Bất đẳng thức lượng giác - Chương 1: Các bước đầu cơ sở

bxabxaxf −++−+−= 
 Sau khi khai triển ta có : 
( ) ( ) ( )222212211222221 ......2...)( nnnn bbbxbababaxaaaxf +++++++−+++= 
 Mặt khác vì Rxxf ∈∀≥ 0)( nên : 
( ) ( )( ) ⇒++++++≤+++⇔≤∆ 222212222122211 .........0 nnnnf bbbaaabababa ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra 
n
n
b
a
b
a
b
a
===⇔ ...
2
2
1
1
 (quy ước nếu 0=ib thì 0=ia ) 
 Cách 2 : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 9
 Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM ta có : 
 ( )( )222212222122221
2
22
2
2
1
2
......
2
......
nn
ii
n
i
n
i
bbbaaa
ba
bbb
b
aaa
a
++++++
≥
+++
+
+++
 Cho i chạy từ 1 ñến n rồi cộng vế cả n bất ñẳng thức lại ta có ñpcm. 
 ðây cũng là cách chứng minh hết sức ngắn gọn mà bạn ñọc nên ghi nhớ! 
 Bây giờ với sự tiếp sức của BCS, AM – GM như ñược tiếp thêm nguồn sức mạnh, như 
hổ mọc thêm cánh, như rồng mọc thêm vây, phát huy hiệu quả tầm ảnh hưởng của mình. 
Hai bất ñẳng thức này bù ñắp bổ sung hỗ trợ cho nhau trong việc chứng minh bất ñẳng 
thức. Chúng ñã “lưỡng long nhất thể”, “song kiếm hợp bích” công phá thành công nhiều 
bài toán khó. 
 “Trăm nghe không bằng một thấy”, ta hãy xét các ví dụ ñể thấy rõ ñiều này. 
Ví dụ 1.1.2.1. 
 CMR với mọi α,,ba ta có : 
 ( )( )
2
2
1cossincossin 




 +
+≤++ baba αααα 
Lời giải : 
 Ta có : 
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )12cos12sin1
2
1
2
2cos12sin
22
2cos1
coscossinsincossincossin 22
αα
α
α
α
αααααααα
−++++=
+
+
+
+
−
=
+++=++
abbaab
abba
abbaba
 Theo BCS ta có : 
 ( )2cossin 22 BAxBxA +≤+ 
 Áp dụng ( )2 ta có : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )31112cos12sin 2222 ++=−++≤−++ baabbaabba αα 
 Thay ( )3 vào ( )1 ta ñược : 
 ( )( ) ( )( )( ) ( )4111
2
1
cossincossin 22 ++++≤++ baabba αααα 
 Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức sau ñây với mọi a, b : 
 ( )( )( ) ( )5
2
1111
2
1 222





 +
+≤++++ babaab 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 10
 Thật vậy : 
( ) ( )( )
( )( )
2
211
24
111
2
1
22
15
22
22
22
22
++≤++⇔
+
+
+≤++++⇔
baba
abbabaab
( )( ) ( ) ( ) ( )6
2
1111
22
22 +++≤++⇔ baba 
 Theo AM – GM thì ( )6 hiển nhiên ñúng ( )5⇒ ñúng. 
 Từ ( )1 và ( )5 suy ra với mọi α,,ba ta có : 
 ( )( )
2
2
1cossincossin 




 +
+≤++ baba αααα 
 ðẳng thức xảy ra khi xảy ra ñồng thời dấu bằng ở ( )1 và ( )6 
 ( )




∈+
−
+
=
=
⇔





−
+
=
=
⇔





−
=
+
=
⇔
Zkk
ab
ba
arctg
ba
ab
ba
tg
ba
abba
ba
212
1
12cos
1
2sin
22
pi
αα
αα
Ví dụ 1.1.2.2. 
 Cho 0,, >cba và cybxa =+ cossin . CMR : 
 33
222 11sincos
ba
c
bab
y
a
x
+
−+≤+ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )*cossin
11cos1sin1
33
222
33
222
ba
c
b
y
a
x
ba
c
bab
y
a
x
+
≥+⇔
+
−+≤−+−
 Theo BCS thì : 
 ( ) ( )( )2221222122211 bbaababa ++≤+ 
 với 





==
==
bbbaab
b
y
a
a
x
a
21
21
;
cos
;
sin
( ) ( )23322 cossincossin ybxaba
b
y
a
x
+≥+





+⇒ 
 do 033 >+ ba và ( )*cossin ⇒=+ cybxa ñúng ⇒ ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 11
ha
x
y
z
N
Q
P
A
B C
M
 ðẳng thức xảy ra 22
2
2
1
1 cossin
b
y
a
x
b
a
b
a
=⇔=⇔ 






+
=
+
=
⇔




=+
=
⇔
33
2
33
2
22
cos
sin
cossin
cossin
ba
cby
ba
ca
x
cybxa
b
y
a
x
Ví dụ 1.1.2.3. 
 CMR với mọi ABC∆ ta có : 
R
cba
zyx
2
222 ++≤++ 
với zyx ,, là khoảng cách từ ñiểm M bất kỳ nằm bên trong ABC∆ ñến ba cạnh 
ABCABC ,, . 
Lời giải : 
 Ta có : 
( ) 





++++=++⇒
=++⇔
=++⇔
++=
cba
cbacba
abc
ABC
MCA
ABC
MBC
ABC
MAB
MCAMBCMABABC
h
z
h
y
h
xhhhhhh
h
x
h
y
h
z
S
S
S
S
S
S
SSSS
1
1
 Theo BCS thì : 
( )
cba
cba
cba
c
c
b
b
a
a hhhh
z
h
y
h
xhhh
h
zh
h
y
h
h
xhzyx ++=





++++≤++=++ 
mà BahAchCbhCabahS cbaa sin,sin,sinsin2
1
2
1
===⇒== 
( )
R
ca
R
bc
R
abAcCbBahhh cba 222
sinsinsin ++=++=++⇒ 
 Từ ñó suy ra : 
 ⇒
++≤++≤++
R
cba
R
cabcab
zyx
22
222
ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 12
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC
zyx
cba
∆⇔



==
==
ñều và M là tâm nội tiếp ABC∆ . 
Ví dụ 1.1.2.4. 
 Chứng minh rằng : 
 





∈∀≤+
2
;08sincos 4 pixxx 
Lời giải : 
 Áp dụng bất ñẳng thức BCS liên tiếp 2 lần ta có : 
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
4
2222222
2224
8sincos
8sincos1111
sincos11sincos
≤+⇒
=+++≤
++≤+
xx
xx
xxxx
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
4
pi
=x . 
Ví dụ 1.1.2.5. 
 Chứng minh rằng với mọi số thực a và x ta có 
( ) 1
1
cos2sin1
2
2
≤
+
+−
x
axax
Lời giải : 
 Theo BCS ta có : 
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) 1
1
cos2sin1
1cos2sin1
21421
cossin21cos2sin1
2
2
2222
42242
2222222
≤
+
+−
⇔
+≤+−⇒
++=++−=
++−≤+−
x
axaa
xaxax
xxxxx
aaxxaxax
 ⇒ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 13
1.1.3. Bất ñẳng thức Jensen : 
Hàm số )(xfy = liên tục trên ñoạn [ ]ba, và n ñiểm nxxx ,...,, 21 tùy ý trên ñoạn 
[ ]ba, ta có : 
 i) 0)('' >xf trong khoảng ( )ba, thì : 
 




 +++≥+++
n
xxx
nfxfxfxf nn
...)(...)()( 2121 
 ii) 0)('' <xf trong khoảng ( )ba, thì : 
 




 +++≥+++
n
xxx
nfxfxfxf nn
...)(...)()( 2121 
 Bất ñẳng thức AM – GM và bất ñẳng thức BCS thật sự là các ñại gia trong việc chứng 
minh bất ñẳng thức nói chung. Nhưng riêng ñối với chuyên mục bất ñẳng thức lượng giác 
thì ñó lại trở thành sân chơi riêng cho bất ñẳng thức Jensen. Dù có vẻ hơi khó tin nhưng 
ñó là sự thật, ñến 75% bất ñẳng thức lượng giác ta chỉ cần nói “theo bất ñẳng thức 
Jensen hiển nhiên ta có ñpcm”. 
 Trong phát biểu của mình, bất ñẳng thức Jensen có ñề cập ñến ñạo hàm bậc hai, 
nhưng ñó là kiến thức của lớp 12 THPT. Vì vậy nó sẽ không thích hợp cho một số ñối 
tượng bạn ñọc. Cho nên ta sẽ phát biểu bất ñẳng thức Jensen dưới một dạng khác : 
 Cho RRf →+: thỏa mãn +∈∀




 +≥+ Ryxyxfyfxf ,
2
2)()( Khi ñó với mọi 
+∈ Rxxx n,...,, 21 ta có bất ñẳng thức : 
 




 +++≥+++
n
xxx
nfxfxfxf nn
...)(...)()( 2121 
 Sự thật là tác giả chưa từng tiếp xúc với một chứng minh chính thức của bất ñẳng thức 
Jensen trong phát biểu có )('' xf . Còn việc chứng minh phát biểu không sử dụng ñạo 
hàm thì rất ñơn giản. Nó sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy tương tự như khi chứng 
minh bất ñẳng thức AM – GM. Do ñó tác giả sẽ không trình bày chứng minh ở ñây. 
 Ngoài ra, ở một số tài liệu có thể bạn ñọc gặp khái niệm lồi lõm khi nhắc tới bất ñẳng 
thức Jensen. Nhưng hiện nay trong cộng ñồng toán học vẫn chưa quy ước rõ ràng ñâu là 
lồi, ñâu là lõm. Cho nên bạn ñọc không nhất thiết quan tâm ñến ñiều ñó. Khi chứng minh 
ta chỉ cần xét )('' xf là ñủ ñể sử dụng bất ñẳng thức Jensen. Ok! Mặc dù bất ñẳng thức 
Jensen không phải là một bất ñẳng thức chặt, nhưng khi có dấu hiệu manh nha của nó 
thì bạn ñọc cứ tùy nghi sử dụng . 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 14
Ví dụ 1.1.3.1. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có : 
2
33
sinsinsin ≤++ CBA 
Lời giải : 
 Xét xxf sin)( = với ( )pi;0∈x 
 Ta có ( )pi;00sin)('' ∈∀<−= xxxf . Từ ñó theo Jensen thì : 
 ( ) ( ) ( ) ⇒==




 ++≤++
2
33
3
sin3
3
3 piCBAfCfBfAf ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 1.1.3.2. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ñều ta có : 
 3
2
tan
2
tan
2
tan ≥++ CBA 
Lời giải : 
 Xét ( ) xxf tan= với 





∈
2
;0 pix 
 Ta có ( ) 





∈∀>=
2
;00
cos
sin2
'' 3
pi
x
x
x
xf . Từ ñó theo Jensen thì : 
 ⇒==












++
≥





+





+




 3
6
sin3
3
2223
222
pi
CBA
fCfBfAf ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 1.1.3.3. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có : 
21
222222
3
2
tan
2
tan
2
tan −≥





+





+




 CBA
Lời giải : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 15
 Xét ( ) ( ) 22tan xxf = với 





∈
2
;0 pix 
 Ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1221221222 tantan22tantan122' +−− +=+= xxxxxf 
 ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) 0tantan1122tantan112222'' 2222222 >++++−= − xxxxxf 
 Theo Jensen ta có : 
 ⇒=





=












++
≥





+





+





− 21
22
3
6
3
3
2223
222
pi
tg
CBA
fCfBfAf ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 1.1.3.4. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có : 
 3
2
3
2
tan
2
tan
2
tan
2
sin
2
sin
2
sin +≥+++++ CBACBA 
Lời giải : 
 Xét ( ) xxxf tansin += với 





∈
2
;0 pix 
 Ta có ( ) ( ) 





∈∀>−=
2
;00
cos
cos1sin
'' 4
4 pi
x
x
xx
xf 
 Khi ñó theo Jensen thì : 
 ⇒+=





+=












++
≥





+





+




 3
2
3
6
tan
6
sin3
3
2223
222
pipi
CBA
fCfBfAf ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 1.1.3.5. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ nhọn ta có : 
 ( ) ( ) ( ) 2
33
sinsinsin
3
2
sinsinsin 




≥CBA CBA 
Lời giải : 
 Ta có 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 16




++≥++
+=++
CBACBA
CBACBA
222
222
sinsinsinsinsinsin
coscoscos22sinsinsin
 và 
2
33
sinsinsin ≤++ CBA 
2
33
sinsinsin2 ≤++<⇒ CBA 
 Xét ( ) xxxf ln= với ( ]1;0∈x 
 Ta có ( ) 1ln' += xxf 
 ( ) ( ]1;001'' ∈∀>= x
x
xf 
 Bây giờ với Jensen ta ñược : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
33
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
3
2
3
2
3
2
sinsinsin
sinsinsin
3
sinsinsin
sinsinsinln
3
sinsinsinln
sinlnsinlnsinln
3
sinsinsinln
3
sinlnsinsinlnsinsinlnsin
3
sinsinsinln
3
sinsinsin





≥





=≥⇒
≤++⇔
≤













 ++
⇔
++≤




 ++
⇔
++≤




 ++++
++
++
++
++
++
++
++
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBACBA
CBACBA
CBACBA
CCBBAACBaCBA
⇒ñpcm. 
1.1.4. Bất ñẳng thức Chebyshev : 
Với hai dãy số thực ñơn ñiệu cùng chiều naaa ,...,, 21 và nbbb ,...,, 21 thì ta có : 
 ( )( )nnnn bbbaaa
n
bababa ++++++≥+++ ......1... 21212211 
 Theo khả năng của mình thì tác giả rất ít khi sử dụng bất ñẳng thức này. Vì trước hết 
ta cần ñể ý tới chiều của các biến, thường phải sắp lại thứ tự các biến. Do ñó bài toán 
cần có yêu cầu ñối xứng hoàn toàn giữa các biến, việc sắp xếp thứ tự sẽ không làm mất 
tính tổng quát của bài toán. Nhưng không vì thế mà lại phủ nhận tầm ảnh hưởng của bất 
ñẳng thức Chebyshev trong việc chứng minh bất ñẳng thức lượng giác, mặc dù nó có một 
chứng minh hết sức ñơn giản và ngắn gọn. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 17
Chứng minh : 
 Bằng phân tích trực tiếp, ta có ñẳng thức : 
( ) ( )( ) ( )( ) 0.........
1,
21212211 ≥−−=++++++−+++ ∑
=
n
ji
jijinnnn bbaabbbaaabababan 
 Vì hai dãy naaa ,...,, 21 và nbbb ,...,, 21 ñơn ñiệu cùng chiều nên ( )( ) 0≥−− jiji bbaa 
 Nếu 2 dãy naaa ,...,, 21 và nbbb ,...,, 21 ñơn ñiệu ngược chiều thì bất ñẳng thức ñổi 
chiều. 
Ví dụ 1.1.4.1. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có : 
3
pi≥
++
++
cba
cCbBaA
Lời giải : 
 Không mất tính tổng quát giả sử : 
 CBAcba ≤≤⇔≤≤ 
 Theo Chebyshev thì : 
33
333
pi
=
++≥
++
++
⇒
++≤




 ++





 ++
CBA
cba
cCbBaA
cCbBaACBAcba
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 1.1.4.2. 
 Cho ABC∆ không có góc tù và A, B, C ño bằng radian. CMR : 
 ( ) ( ) 





++++≤++
C
C
B
B
A
ACBACBA sinsinsinsinsinsin3 
Lời giải : 
 Xét ( )
x
x
xf sin= với 




∈
2
;0 pix 
 Ta có ( ) ( ) 




∈∀≤−=
2
;00tancos' 2
pi
x
x
xxx
xf 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 18
 Vậy ( )xf nghịch biến trên 





2
;0 pi 
 Không mất tổng quát giả sử : 
C
C
B
B
A
ACBA sinsinsin ≤≤⇒≥≥ 
 Áp dụng bất ñẳng thức Chebyshev ta có : 
 ( ) ( )⇒++≥





++++ CBA
C
C
B
B
A
ACBA sinsinsin3sinsinsin ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 1.1.4.3. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có : 
3
tantantan
coscoscos
sinsinsin CBA
CBA
CBA ≤
++
++
Lời giải : 
 Không mất tổng quát giả sử CBA ≥≥ 



≤≤
≥≥
⇒
CBA
CBA
coscoscos
tantantan
 Áp dụng Chebyshev ta có : 
3
tantantan
coscoscos
sinsinsin
3
costancostancostan
3
coscoscos
3
tantantan
CBA
CBA
CBA
CCBBAACBACBA
++≤
++
++
⇔
++≥




 ++





 ++
 Mà ta lại có CBACBA tantantantantantan =++ 
⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 1.1.4.4. 
 Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta có : 
 ( )
CBA
CBACBA
coscoscos
2sin2sin2sin
2
3
sinsinsin2
++
++≥++ 
Lời giải : 
 Không mất tổng quát giả sử cba ≤≤ 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 19



≥≥
≤≤
⇒
CBA
CBA
coscoscos
sinsinsin
 Khi ñó theo Chebyshev thì : 
( )
CBA
CBACBA
CCBBAACBACBA
coscoscos
2sin2sin2sin
2
3
sinsinsin2
3
cossincossincossin
3
coscoscos
3
sinsinsin
++
++≥++⇔
++≥




 ++





 ++
⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
1.2. Các ñẳng thức bất ñẳng thức trong tam giác : 
 Sau ñây là hầu hết những ñẳng thức, bất ñẳng thức quen thuộc trong tam giác và trong 
lượng giác ñược dùng trong chuyên ñề này hoặc rất cần thiết cho quá trình học toán của 
bạn ñọc. Các bạn có thể dùng phần này như một từ ñiển nhỏ ñể tra cứu khi cần thiết.Hay 
bạn ñọc cũng có thể chứng minh tất cả các kết quả như là bài tập rèn luyện. Ngoài ra tôi 
cũng xin nhắc với bạn ñọc rằng những kiến thức trong phần này khi áp dụng vào bài tập 
ñều cần thiết ñược chứng minh lại. 
1.2.1. ðẳng thức : 
 R
C
c
B
b
A
a 2
sinsinsin
=== 
Cabbac
Bcaacb
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=
AbBac
CaAcb
BcCba
coscos
coscos
coscos
+=
+=
+=
( ) ( ) ( )
( )( )( )cpbpapp
rcprbprap
prCBAR
R
abc
CabBcaAbc
hchbhaS
cba
cba
−−−=
−=−=−=
===
===
===
sinsinsin2
4
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
2
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 20
4
22
4
22
4
22
222
2
222
2
222
2
cba
m
bac
m
acb
m
c
b
a
−+
=
−+
=
−+
=
ba
C
ab
l
ac
B
ca
l
cb
Abc
l
c
b
a
+
=
+
=
+
=
2
cos2
2
cos2
2
cos2
( )
( )
( )
2
sin
2
sin
2
sin4
2
tan
2
tan
2
tan
CBAR
C
cp
Bbp
A
apr
=
−=
−=
−=





 +





 −
=
+
−





 +





 −
=
+
−





 +





 −
=
+
−
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
AC
AC
ac
ac
CB
CB
cb
cb
BA
BA
ba
ba
S
cbaCBA
S
cbaC
S
bacB
S
acbA
4
cotcotcot
4
cot
4
cot
4
cot
222
222
222
222
++
=++
−+
=
−+
=
−+
=
( )( )
( )( )
( )( )
ab
bpapC
ca
apcpB
bc
cpbpA
−−
=
−−
=
−−
=
2
sin
2
sin
2
sin
( )
( )
( )
ab
cppC
ca
bppB
bc
appA
−
=
−
=
−
=
2
cos
2
cos
2
cos
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )cpp
bpapC
bpp
apcpB
app
cpbpA
−
−−
=
−
−−
=
−
−−
=
2
tan
2
tan
2
tan
( )
CBACBA
R
rCBACBA
CBACBA
CBACBA
R
pCBACBA
coscoscos21coscoscos
1
2
sin
2
sin
2
sin41coscoscos
coscoscos12sinsinsin
sinsinsin42sin2sin2sin
2
cos
2
cos
2
cos4sinsinsin
222
222
−=++
+=+=++
+=++
=++
==++
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 21
1cotcotcotcotcotcot
1
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
tantantantantantan
=++
=++
=++
=++
ACCBBA
ACCBBA
CBACBA
CBACBA
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) kCkBkAkCkBkA
kCkBkAkCkBkA
CkBkAkCkBkAk
AkCkCkBkBkAk
kAkCkCkBkBkA
kCkBkAkCkBkA
kCkBkAkCkBkA
CkBkAkCkBkAk
kCkBkAkCkBkA
CkBkAkCkBkAk
k
k
k
k
k
k
coscoscos212sinsinsin
coscoscos211coscoscos
2
12cot
2
12cot
2
12cot
2
12cot
2
12cot
2
12cot
1
2
12tan
2
12tan
2
12tan
2
12tan
2
12tan
2
12tan
1cotcotcotcotcotcot
tantantantantantan
coscoscos4112cos2cos2cos
2
12sin
2
12sin
2
12sin41112cos12cos12cos
sinsinsin412sin2sin2sin
2
12cos
2
12cos
2
12cos4112sin12sin12sin
1222
222
1
+
+
−+=++
−+=++
+++=+++++
=++++++++
=++
=++
−+−=++
+++−+=+++++
−=++
+++−=+++++
1.2.2. Bất ñẳng thức : 
acbac
cbacb
bacba
+<<−
+<<−
+<<−
ACac
CBcb
BAba
≤⇔≤
≤⇔≤
≤⇔≤
3cotcotcot
33tantantan
2
33
sinsinsin
2
3
coscoscos
≥++
≥++
≤++
≤++
CBA
CBA
CBA
CBA
33
2
cot
2
cot
2
cot
3
2
tan
2
tan
2
tan
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
33
2
cos
2
cos
2
cos
≥++
≥++
≤++
≤++
CBA
CBA
CBA
CBA
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 22
1cotcotcot
9tantantan
4
9
sinsinsin
4
3
coscoscos
222
222
222
222
≥++
≥++
≤++
≥++
CBA
CBA
CBA
CBA
2
cot
2
cot
2
cot
1
2
tan
2
tan
2
tan
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
222
222
222
222
CBA
CBA
CBA
CBA
++
≥++
++
++
33
1
cotcotcot
33tantantan
8
33
sinsinsin
8
1
coscoscos
≤
≥
≤
≤
CBA
CBA
CBA
CBA
33
2
cot
2
cot
2
cot
33
1
2
tan
2
tan
2
tan
8
1
2
sin
2
sin
2
sin
8
33
2
cos
2
cos
2
cos
≥
≤
≤
≤
AAA
AAA
CBA
CBA
1.3. Một số ñịnh lý khác : 
1.3.1. ðịnh lý Lagrange : 
 Nếu hàm số ( )xfy = liên tục trên ñoạn [ ]ba ; và có ñạo hàm trên khoảng ( )ba ; 
thì tồn tại 1 ñiểm ( )bac ;∈ sao cho : 
 ( ) ( ) ( )( )abcfafbf −=− ' 
 Nói chung với kiến thức THPT, ta chỉ có công nhận ñịnh lý này mà không chứng minh. 
Ví chứng minh của nó cần ñến một số kiến thức của toán cao cấp. Ta chỉ cần hiểu cách 
dùng nó cùng những ñiều kiện ñi kèm trong các trường hợp chứng minh. 
Ví dụ 1.3.1.1. 
 Chứng minh rằng baRba <∈∀ ,, thì ta có : 
 abab −≤− sinsin 
Lời giải : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 23
 Xét ( ) ( ) xxfxxf cos'sin =⇒= 
 Khi ñó theo ñịnh lý Lagrange ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
abcabab
cabafbfbac
−≤−≤−⇒
−=−∈∃
cossinsin
cos:;
 : 
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 1.3.1.2. 
 Với ba <<0 . CMR : 
a
ab
a
b
b
ab −
<<
− ln 
Lời giải : 
 Xét ( ) xxf ln= , khi ñó ( )xf liên tục trên [ ]ba ; khả vi trên ( )ba ; nên : 
 ( ) ( )
c
cf
ab
abbac 1'lnln:; ==
−
−
∈∃ vì bca << nên 
acb
111
<< 
 Từ ñó ⇒−<<−⇒<
−
−
<
a
ab
a
b
b
ab
aab
ab
b
ln1lnln1 ñpcm. 
Ví dụ 1.3.1.3. 
 Cho 
2
0 piαβ <<< . CMR : 
α
βαβαβ
βα
22 cos
tantan
cos
−
<−<
−
Lời giải : 
 Xét ( ) xxf tan= liên tục trên [ ]αβ ; khả vi trên ( )αβ ; nên theo ñịnh lý Lagrange 
( ) ( ) ( ) ( )