Bài tập Toán khối 11

n thông tin tổng hợp 3 
Bài 2: Tính: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ; 
cot sin
2
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
 B cot cot tan
3 cos 2 tan
cos cot
2
p p
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b
p p b p a
p a b
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
= -
æ ö÷ç + -÷ç ÷çè ø
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç+ + - +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø
= - + -
æ ö - -÷ç- - ÷ç ÷çè ø
Bài 3: Đơn giản biểu thức: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5
A sin 13 cos cot 12 tan ; 
2 2
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2 tan
2 2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + - - + - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= - + - - + -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= + + - - - + - + -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø÷
Bài 4: Đơn giản biểu thức: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o o o o
A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -
Bài 5: Đơn giản biểu thức: 
( ) ( )
( )
( )o o
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin 2550 cos 18812
A B
9 tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
p p
p
p
æ ö÷ç - - -÷ç -÷çè ø
= = +
æ ö +÷ç - -÷ç ÷çè ø
Bài 6: Chứng minh: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
2 2
a / sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3
b /sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2
p p
p p
- + - + =
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç+ + + + + + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: 
A B C
a /sin(A B) sin A; b / cosA cos(B C) 0; c / sin cos ;
2 2
3A B C
d / cosC cos(A B 2C) 0; e / sin A cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: o o o o o15 ,75 ,105 ,285 ,3045 
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,
12 12 12 12 12
p p p p p
Bài 10: Tính cos x
3
pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø
 biết 
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
p
p= - 
Bài 11: Cho 2 góc nhọn ,a b có 
1 1
tan , tan
2 3
a b= = . a/ Tính ( )tan a b+ b/ Tính 
a b+ 
Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : 
x y
4
tan x.tan y 3 2 2
píïï + =ï
ì
ïï = -ïî
 a/ Tính ( )tan x y ;tan x tan y+ + b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 4 
Bài 13: Tính tan x
4
pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø
 biết 
40
sin x
41
= - và 
3
< x <
2
p
p 
Bài 14: Tính tan
4
p
a
æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø
 theo tana . Áp dụng: Tính tg15
o
Bài 15: Tính: 
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot 69
D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F
3 cot 261 tan 201
+ +
= + = =
- -
-
= - = + =
+
Bài 16: Tính: 
3
a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
2 2
b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
p p p p
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= - + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: 
 2 2 2 2 2 22 2A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + - = + + + -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø
Bài 18: Chứng minh: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a / cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b / sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c / sin a b .cos a b sin a cosa sin bcosb
d /sin a sin a 2 sin a
4 4
p p
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác 
 Cho tam giác ABC.Chứng minh: 
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -
æ ö÷ç ¹ ÷ç ÷çè ø
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =
( học thuộc kết quả ) 
Công thức biến đổi: 
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG 
( ) ( )o o
2
a / sin .sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -
( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç+ - - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 5 
 ( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c / sin5x sin x
d / sin a b sin a b ; e / tan a b tana; f / tan 2a tana
+ - +
+ - - + + - 
Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
 Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : 
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )2 2 2
2 2 2
 4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 
2 2 2 
 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) 
Bài 23: Chứng minh ABCD vuông nếu: 
2 2 2sin B sin Ca / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2
cos B cosC
+
= = + + + =
+ 
Bài 24: Chứng minh ABCD cân nếu: 
2C sin Ba / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2tan B tan A.tan B; d / 2cosA
2 sin C
= + = + = =
Bài 25: Chứng minh ABCD đều nếu: 
1 3
a / cosA.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cosA cosB cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26: Chứng minh ABCD cân hoặc vuông nếu: 
( ) ( )22
2 2 2 2 2
sin B C sin B CC tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ - 
Bài 27: Hãy nhận dạng ABCD biết: 
2 2 2 sin Aa / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C
cos B
+ + = + + = =
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 
Chú ý : 1) 
A
B
 có nghĩa khi B 0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0 
 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1     
3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
 
          
4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2
2
c x x k c k c k

          
5) Hàm số y = tanx xác định khi 
2
x k

  
 Hàm số y = cotx xác định khi x k 
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x


 3) y = sin 4x  
4) y = cos 2 3 2x x  5) y = 
2
os2xc
 6) y = 2 sinx 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 6 
7) y = 
1 osx
1-sinx
c
 8) y = tan(x + 
4

) 9) y = cot(2x - )
3

10) y = 
1 1
sinx 2 osxc
 
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác 
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx 
 sin
2
(-x) =  
2
sin(-x) = (-sinx)
2
 = sin
2
x 
Phương pháp: Bƣớc 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x    
 Bƣớc 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng 
  

   
     0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 
4) y = 
1
2
tan
2
x 5) y = sin x + x
2 
6) y = cos 3x 
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác 
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2
2 2
k k
  
     
 
 Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 
3
2 ; 2
2 2
k k
  
    
 
 Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng  2 ; 2k k   
 Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng  2 ; 2k k   
 Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ;
2 2
k k
  
     
 
 Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng  ;k k   
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 
1) y = sinx trên ;
6 3
  
 
 
 2) y = cosx trên khoảng 
2 3
;
3 2
  
 
 
3) y = cotx trên khoảng 
3
;
4 2
  
  
 
 4) y = cosx trên đoạn 
13 29
;
3 6
  
 
 
5) y = tanx trên đoạn 
121 239
;
3 6
  
 
 
 6) y = sin2x trên đoạn 
3
;
4 4
  
 
 
7) y = tan3x trên khoảng ;
12 6
  
 
 
 8) y =sin(x + 
3

) trên đoạn 
4 2
;
3 3
  
 
 
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số 
Hàm số 
Khoảng 
3
;
2
 
 
 
 ;
3 3
  
 
 
23 25
;
4 4
  
 
 
362 481
;
3 4
  
  
 
y = sinx 
y = cosx 
y = tanx 
y = cotx 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 7 
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B 
®ång biÕntrªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕntrªn K nÕu A < 0



Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn  ;  
2) y = -2cos 2
3
x
 
 
 
 trên đoạn 
2
;
3 3
  
 
 
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác 
Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1     ; 0  sin
2
 x 1 ; A
2
 + B B 
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1) y = 2sin(x-
2

) + 3 2) y = 3 – 
1
2
cos2x 3) y = -1 - 2os (2x + )
3
c

4) y = 21 os(4x )c - 2 5) y = 2 sinx 3 6) y = 5cos
4
x

 
7) y = 2sin 4sinx + 3x  8) y = 24 3 os 3 1c x  
Chú ý : 
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn  ;a b thì 
   a ;a ;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
bb
m f x f b f x f a  
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn  ;a b thì 
   a ;a ;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
bb
m f x f a f x f b  
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1) y = sinx trên đoạn ;
2 3
  
  
 
 2) y = cosx trên đoạn ;
2 2
  
 
 
3) y = sinx trên đoạn ;0
2
 
 
 
 4) y = cosx trên đoạn 
1 3
;
4 2
 
 
 
C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. 
I:LÍ THUYEÁT . 
1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn . 
sin u = sin v  






2
2
kvu
kvu
 ( k  Z ) 
cos u = cos v  u =  v + k2. ( k  Z ) 
tanu = tanv  u = v + k ( k  Z ) 
cotu = cotv  u = v + k ( k  Z ) 
2/ Phöông trình ñaëc bieät : 
 sinx = 0  x = k , sinx = 1  x =
2

 + k2 ,sinx = -1  x = - 
2

 + k2 
 cosx = 0  x = 
2

 + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 . 
 3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx . 
 Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a
2
 + b
2
  0 
 Caùch 1: acosx + bsinx = c  )cos(.22  xba = c vôùi
22
cos
ba
a

 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 8 
 asinx +bcosx = c  )sin(.22  xba = c vôùi 
22
cos
ba
a

 . 
Caùch 2 : 
 Xeùt phöông trình vôùi x =  + k , k  Z 
 Vôùi x   + k ñaët t = tan
2
x
 ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t : 
 (c + b)t
2
 – 2at + c – a = 0 
Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm  a2 + b2 - c2  0 . 
Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: 
1. 2sincos3  xx , 2. 1sin3cos  xx 
3. xxx 3sin419cos33sin3 3 , 4. 
4
1
)
4
(cossin 44 

xx 
5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx  , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x   
7. 
3(1 cos 2 )
cos
2sin
x
x
x

 8. 2
1
sin 2 sin
2
x x  
 4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc : 
Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông trình coù daïng : f[u(x)] = 0 
 vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. 
 Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 . 
Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1 
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6. x
x 2cos
3
4
cos  
7. 
23 3 2tan
cos
x
x
  8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 
9. 
26sin 3 cos12 4x x  10. 4 24sin 12cos 7x x  
5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx : 
 a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 . 
 Caùch 1 : 
 Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . 
 Xeùt cos 0x  chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx. 
Caùch 2: Thay sin
2
x = 
2
1
(1 – cos 2x ), cos2x = 
2
1
(1+ cos 2x) , 
 sinxcosx = 
2
1
sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x vaø cos2x . 
 b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi 
ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp cos x = 0 hay x = 
2

+ k ,kZ. 
Baøi taäp : 
1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 
2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0 
3. 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4 
4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 9 
5. 2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x   
6/ Phöông trình daïng : a( cosx  sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . 
 Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän 22  t khi ñoù sinxcosx = 
2
12 t
 Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t . 
 Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 
 Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän 22  t khi ñoù sinxcosx = 
2
1 2t
Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 
7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc. 
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 
 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 
 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 = 
xcos
3
 , 6/ 4sin
4
 +12cos
2
x = 7 
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : 
 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx 
 2/ x
x 2cos
3
4
cos  ÑS : x = k3 , x=  
4

 +k3 , x =  
4
5
 +k3 
 3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos 
2
x
sin
2
x = 2cos
2
 ( 
4

2
x
 ) ÑS: sinx =1 v sin
2
x
 = 1 
 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = - 
4

 + k  
 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = 
xcos
1
 ÑS : x = k2 , x =  
3

 +k2 
 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ÑS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1
 7/ 2cos
2 
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x 
 8/ cos 3x – cos 2x = 2 
 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ñaët t = tan
2
x
 10/ sin2x+ 2tanx = 3 
 11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :ñaët t =cos 2x
 12/ tan
3
( x - 
4

 ) = tanx - 1 ÑS : x = k v x = 
4

 + k 
 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx. 
 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ÑS : x = 
4

+ k 
 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 10 
 II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. 
 Giaûi caùc phöông trình sau : 
 1/ sin
2
 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 
 2/ cos
3
x – sin3x = cosx + sinx. 
 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x 
 4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ÑS : x= 
4

+
2
k
 5/ sin
3
(x - 
4

) = 2 sinx ÑS : x = 
4

+k 
 6/ 3cos
4
x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x =  
3

 + k v x= 
4

+
2
k
 7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 . 
 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx 
 III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG . 
 Giaûi caùc phöông trình sau : 
 1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0 
 3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x = 
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 
 5/ sin
3
x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 
3
10
cossin
sin
1
cos
1
 xx
xx
 7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6 
 8/ 
x2sin
2
 + 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 
 9/ 1 + cos
3
x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 
 11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).
IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC KHAÙC . 
 Giaûi caùc phöông trình sau: 
 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 
3/ sin
2
x + sin
2
3x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 
4
1
5/ sin
4
2
x
 + cos
4
2
x
 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4
x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 
9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/ x
x
xx
sin
cos1
sincos



11/ sin
2
)
42
(


x
tan
2
x – cos2
2
x
 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = 
xsin
1
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x ) 
15/ 32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5 


 x
x
xx
x 16/ sin
2
3x – cos24x = sin25x – cos26x 
 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x

  
 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan
2
x
) 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 11 
 20/ cotx – 1 = 2
cos 2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
 

 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = 
D. TOÅ HÔÏP 
Tóm tắt giáo khoa 
I. Quy tắc đếm 
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phƣơng án A và 
B. Phƣơng án A có thể thực hiện bởi n cách; phƣơng án B có thể thực hiện bởi m cách. 
Khi đó, công việc đƣợc thực hiện theo n + m cách. 
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể 
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc đƣợc 
thực hiện bởi n.m cách. 
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 
1. Hoán vị: 
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự 
định trƣớc là một phép hoán vị các phần tử của tập A. 
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n 
2. Chỉnh hợp: 
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k mà 1 k n  . Khi lấy ra k phần tử 
trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trƣớc, ta đƣợc một 
phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. 
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu knA là: 
   
 
k
n
n!
A n. n 1 ... n k 1
n k !
    

. 
3. Tổ hợp: 
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k mà 1 k n  . Một tập hợp con của 
A có k phần tử đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. 
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu knC là:  
   k
n
n n 1 ... n k 1n!
C
k! n k ! k!
  
 

c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: 
 
 
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n




  
   

III. Khai triển nhị thức Newton 
 
n
n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b .. C a b .. C b  

        
Nhận xét: 
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. 
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. 
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. 
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: 
k n k k
k 1 nT C a b

  
– 
0 1 2 n n
n n n nC C C ... C 2     
–    
k n0 1 2 3 k n
n n n n n nC C C C ... 1 C ... 1 C 0          
Chú ý: 
–  
n
n k n k k
n
k 0
a b C a b

  là khai triển theo số mũ của a giảm dần. 
trungtrancbspkt@gmail.com Bài tập Toán khối 11 
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp 12 
–  
n
n k k n k
n
k 0
a b C a b 

  là khai triển theo số mũ của a tăng dần. 
Các Dạng bài toán cơ bản 
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm 
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A 
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. 
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu 
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có