
Kết quả dừng ở ô 0 hoặc 00
Gọi B là biến cố cần tìm
 n(B) = 2
	 P(B) = = 
Tính xác suất để khi quay 2 lần liên tiếp
Cả 2 lần kết quả đều dừng lại ở ô màu đen
Gọi C là biến cố “quay 2 lần liên tiếp, kết quả đều ở ô màu đen”
	 C1 là biến cố “quay lần 1, kết quả dừng ở ô màu đen”
	 C2 là biến cố “quay lần 2, kết quả dừng ở ô màu đen”
C = C1 C2 	vì C1 và C2 độc lập
 P(C) = P(C1 C2) = P(C1) . P(C2)
	 =	 x = 
Bánh xe dừng lại một số giữa 1 và 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu nhưng không dừng lại giữa chúng ở lần quay sau.
Gọi D1 , D2 lần lượt là các biến cố bánh xe dừng lại một số giữa 1 và 6 lần đầu và bánh xe dừng lại 1 số không thuộc giữa 1 và 6.
 D = D1 D2 	D1, D2 độc lập
P(D) = P(D1 D2) = P(D1) . P(D2)
	 = x = 
Quay 5 lần liên tiếp. Tính xác suất để không lần nào kết quả dừng ở ô 0 hoặc 00
Gọi E là biến cố cần tìm.
Gọi E1, E2, E3, E4, E5 là lượt là các biến cố ở các lần quay 1,2,3,4,5 mà kết quả không dừng ở ô 0 hoặc 00.
 E1, E2, E3, E4, E5 là các biến cố độc lập
	 E = E1 E2 E3 E4 E5
 Ta có n(E1) = n(E2) = n(E3) = n(E4)= n(E5) = 36
 	P(E) = P(E1) = P(E2) = P(E3) = P(E4)= P(E5)	= 
P(E) = = 0,763
Bài 2.38 trang 66 – BT ĐS và GT 11 NC
Có 3 bình A, B, C mỗi bình chứa 3 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh và 3 quả cầu đỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu. Tính xác suất để
Ba quả cầu có màu đôi một khác nhau
Ta thấy trong mỗi bình:
xác suất lấy được một quả cầu trắng là 
xác suất lấy được một quả cầu xanh là 
xác suất lấy được một quả cầu đỏ là 
 xác suất lấy được bộ 3 quả cầu có màu “đỏ, trắng, xanh” là:
	P(A) = x x = 
	(do các biến cố độc lập)
	Tương tự cho các bộ 3 quả cầu còn lại. Có hoán vị của 3 phần tử bộ có 6 bộ
	 xác suất ba quả cầu có màu đôi một khác nhau là: 6 . = 
Ba quả cầu có màu giống nhau
Xác suất để lấy được 3 quả cầu trắng – trắng – trắng là: 
Xác suất để lấy được 3 quả cầu đỏ – đỏ – đỏ là: 
Xác suất để lấy được 3 quả cầu xanh – xanh – xanh là: 
Các biến cố trên là xung khắc đôi một
 xác suất cần tìn là : + + = 
Hai quả cầu cùng màu, còn quả kia khác màu
Gọi A là biến cố “Ba quả cầu có màu đôi một khác nhau
 B là biến cố “Ba quả cầu có màu giông nhau”
 C là biến cố “Có 2 quả cầu cùng màu, còn quả kia khác màu”
 biến cố C là biến cố đối của biến cố hợp A B
 P(C) = 1 – P(A B) = 1 – P(A) – P(B) 
	 = 1 - - = 
Bài 2.40 trang 66 BT ĐS & GT 11 NC
Một bình chứa 16 viên bi với 7 bi trắng, 6 bi đen và 3 bi đỏ
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tĩnh xác suất để:
Lấy được cả 3 viên bi đỏ
Không gian mẫu có số phần tử là : = 560
Vì hộp chỉ có 3 bi đỏ có 1 cách chọn 3 bi đỏ
 xác suất phải tìm là 	
Lấy được cả 3 viên bi không đỏ
Số viên bi không đỏ là : 16 – 3 = 13 viên
Gọi B là biến cố “lấy được cả 3 viên bi không đỏ”
	n(B) = = 286
	 P(B) = = 
Lấy được một viên bi trắng, một viên bi đen và một viên bi đỏ
Gọi C là biến cố cần tìm
	n(C) = 7 . 6 . 3 = 126
	 P(C) = = 
Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để:
Lấy được đúng 1 viên bi trắng
Gọi D là biến cố : “lấy được đúng 1 viên bi trắng trong 4 viên bi”
	n(D) = . = 7 . 84 = 588
	 P(D) = = = = 
Lấy được đúng 2 viên bi trắng trogn 4 viên bi
Gọi E là xác suất cần tìm
 P(E) = = =
Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất rút được 5 bi trắng, 3 bi đen và 2 bi đỏ.
Không gian mẫu là có số phần tử là
	 = 8008
	Số cách chọn được 10 viên bi thỏa mãn đề bài là
	 x x = 21 . 20 . 3 = 1260
	 xác suất phải tìm là : = 
Bài 2 trang 67 BT ĐS & GT 11 NC
Một người say rượu bước 4 bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau. Tính xác suất để sau 4 bước anh ta trở lại điểm xuất phát.
Giải:
Trước hết ta có nhận xét: do các bước tiến lên (T) hay lùi xuống (L) đều được nửa mét. Nên để trở lại được vạch xuất phát thì trong 4 bước, người đó phải có 2 bước tiến và 2 bước lùi. Có 6 cách, cụ thể là:
TTLL; TLTL; LLTT; LTLT; TLLT; LTTL.
Do anh ta lùi một bước và tiến lên một bước đều có xác suất như nhau là . Nên mỗi trường hợp đều có xác suất là : . . . = 
 xác suất cần tìm là : 	6 . = 
Bài 2.47 trang 68 – BT ĐS và GT 11 NC
Chọn ngẫu nhiên 3 người. Biết không có ai sinh vào năm nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật cùng nhau ( cùng ngày, cùng tháng).
Giải:
	Gọi A là biến cố “Ba người có ngày sinh đôi một khác nhau”. Số trường hợp có thể ( hay số phần tử của không gian mẫu) là 	
	Các kết quả thuận lợi cho A là: 365 . 364 . 363 
	 P(A) = 0.9918
	 xác suất cần tìm là 1 – P(A) = 0.0082
Bài 40 trang 85 - ĐS và GT 11 NC
Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong 1 trận là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lơn hơn 0,95.
Giải:
	Gọi n là số trận mà An chơi
	Gọi A là biến cố “An thắng ít nhất 1 trận trong loạt chơi n trận”
	 là biến cố “An thua cả n trận”
	Gọi Ai là biến cố “An thua ở trận thứ i”
	 P(A1) = P(A2) =  = P(An) = 1- 0,4 = 0,6
	Ta thấy = A1 A2  An 
	Các biến cố Ai là độc lập
	 P() = P(A1) . P(A2) P(An) = 
	 P(A) = 1 – P() = 1 - 
	Ta cần tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để P(A) ≥ 0,95
	1 - ≥ 0,95
	 	 ≤ 0,05 	(1) 
	Mà ta thấy 0,65 = 0,078 	(2)
	0,66 = 0,047	(3)
	Từ (1), (2) và (3) ta có n = 6
	Vậy An chơi ít nhất là 6 trận.
SGV trang 105 – 106 11NC
Công thức tính xác suất của hợp 2 hay 3 biến cố 
Cho ba biến cố A, B, C bất kỳ, cùng liên quan đến phép thử T
Ta có các công thức:
(1) P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) 	
(2) P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(CA) + P(ABC) 
 VD trang 105
	Một nhà xuất bản phát hành ba tên sách A, B, C. Thống kê cho thấy có 50% học sinh mua sách A, 70% học sinh mua sách B, 60% học sinh mua sách C, 30% HS mua sách A và B, 40% mua sach B và C, 20% mua sách A và C, 10% mua cả 3 sách A, B, C.
	Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh
Tính xác suất để em đó mua sách A hoặc sách B
Tính xác suất để em đó mua ít nhất một trong ba tên sách nói trên
Tính xác suất để em đó mua đúng hai trong ba tên sách nói trên
Giải:
Gọi 	A là biến cố “Em đó mua sách A”
	B là biến cố “Em đó mua sách B”
	C là biến cố “Em đó mua sách C”
Theo bài ra ta có:
P(A) 	= 0,5	P(B) = 0,7	P(C) = 0,6
P(AB) = 0,3	P(BC) = 0,4	P(AC) = 0,2
P(ABC) = 0,1
Biến cố “em đó mua sách A hoặc sách B” là A B
áp dụng công thức (1) ta có:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) 
	 =	0,5 + 0,7 – 0,3 
	 = 0,9
Biến cố “em đó mua ít nhất một trong 3 tên sách trên” là 
H = A B C
P(H) = P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(CA) + P(ABC) 
	= 0,5 + 0,7 + 0,6 – 0,3 – 0,4 – 0,2 + 0,1
	= 1
Gọi K là biến cố “em đó mua đúng hai trong ba tên sách nói trên”
K 	= AB + AC + BC 
 Các biến cố này xung khắc đôi một nên
	P(K)	= P(AB) + P(AC) + P(BC) (*)
 Ta có:
	AB = AB ABC
	P(AB) = P(AB) P(ABC)
	 P(AB) = P(AB) – P(ABC)
	= 0,3 – 0,1 = 0,2
 Tương tự
	P(AC) = P(AC) – P(ABC) = 0,2 – 0,1 = 0,1
	P(BC) = P(BC) – P(ABC) = 0,4 – 0,1 = 0,3
Thay vào (*) ta có
	P(K) = 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6
Bài 65 trang 94 - ĐS và GT 11 NC
Có 3 hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rúng ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ.
Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 4
Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 tấm thẻ rút ra bằng 6
Giải:
Ta có không gian mẫu Ω của phép thử T là
	Ω = {(x,y,z) / 1 ≤ x ≤ 5; 1 ≤ y ≤ 5; 1 ≤ z ≤ 5 và x,y,z N}
Trong đó x, y, z theo thứ tự là các số ghi trên thẻ rút từ hòm thứ nhất, hòm thứ hai và hòm thứ ba.
	n(Ω) = 5 . 5 . 5 = 125
Gọi A là biến cố cần tìm
 là biến cố “tổng các số trên 3 tấm thẻ rút ra nhiều nhât là 3”
 ΩA = {(1, 1, 1)} n(ΩA) = 1
 P() = 
 P(A) = 1 – P() = 1 - = = 0,992
Gọi B là biến cố “Tổng các số trên 3 tấm thẻ rút ra bằng 6”
ΩB = {(x, y, z) / x+y+z = 6; 1≤ x,y,z ≤5; x,y,z N}
Ta có:
	6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 1 + 4 = 2 + 2 + 2
- Tập {1; 2; 3} cho ta 6 phần tử của ΩB (có 3! bộ)
- Tập {1; 1; 4} cho ta 3 phần tử của ΩB
- Tập {2; 2; 2} cho ta 1 phần tử của ΩB
 n(ΩB) = 6 + 3 + 1 = 10
 P(B) = = = 0,08