Bài tập Toán Lớp 9 - Vấn đề 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

 VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được
 ax by c
- Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: / / / và Cách giải 
 a x b y c
- Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
B. NỘI DUNG: 
I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
 Giải hệ phương trình bằng phương Giải hệ phương trình bằng phương pháp 
 pháp thế cộng đại số
 3x 2y 4 3x 2(5 2x) 4 3x 2y 4 3x 2y 4 7x 14
 2x y 5 y 5 2x 2x y 5 4x 2y 10 2x y 5
 3x 10 4x 4 7x 14 x 2 x 2
 y 5 2x y 5 2x 2.2 y 5 y 1
 x 2 x 2
 y 5 2.2 y 1
 Vậy hệ phương trình đã cho có Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 
 nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) duy nhất (x;y) = (2;1)
2.- Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
 4x 2y 3 2x 3y 5 3x 4y 2 0 2x 5y 3
 1) 2) 3) 4) 
 6x 3y 5 4x 6y 10 5x 2y 14 3x 2y 14
 x 2
 x 5 (1 3)y 1 0,2x 0,1y 0,3 
 5) 6) 7) y 3
 (1 3)x y 5 1 3x y 5 
 x y 10 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
 1 (3x 2)(2y 3) 6xy 2(x y) 3(x y) 4
 1) 2) 
 (4x 5)(y 5) 4xy (x y) 2(x y) 5
 2y 5x y 27
 5 2x
 (2x 3)(2y 4) 4x(y 3) 54 3 4
 3) 4) 
 (x 1)(3y 3) 3y(x 1) 12 x 1 6y 5x
 y 
 3 7
 1 1
 (x 2)(y 3) xy 50
 2 2 (x 20)(y 1) xy
 5) 6) 
 1 1 (x 10)(y 1) xy
 xy (x 2)(y 2) 32 
 2 2
Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
Bài tập:
 1 1 1 2 1 3x 2
 3 4
 x y 12 x 2y y 2x x 1 y 4
 1) 2) 3) 
 8 15 4 3 2x 5
 1 1 9
 x y x 2y y 2x x 1 y 4
 x 2 y 2 13 3 x 2 y 16 x 4 y 18
 4) 5) 6) 
 2 2 
 3x 2y 6 2 x 3 y 11 3 x y 10
 2(x 2 2x) y 1 0 5 x 1 3 y 2 7
 7) 8) 
 2 2 2
 3(x 2x) 2 y 1 7 2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13
Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
 • Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để 
 được phương trình bậc nhất đối với x
 • Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
 • Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
 i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b
 - Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
 - Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm
 b
 ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ 
 a
phương trình có nghiệm duy nhất.
 2 mx y 2m(1)
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 
 4x my m 6(2)
 Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
 (2m 3)(m 2) 2m 3
 i) Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thì x = 
 m 2 4 m 2
 Khi đó y = - m . Hệ có nghiệm duy nhất: ( 2m 3 ;- m )
 m 2 m 2 m 2
 ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
 iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
 2m 3 m
Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( ;- )
 m 2 m 2
 - Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
 - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
 mx y 3m 1 mx 4y 10 m (m 1)x my 3m 1
1) 2) 3) 
 x my m 1 x my 4 2x y m 5
 x my 3m x my 1 m 2 2x y 3 2m
4) 5) 6) 
 2 2 2
 mx y m 2 mx y 1 m mx y (m 1)
 DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM 
 THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải:
 • Giải hệ phương trình theo tham số
 k
 • Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
 f (m)
 • Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
 3 mx 2y m 1
 2x my 2m 1
 HD Giải:
 mx 2y m 1 2mx 4y 2m 2
 2 2
 2x my 2m 1 2mx m y 2m m
 (m 2 4)y 2m 2 3m 2 (m 2)(2m 1)
 2x my 2m 1
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 2
Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
 (m 2)(2m 1) 2m 1 3
 y 2 
 m 2 4 m 2 m 2
 m 1 3
 x 1 
 m 2 m 2
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1; 1;3; 3
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập: 
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
 (m 1)x 2y m 1
 2 2
 m x y m 2m
Bài 2:
 a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
 2mx (m 1)y m n
 (m 2)x 3ny 2m 3
HD: 
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
 b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là 
 x = 1 và x = -2
HD: 
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
 4 c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết 
cho ax + b thì f(- b ) = 0
 a
 1 a b
 f ( ) 0 3 0
 4 8 4 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
 f ( 3) 0 18a 3b 3 0
 d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng 
 f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD: 
 f (2) 6 4a 2b 2 a 1
 f ( 1) 0 a b 4 b 3
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 
 2a b 1 a 1
 a b 2 b 3
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
 a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là 
 3x 2y 4 x 0,5
nghiệm của hệ phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25)
 x 2y 3 y 1,25
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức 
là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
 5 Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho 
trước
 mx 4y 9
 Cho hệ phương trình: 
 x my 8
 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 2x + y + 38 = 3
 m 2 4
 HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
 8m 9
 y 
 mx 4y 9 mx 4y 9 (m 2 4)y 8m 9 m 2 4
 x my 8 mx m 2 y 8m x my 8 9m 32
 x 
 m 2 4
- Thay x = 9m 32 ; y = 8m 9 vào hệ thức đã cho ta được:
 m 2 4 m 2 4
 9m 32 8m 9 38
 2. + + = 3
 m 2 4 m 2 4 m 2 4
 => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 
 3m2 – 26m + 23 = 0 
 23
 m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
 3
Vậy m = 1 ; m = 23
 3
 6 BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
 mx 4y 10 m
Cho hệ phương trình (m là tham số)
 x my 4
 a) Giải hệ phương trình khi m = 2
 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
 c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho 
 x> 0, y > 0
 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
 (m 1)x my 3m 1
Cho hệ phương trình : 
 2x y m 5
 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
 b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một 
 điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
 c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ 
 nhất.
Bài 3: 
 3x 2y 4
Cho hệ phương trình 
 2x y m
 a) Giải hệ phương trình khi m = 5
 b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
 c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
 mx 4y 9
Cho hệ phương trình: 
 x my 8
 a) Giải hệ phương trình khi m = 1
 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
 c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
 7 Bài 5:
 x my 9
 Cho hệ phương trình: 
 mx 3y 4
 a) Giải hệ phương trình khi m = 3
 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
 c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
 d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 x - 3y = 28 - 3
 m 2 3
Bài 6: 
 mx y 2
Cho hệ phương trình: 
 3x my 5
 a) Giải hệ phương trình khi m 2 .
 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn 
 m 2
hệ thức x y 1 .
 m 2 3
Bài 7: 
 3x my 9
Cho hệ phương trình 
 mx 2y 16
 a) Giải hệ phương trình khi m = 5
 b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
 c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
 d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm 
 nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
 e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
 8