Bất đẳng thức lượng giác - Chương 2: Các phương pháp chứng minh

BAC
ACACB
CBCBA
coscossinsincos
coscossinsincos
coscossinsincos
−=
−=
−=
 nên : 
 ( ) ( )2
4
3
coscoscoscoscoscos1 ≤++⇔ ACCBBA 
 Thật vậy hiển nhiên ta có : 
 ( ) ( )3coscoscos
3
1
coscoscoscoscoscos
2CBAACCBBA ++≤++ 
 Mặt khác ta có : 
2
3
coscoscos ≤++ CBA 
 ( )3⇒ ñúng ( )2⇒ ñúng ⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 2.2.3. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
 1
coscos4cos21
1
coscos4cos21
1
coscos4cos21
1 ≥
++
+
++
+
++ ACCCBBBAA
Lời giải : 
 ðặt vế trái bất ñẳng thức cần chứng minh là T. 
 Theo AM – GM ta có : 
 ( ) ( )[ ] ( )19coscoscoscoscoscos4coscoscos23 ≥++++++ ACCBBACBAT 
 mà : 
2
3
coscoscos ≤++ CBA 
 và hiển nhiên : ( )
4
3
3
coscoscos
coscoscoscoscoscos
2
≤++≤++ CBAACCBBA 
 ( ) ( ) ( )29coscoscoscoscoscos4coscoscos23 ≤++++++⇒ ACCBBACBA 
 Từ ( ) ( )2,1 suy ra ⇒≥ 1T ñpcm. 
Ví dụ 2.2.4. 
 CMR với mọi ABC∆ bất kỳ, ta có : 
 ( ) ( ) ( )222222 34 accbbaScba −+−+−+≥++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 41 
 ( ) ( )1342 222 cbaScabcab +++≥++ 
 Ta có : 
S
cbaC
S
bacB
S
acbA
4
cot
4
cot
4
cot
222
222
222
−+
=
−+
=
−+
=
 Khi ñó : 
( ) ( )
3
2
tan
2
tan
2
tan
3cot
sin
1
cot
sin
1
cot
sin
1
cotcotcot434
sin
1
sin
1
sin
141
≥++⇔
≥





−+





−+





−⇔
+++≥





++⇔
CBA
C
C
B
B
A
A
CBASS
CBA
S
 ⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Ví dụ 2.2.5. 
 CMR trong mọi tam giác, ta có : 
R
rACCBBA
48
5
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin +≤++ 
Lời giải : 
 Áp dụng công thức : 
2
sin
2
sin
2
sin4 CBARr = , ta ñưa bất ñẳng thức ñã cho về dạng 
tương ñương sau : 
 ( )1
8
5
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin ≤−++ CBAACCBBA 
 Ta có : 
2
sin
2
sin
2
sin41coscoscos CBACBA +=++ 
 Do ñó : 
 ( ) ( ) ( )2
8
51coscoscos
4
1
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin1 ≤−++−++⇔ CBAACCBBA 
 Theo AM – GM, ta có : 
2
sin
2
sin2
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin2
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos BA
A
B
B
A
BA
A
B
B
A
≥












+⇒≥+ 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 42 
 





+≤⇒
2
tansin
2
tansin
2
1
2
sin
2
sin2 ABBABA 
 Tương tự ta có : 






+≤






+≤
2
tansin
2
tansin
2
1
2
sin
2
sin2
2
tansin
2
tansin
2
1
2
sin
2
sin2
CAACAC
BCCBCB
 Từ ñó suy ra : 
( ) ( ) ( )



+++++≤
≤





++
BACACBCBA
ACCBBA
sinsin
2
tansinsin
2
tansinsin
2
tan
2
1
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin2
 





++≥++⇒
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin2coscoscos ACCBBACBA 
 Khi ñó : 
( )
( ) ( ) ( )
4
1
coscoscos
4
11coscoscos
4
1
coscoscos
2
1
1coscoscos
4
1
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
=++=−++−++≤
≤−++−++
CBACBACBA
CBAACCBBA
 mà 
2
3
coscoscos ≤++ CBA 
 ( )
8
51coscoscos
4
1
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin ≤−++−++⇒ CBAACCBBA 
 ( )2⇒ ñúng⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.2.6. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
2
tan
2
tan
2
tancotcotcot
2223222
CBA
cba
CBA
cba ≤





++
++
Lời giải : 
 Ta có : 
 S
CBA
cba 4
cotcotcot
222
=
++
++
 nên bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 43 
 ( )1
2
tan
2
tan
2
tan
64
222
3
CBA
cbaS ≤ 
 Mặt khác ta cũng có : 
2
sin4
cos22cos2
22
2222
Abca
AbcbcaAbccba
≥⇒
−≥⇒−+=
 SAbc
A
Abc
A
a 4sin2
2
tan
2
sin4
2
tan
2
2
==≥⇒ 
 Tương tự ta cũng có : 
 SC
cS
B
b 4
2
tan
;4
2
tan
22
≥≥ 
 ( )1⇒ ñúng ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.2.7. 
 CMR trong mọi tam giác ta có : 
 ( ) ( ) ( ) 3cos1cos1cos1 ≤−+++−+++−++ CabbaBcaacAbccb 
Lời giải : 
 Ta có vế trái của bất ñẳng thức cần chứng minh bằng : 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )BcaAbcCabCbaBacAcbCBA coscoscoscoscoscoscoscoscos ++−++++++++ 
 ðặt : 
 ( ) ( ) ( )
BcaAbcCabR
CbaBacAcbQ
CBAP
coscoscos
coscoscos
coscoscos
++=
+++++=
++=
 Dễ thấy 
2
3≤P 
 Mặt khác ta có : 
 ( ) ( ) aARCBRBCCBRBcCb ==+=+=+ sin2sin2cossincossin2coscos 
 Tương tự : 
cbaQ
cAbBa
bCaAc
++=⇒
=+
=+
coscos
coscos
 Và ta lại có : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 44 
2
222
coscoscos
222
222222222
cbaR
bacacbcbaBcaAbcCab
++
=⇒
−+
+
−+
+
−+
=++
 ( ) ( ) ( ) ( ) 3
3
1113
22
3 222222 ≤−+−+−−=++−+++≤++⇒ cbacbacbaRQP 
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.2.8. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
 SrR 4 3≥+ 
Lời giải : 
 Ta có : 
( ) CBA
CBA
CBAR
S
p
S
r
CBA
SCBAR
S
abcR
sinsinsin
sinsinsin28
sinsinsin
sinsinsin28
sinsinsin2
4
3
++
=
++
==
===
 Vậy : 
CBA
CBA
CBA
S
CBA
S
rR
sinsinsin
sinsinsin28
sinsinsin22
1
sinsinsin22
1
++
++=+ 
 Theo AM – GM ta có : 
 ( )3 sinsinsinsinsinsin8
sinsinsin
3 CBACBA
CBASSrR
++
≥+ 
mà : 
8
33
sinsinsin
2
33
sinsinsin
≤
≤++
CBA
CBA
⇒=≥+⇒ SSSrR 43
4
3
33.274
4
ñpcm. 
Ví dụ 2.2.9. 
 CMR trong mọi tam giác ta có : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 45 
22
3
8
23
8





≥
+
+
+
+
+
≥





R
S
ac
caca
cb
bcbc
ba
abab
r
S
Lời giải : 
 Theo AM – GM ta có : 
2
cabcab
ac
caca
cb
bcbc
ba
abab ++≤
+
+
+
+
+
 Do ( )
623
8 22 cba
r
SprS ++=





⇒= 
 Lại có : 
( )
62
2
cbacabcab ++≤++ 
 ⇒
+
+
+
+
+
≥





⇒
ac
caca
cb
bcbc
ba
abab
r
S 2
23
8
vế trái ñược chứng minh xong. 
 Ta có : 
( )
33
2
33
sinsinsin
sinsinsin2
Rcba
CBA
CBARcba
≤++⇒
≤++
++=++
 Theo AM – GM ta có : 
 ( )( ) ( )( ) ( )( )
8
2 abcpapcpcpbpbpappS ≤−−−−−−= 
 ( ) ( ) ( )accbba
abc
cba
abc
cba
abcp
R
S
+++++
=
++
⋅=





 ++
⋅≤





⇒
9
2
9
33
8
3
8
3
8
2
2
 Một lần nữa theo AM – GM ta có : 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ac
caca
cb
bcbc
ba
abab
accbba
abc
accbba
abc
+
+
+
+
+
≤
+++
≤
+++++ 3.3
99
 ⇒vế phải chứng minh xong⇒Bất ñẳng thức ñược chứng minh hoàn toàn. 
Ví dụ 2.2.10. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
4
2
8
2
8
2
8
3
6
2
cos
2
cos
2
cos








≥++
R
abc
C
c
B
b
A
a
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 46 
Lời giải : 
 Áp dụng BCS ta có : 
( )
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos 222
2444
2
8
2
8
2
8
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
++
++≥++ 
 mà : 
( )224
222
16
4
9
2
cos
2
cos
2
cos
S
R
abc
CBA
=





≤++
 Vì thế ta chỉ cần chứng minh : 2444 16Scba ≥++ 
 Trước hết ra có : ( ) ( )1444 cbaabccba ++≥++ 
 Thật vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 01 222222 ≥−+−+−⇔ abcccabbbcaa 
 ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) 0222222222 ≥−+++−+++−++⇔ babacacacbcbcba (ñúng!) 
 Mặt khác ta cũng có : 
 ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )21616 2 bacacbcbacbacpbpappS −+−+−+++=−−−= 
 Từ ( ) ( )2,1 thì suy ra ta phải chứng minh : ( )( )( ) ( )3bacacbcbaabc −+−+−+≥ 
 ðặt : 
bacz
acby
cbax
−+=
−+=
−+=
 vì cba ,, là ba cạnh của một tam giác nên 0,, >zyx 
 Khi ñó theo AM – GM thì : 
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )bacacbcbaxyzzxyzxyxzzyyxabc −+−+−+==≥+++=
8
222
8
 ( )3⇒ ñúng ⇒ñpcm. 
2.3 ðưa về vector và tích vô hướng : 
 Phương pháp này luôn ñưa ra cho bạn ñọc những lời giải bất ngờ và thú vị. Nó ñặc 
trưng cho sự kết hợp hoàn giữa ñại số và hình học. Những tính chất của vector lại mang 
ñến lời giải thật sáng sủa và ñẹp mắt. Nhưng số lượng các bài toán của phương pháp này 
không nhiều. 
Ví dụ 2.3.1. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 47 
A
B C
e
e
e
1
2
3
O
A
B C
 CMR trong mọi tam giác ta có : 
2
3
coscoscos ≤++ CBA 
Lời giải : 
 Lấy các vector ñơn vị 321 ,, eee lần lượt trên các cạnh CABCAB ,, . 
 Hiển nhiên ta có : 
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
3
coscoscos
0coscoscos23
0,cos2,cos2,cos23
0
133221
2
321
≤++⇔
≥++−⇔
≥+++⇔
≥++
CBA
CBA
eeeeee
eee
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.3.2. 
 Cho ABC∆ nhọn. CMR : 
2
32cos2cos2cos −≥++ CBA 
Lời giải : 
 Gọi O, G lần lượt là tâm ñường tròn ngoại tiếp và trọng tâm ABC∆ . 
 Ta có : OGOCOBOA 3=++ 
 Hiển nhiên : 
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )
2
32cos2cos2cos
02cos2cos2cos23
0,cos,cos,cos23
0
22
22
2
−≥++⇔
≥+++⇔
≥+++⇔
≥++
CBA
BACRR
OAOCOCOBOBOARR
OCOBOA
⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra ABCGOOGOCOBOA ∆⇔≡⇔=⇔=++⇔ 00 ñều. 
Ví dụ 2.3.3. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 48 
O
A
B C
 Cho ABC∆ nhọn. CMR Rzyx ∈∀ ,, ta có : 
 ( )222
2
12cos2cos2cos zyxCxyBzxAyz ++−≥++ 
Lời giải : 
 Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ . 
 Ta có : 
( )
( )222
222
222
2
2
12cos2cos2cos
02cos22cos22cos2
0.2.2.2
0
zyxCxyBzxAyz
BzxAyzCxyzyx
OAOCzxOCOByzOBOAxyzyx
OCzOByOAx
++−≥++⇔
≥+++++⇔
≥+++++⇔
≥++
⇒ñpcm. 
2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển : 
 Về nội dung cũng như cách thức sử dụng các bất ñẳng thức chúng ta ñã bàn ở chương 
1: “Các bước ñầu cơ sở”. Vì thế ở phần này, ta sẽ không nhắc lại mà xét thêm một số ví 
dụ phức tạp hơn, thú vị hơn. 
Ví dụ 2.4.1. 
 CMR ABC∆∀ ta có : 
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥





++





++
CBACBA
Lời giải : 
 Theo AM – GM ta có : 
3
2
sin
2
sin
2
sin
3
2
sin
2
sin
2
sin CBA
CBA
≥
++
 Mặt khác : 
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot CBA
CBA
CBACBA
==++ 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 49 
( )
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
3
2
sin
2
sin
2
sin2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
sinsinsin
4
1
3
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
⋅≥
++
=
++
=
 Suy ra : 
( )1
2
cot
2
cot
2
cot
2
9
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBA
CBACBA
=
⋅≥
≥





++





++
 mà ta cũng có : 33
2
cot
2
cot
2
cot ≥CBA 
( )2
2
3933
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
9 33 =⋅≥⋅⇒ CBA 
 Từ ( )1 và ( )2 : 
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥





++





++⇒
CBACBA
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.4.2. 
 Cho ABC∆ nhọn. CMR : 
 ( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA 
Lời giải : 
 Vì ABC∆ nhọn nên CBACBA tan,tan,tan,cos,cos,cos ñều dương. 
 Theo AM – GM ta có : 3 coscoscos
3
coscoscos CBACBA ≥++ 
CBA
CBACBACBA
coscoscos
sinsinsin
tantantantantantan ==++ 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 50 
( )
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
coscoscos2
cossincossincossin
2
3
coscoscos2
cossincossincossin
coscoscos
2sin2sin2sin
4
1
3
⋅≥
++
=
++
=
 Suy ra : 
( )( )
( )1tantantan
2
9
coscoscos
cossincossincossincoscoscos
2
9
tantantancoscoscos
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBACBACBA
=
⋅≥++++
 Mặt khác : 33tantantan ≥CBA 
 ( )2
2
3933
2
9
tantantan
2
9 33
=⋅≥⋅⇒ CBA 
 Từ ( )1 và ( )2 suy ra : 
 ( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA 
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.4.3. 
 Cho ABC∆ tùy ý. CMR : 
 34
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan ≥












++












++












+ C
C
B
B
A
A
Lời giải : 
 Xét ( ) 





∈∀=
2
;0tan pixxxf 
 Khi ñó : ( ) =xf '' 
 Theo Jensen thì : ( )13
2
tan
2
tan
2
tan ≥++ CBA 
 Xét ( ) 





∈∀=
2
;0cot pixxxg 
 Và ( ) ( ) 





∈∀>+=
2
;00cotcot12'' 2 pixxxxg 
 Theo Jensen thì : ( )233
2
cot
2
cot
2
cot ≥++ CBA 
 Vậy ( ) ( )⇒+ 21 ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 51 
Ví dụ 2.4.4. 
 CMR trong mọi tam giác ta có : 
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11 





+≥





+





+





+
CBA
Lời giải : 
 Ta sử dụng bổ ñề sau : 
Bổ ñề : Cho 0,, >zyx và Szyx ≤++ thì : 
( )121111111
3






+≥





+





+





+
Szyx
Chứng minh bổ ñề : 
 Ta có : 
 ( ) ( )2111111111
xyzzxyzxyzyx
VT +





+++





+++= 
 Theo AM – GM ta có : 
 ( )399111
Szyxzyx
≥
++
≥++ 
 Dấu bằng xảy ra trong ( )
3
3 Szyx ===⇔ 
 Tiếp tục theo AM –GM thì : 
33 xyzzyxS ≥++≥ 
 ( )4271
27 3
3
Sxyz
xyzS ≥⇒≥⇒ 
 Dấu bằng trong ( )4 xảy ra 
3
S
zyx ===⇔ 
 Vẫn theo AM – GM ta lại có : 
( )513111 3
2






≥++
xyzzxyzxy
 Dấu bằng trong ( )5 xảy ra 
3
S
zyx ===⇔ 
 Từ ( )( )54 suy ra : 
 ( )627111 2Szxyzxy ≥++ 
 Dấu bằng trong ( )6 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )
3
54 Szyx ===⇔ 
 Từ ( )( )( )( )6432 ta có : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 52 
 ( )
3
32
312727911 





+=+++≥
SSSS
VT 
 Bổ ñề ñược chứng minh. Dấu bằng xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )( )643 
3
S
zyx ===⇔ 
 Áp dụng với 0sin,0sin,0sin >=>=>= CzByAx 
 mà ta có 
2
33
sinsinsin ≤++ CBA vậy ở ñây 
2
33
=S 
 Theo bổ ñề suy ra ngay : 
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11 





+≥





+





+





+
CBA
 Dấu bằng xảy ra 
2
3
sinsinsin ===⇔ CBA 
 ABC∆⇔ ñều. 
Ví dụ 2.4.5. 
 CMR trong mọi tam giác ta có : 
 3plll cba ≤++ 
Lời giải : 
 Ta có : ( ) ( ) ( )1222
cos2
app
cb
bc
bc
app
cb
bc
cb
Abc
la −+
=
−
+
=
+
= 
 Theo AM – GM ta có 12 ≤
+ cb
bc
 nên từ ( )1 suy ra : 
( ) ( )2appla −≤ 
 Dấu bằng trong ( )2 xảy ra cb =⇔ 
 Hoàn toàn tương tự ta có : 
( ) ( )
( ) ( )4
3
cppl
bppl
c
b
−≤
−≤
 Dấu bằng trong ( )( )43 tương ứng xảy ra cba ==⇔ 
 Từ ( )( )( )432 suy ra : 
( ) ( )5cpbpapplll cba −+−+−≤++ 
 Dấu bằng trong ( )5 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )( ) cba ==⇔432 
 Áp dụng BCS ta có : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 53 
( ) ( )
( )63
33
2
pcpbpap
cbapcpbpap
≤−+−+−⇒
−−−≤−+−+−
 Dấu bằng trong ( )6 xảy ra cba ==⇔ 
 Từ ( )( )65 ta có : ( )73plll cba ≤++ 
 ðẳng thức trong ( )7 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( ) cba ==⇔65 
ABC∆⇔ ñều. 
Ví dụ 2.4.6. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
R
r
abc
cba 24
333
−≥++ 
Lời giải : 
 Ta có : ( )( )( )cpbpapppr
R
abcS −−−===
4
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
abc
abccbacaacbccbabba
abc
cbabacacb
abc
cpbpap
pabc
cpbpapp
pabc
S
R
r
2
222222882
333222222
2
−−−−+++++
=
−+−+−+
=
−−−
=
−−−
==⇒
abc
cba
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
abc
cba
R
r
333333
624 ++≤





+++++−+
++
=−⇒ 
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.4.7. 
 Cho ABC∆ nhọn. CMR : 
 abcb
A
a
C
c
a
C
c
B
b
c
B
b
A
a 27
coscoscoscoscoscos
≥





−+





−+





−+ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
CBAB
A
A
C
CA
C
C
B
BC
B
B
A
A
sinsinsin27sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin ≥





−+





−+





−+
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 54 
27
coscos
coscos1
coscos
coscos1
coscos
coscos1
sinsinsin27sin
coscos
sin
sin
coscos
sin
sin
coscos
sin
≥−⋅−⋅−⇔
≥





−





−





−⇔
AC
AC
CB
CB
BA
BA
CBAB
AC
BA
CB
AC
BA
C
 ðặt 









+
−
=
+
−
=
+
−
=
⇒










<<
=
=
=
2
2
2
2
2
2
1
1
cos
1
1
cos
1
1
cos
1,,0
2
tan
2
tan
2
tan
z
zC
y
yB
x
xA
zyx
C
z
By
A
x
 và 









−
=
−
=
−
=
2
2
2
1
2
tan
1
2
tan
1
2
tan
z
zC
y
yB
x
xA
 Ta có : 
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )22
22
22
22
22
22
11
2
11
11
11
111
coscos
coscos1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
BA
BA
−−
+
=
++
−−
++
−−
−
=
−
 Mặt khác ta có : xyyx 222 ≥+ 
 ( )1tantan
1
2
1
2
coscos
coscos1
22 BAy
y
x
x
BA
BA
=
−
⋅
−
≥−⇒ 
 Tương tự : ( )2tantan
coscos
coscos1 CB
CB
CB ≥− 
 ( )3tantan
coscos
coscos1 AC
AC
AC ≥− 
 Nhân vế theo vế ba bất ñẳng thức ( )( )( )321 ta ñược : 
 CBA
AC
AC
CB
CB
BA
BA 222 tantantan
coscos
coscos1
coscos
coscos1
coscos
coscos1 ≥−⋅−⋅− 
 Ta ñã biết : 27tantantan33tantantan 222 ≥⇒≥ CBACBA 
 Suy ra : 
 27
coscos
coscos1
coscos
coscos1
coscos
coscos1 ≥−⋅−⋅−
AC
AC
CB
CB
BA
BA
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.4.8. 
 CMR ABC∆∀ ta có : 
 





+≥++
p
abcpcba 2222
35
36
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 55 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương dương với : 
( )
( ) ( )
cba
abc
cbacba
cba
abccba
cba
++
+++≥++⇔








++
+
++≥++
72935
2
435
36
2222
2
222
 Theo BCS thì : ( ) ( )2222 3 cbacba ++≤++ 
 ( ) ( ) ( )1279 2222 cbacba ++≤++⇒ 
 Lại có : 






≥++
≥++
3 222
222
3
3
3
cbacba
abccba
( )( )
( )( )
( ) ( )2728
728
9
222
222
222
cba
abc
cba
abccbacba
abccbacba
++
≥++⇔
≥++++⇔
≥++++⇒
 Lấy ( )1 cộng ( )2 ta ñược : 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
cba
abc
cbacba
cba
abc
cbacbacba
++
+++≥++⇔
++
+++≥+++++
72935
729827
2222
2222222
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.4.9. 
 CMR trong ABC∆ ta có : 
 6
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
≥
−
+
−
+
−
C
BA
B
AC
A
CB
Lời giải : 
 Theo AM – GM ta có : 
( )1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
3
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
3 C
BA
B
AC
A
CB
C
BA
B
AC
A
CB −
⋅
−
⋅
−
≥
−
+
−
+
−
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 56 
mà : 
( )( )( )
CBA
BAACCB
CC
BABA
BB
ACAC
AA
CBCB
C
BA
B
AC
A
CB
sinsinsin
sinsinsinsinsinsin
2
sin
2
cos2
2
cos
2
sin2
2
sin
2
cos2
2
cos
2
sin2
2
sin
2
cos2
2
cos
2
sin2
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
+++
=
−+
⋅
−+
⋅
−+
=
−
⋅
−
⋅
−
 Lại theo AM – GM ta có : 






≥+
≥+
≥+
ACAC
CBCB
BABA
sinsin2sinsin
sinsin2sinsin
sinsin2sinsin
( )( )( )
( )( )( ) ( )28
sinsinsin
sinsinsinsinsinsin
sinsinsin8sinsinsinsinsinsin
≥+++⇒
≥+++⇒
CBA
BAACCB
CBABAACCB
 Từ ( )( )21 suy ra : 
 683
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
3
=≥
−
+
−
+
−
C
BA
B
AC
A
CB
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.4.10. 
 CMR trong mọi ABC∆ ta có : 
2
9sinsinsinsinsinsin 




≥++
R
rACCBBA 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
2
2
2
36
9
222222
9sinsinsinsinsinsin
rcabcab
r
accbba
rACRCBRBAR
≥++⇔
≥⋅+⋅+⋅⇔
≥++
 Theo cô