Bất đẳng thức lượng giác - Chương 3: Áp dụng vào một số vấn đề khác

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 66 
Chương 3 : 
Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
“Có học thì phải có hành” 
 Sau khi ñã xem xét các bất ñẳng thức lượng giác cùng các phương pháp chứng minh 
thì ta phải biết vận dụng những kết quả ñó vào các vấn ñề khác. 
 Trong các chương trước ta có các ví dụ về bất ñẳng thức lượng giác mà dấu bằng 
thường xảy ra ở trường hợp ñặc biệt : tam giác ñều, cân hay vuông Vì thế lại phát sinh 
ra một dạng bài mới : ñịnh tính tam giác dựa vào ñiều kiện cho trước. 
 Mặt khác với những kết quả của các chương trước ta cũng có thể dẫn ñến dạng toán 
tìm cực trị lượng giác nhờ bất ñẳng thức. Dạng bài này rất hay : kết quả ñược “giấu” ñi, 
bắt buộc người làm phải tự “mò mẫm” ñi tìm ñáp án cho riêng mình. Công việc ñó thật 
thú vị ! Và tất nhiên muốn giải quyết tốt vấn ñề này thì ta cần có một “vốn” bất ñẳng thức 
“kha khá”. 
 Bây giờ chúng ta sẽ cùng kiểm tra hiệu quả của các bất ñẳng thức lượng giác trong 
chương 3 : “Áp dụng vào một số vấn ñề khác” 
 Mục lục : 
 3.1. ðịnh tính tam giác67 
 3.1.1. Tam giác ñều..67 
 3.1.2. Tam giác cân..70 
 3.1.3. Tam giác vuông..72 
 3.2. Cực trị lượng giác.....73 
 3.3. Bài tập...76 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 67 
3.1. ðịnh tính tam giác : 
3.1.1. Tam giác ñều : 
 Tam giác ñều có thể nói là tam giác ñẹp nhất trong các tam giác. Ở nó ta có ñược sự 
ñồng nhất giữa các tính chất của các ñường cao, ñường trung tuyến, ñường phân giác, 
tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp tam giác  Và các dữ kiện ñó lại cũng trùng 
hợp với ñiều kiện xảy ra dấu bằng ở các bất ñẳng thức lượng giác ñối xứng trong tam 
giác. Do ñó sau khi giải ñược các bất ñẳng thức lượng giác thì ta cần phải nghĩ ñến việc 
vận dụng nó trở thành một phương pháp khi nhận dạng tam giác ñều. 
Ví dụ 3.1.1.1. 
 CMR ABC∆ ñều khi thỏa : Rmmm cba 2
9
=++ 
Lời giải : 
 Theo BCS ta có : 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )CBARmmm
cbammm
mmmmmm
cba
cba
cbacba
22222
2222
2222
sinsinsin9
4
9
3
++≤++⇔
++≤++⇔
++≤++
mà : 
4
9
sinsinsin 222 ≤++ CBA 
( )
Rmmm
RRmmm
cba
cba
2
9
4
81
4
99 222
≤++⇒
=⋅≤++⇒
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều ⇒ñpcm. 
Ví dụ 3.1.1.2. 
 CMR nếu thỏa 
c
abBA
42
sin
2
sin = thì ABC∆ ñều. 
Lời giải : 
 Ta có : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 68 
( )
2
cos8
1
2
sin8
2
cos
2
cos
2
sin2.8.2
2
cos
2
sin2.2
sin8.2
sinsin2
84 BAC
BA
CCR
BABAR
CR
BAR
c
ba
c
ab
+
≤
−
=
−+
=
+
=
+≤ 
0
2
sin
2
cos
2
cos2
01
2
cos
2
cos4
2
cos4
01
2
cos
2
cos
2
cos4
1
2
sin
2
sin
2
cos8
2
cos8
1
2
sin
2
sin
2
2
2
≥−+




 −
−
+
⇔
≥+−+−+⇔
≤−




 +
−
−+
⇔
≤+⇔
+
≤⇒
BABABA
BABABA
BABABA
BABA
BA
BA
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 3.1.1.3. 
 CMR ABC∆ ñều khi nó thỏa : ( ) ( ) 32 cbahhh cba ++=++ 
Lời giải : 
 ðiều kiện ñề bài tương ñương với : 
( )
2
3
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
2
3
32.2
=
+
+
+
+
+
⇔
=++⇔
++=





++
ACCBBA
c
r
b
r
a
r
cba
c
r
b
r
a
rp
 Mặt khác ta có : 
 





+=












+≤
+ 2
tan
2
tan
4
1
2
cot
1
2
cot
1
4
1
2
cot
2
cot
1 BA
BABA
 Tương tự : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 69 






+≤
+






+≤
+
2
tan
2
tan
4
1
2
cot
2
cot
1
2
tan
2
tan
4
1
2
cot
2
cot
1
AC
AC
CB
CB
3
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
1
2
3
2
tan
2
tan
2
tan
2
1
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
≥++⇔





++≤⇒






++≤
+
+
+
+
+
⇒
CBACBA
CBA
ACCBBA
⇒ñpcm. 
Ví dụ 3.1.1.4. 
 CMR nếu thỏa 
2
33RrS = thì ABC∆ ñều. 
Lời giải : 
 Ta có : 
RrRr
CBARrCBARCBAR
CBACBARCBARS
2
33
8
334
2
cos
2
cos
2
cos4
2
cos
2
cos
2
cos4
2
sin
2
sin
2
sin4
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin.2.2.2.2sinsinsin2 22
=≤
==
==
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 3.1.1.5. 
 CMR ABC∆ ñều khi nó thỏa pSmmm cba = 
Lời giải : 
 Ta có : 
( ) ( ) ( )
2
coscos1
2
1
cos2
4
122
4
1 2222222 AbcAbcAbccbacbma =+≥++=−+= 
mà : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 70 
( ) ( )
( )appm
bc
app
bc
acb
bc
bcacbA
bc
acbA
bc
acbA
a −≥⇒
−
=
−+
=
+−+
=⇒
−+
=−⇒
−+
=
44
2
cos
2
1
2
cos2
2
cos
22222
2
222
2
222
 Tương tự : 
( )
( )
( )( )( ) pScpbpapppmmm
cppm
bppm
cba
c
b
=−−−≥⇒




−≥
−≥
 ⇒ñpcm. 
3.1.2. Tam giác cân : 
 Sau tam giác ñều thì tam giác cân cũng ñẹp không kém. Và ở ñây thì chúng ta sẽ xét 
những bất ñẳng thức có dấu bằng xảy ra khi hai biến bằng nhau và khác biến thứ ba. Ví 
dụ 
3
2
;
6
pipi
=== CBA . Vì thế nó khó hơn trường hợp xác ñịnh tam giác ñều. 
Ví dụ 3.1.2.1. 
 CMR ABC∆ cân khi nó thỏa ñiều kiện 
2
tan2tantan 222 BABA +=+ và nhọn. 
Lời giải : 
 Ta có : ( ) ( )( ) ( ) ( ) CBA
C
BABA
BA
BA
BABA
coscos
sin2
coscos
sin2
coscos
sin
tantan
−−
=
−++
+
=
+
=+ 
 vì ( ) ( )
2
sin2cos1coscos1cos 2 CCCBABA =−≤−−⇒≤− 
( )
2
tan2tantan
2
tan2
2
cot2
2
sin2
2
cos
2
sin4
2
sin2
sin2
coscos
sin2
22
BABA
BAC
C
CC
C
C
CBA
C
+≥+⇒
+
===≥
−−
⇒
 Từ giả thiết : 
2
222
2
tantan2
2
tan2tantan 




 +≤+=+ BABABA 
 ( ) BABABA tantan2tantantantan2 2222 ++≤+⇔ 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 71 
( )
BA
BA
BA
=⇔
=⇔
≤−⇔
tantan
0tantan 2
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 3.1.2.2. 
 CMR ABC∆ cân khi thỏa 
2
cos
Abcha = 
Lời giải : 
 Trong mọi tam giác ta luôn có : 
2
cos
2 A
cb
bclh aa +
=≤ 
mà bc
bc
bc
cb
bcbccb =≤
+
⇒≥+ 22 
2
cos
2
cos
2
cos
2 AbchAbcA
cb
bc
a ≤⇒≤+
⇒ 
 ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ cân ⇒ñpcm. 
Ví dụ 3.1.2.3. 
 CMR nếu thỏa 
2
sin4 BRrr a =+ thì ABC∆ cân. 
Lời giải : 
 Ta có : 
( ) ( ) ( ) ( )
2
sin4
2
cos
2
sin4
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos4
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin4
2
cos
2
sin
sinsin2
2
tan
2
tan2
2
tan
2
tan
BRCABR
B
B
CABR
B
B
CACAR
B
B
CARBcaBbpBpBbprr a
≤−=⋅−=⋅−+=
+=+=−=+−=+
2
sin4 BRrr a ≤+⇒ ðẳng thức xảy ra khi ABC∆ cân ⇒ñpcm. 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 72 
Ví dụ 3.1.2.4. 
 CMR nếu ( )22
4
1 baS += thì ABC∆ cân. 
Lời giải : 
 Ta có : ( ) SCababbaabba =≥≥+⇒≤+ sin
2
1
2
1
4
12 2222 
( ) ⇒≥+⇒ Sba 22
4
1 ABC∆ cân nếu thỏa ñiều kiện ñề bài. 
Ví dụ 3.1.2.5. 
 CMR ABC∆ cân khi thỏa 
4
9
coscoscos2 =++ CBA 
Lời giải : 
 Ta có : 
4
9
4
9
2
sin
4
1
2
cos
2
1
2
sin2
4
9
4
1
2
cos
4
1
2
cos
2
1
2
sin2
4
9
4
1
2
cos
2
sin2
2
sin4
2
cos
2
cos2
2
sin212coscoscos2
2
2
2
2
2
2
≤+
−
−




 −
−−=
+−
−
+




 −
−−=+−
−
+−=
−+
+





−=++
CBCBA
CBCBACBAA
CBCBACBA
 ðẳng thức xảy ra khi ⇒= CB ñpcm. 
3.1.3. Tam giác vuông : 
 Cuối cùng ta xét ñến tam giác vuông, ñại diện khó tính nhất của tam giác ñối với bất 
ñẳng thức lượng giác. Dường như khi nhận diện tam giác vuông, phương pháp biến ñổi 
tương ñương các ñẳng thức là ñược dùng hơn cả. Và ta hiếm khi gặp bài toán nhận diện 
tam giác vuông mà cần dùng ñến bất ñẳng thức lượng giác. 
Ví dụ 3.1.3.1. 
 CMR ABC∆ vuông khi thỏa 15cos8sin4sin6cos3 =+++ CBCB 
Lời giải : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 73 
 Theo BCS ta có : 
( )( )
( )( )



=++≤+
=++≤+
10cossin86cos8sin6
5sincos43sin4cos3
2222
2222
CCCC
BBBB
 15cos8sin6sin4cos3 ≤+++⇒ CCBB 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
2
cottan
3
4
cot
3
4
tan
8
cos
6
sin
4
sin
3
cos
10cos8sin6
5sin4cos3 pi
=+⇔=⇔






=
=
⇔






=
=
⇔



=+
=+
CBCB
C
B
CC
BB
CC
BB
 ⇒ñpcm. 
3.2. Cực trị lượng giác : 
 ðây là lĩnh vực vận dụng thành công và triệt ñể bất ñẳng thức lượng giác vào giải 
toán. ðặc biệt trong dạng bài này, gần như ta là người ñi trong sa mạc không biết 
phương hướng ñường ñi, ta sẽ không biết trước kết quả mà phải tự mình dùng các bất 
ñẳng thức ñã biết ñể tìm ra ñáp án cuối cùng. Vì lẽ ñó mà dạng toán này thường rất “khó 
xơi”, nó ñòi hỏi ta phải biết khéo léo sử dụng các bất ñẳng thức cũng như cần một vốn 
liếng kinh nghiệm về bất ñẳng thức không nhỏ. 
Ví dụ 3.2.1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 ( )
ydxc
ybxa
ydxc
ybxayxf 22
44
22
44
sincos
sincos
cossin
cossin
,
+
+
+
+
+
= 
 với dcba ,,, là các hằng số dương. 
Lời giải : 
 ðặt ( ) 21, bfafyxf += với ydxc
x
ydxc
xf 22
4
22
4
1
sincos
cos
cossin
sin
+
+
+
= 
ydxc
x
ydxc
xf 22
4
22
4
2
sincos
sin
cossin
cos
+
+
+
= 
 Ta có : ( ) ( )yydxxcdc 2222 cossincossin +++=+ 
 Do ñó : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 74 
( ) ( ) ( )[ ]
1
sincos
cos
sincos
cossin
sin
cossin
sincos
cos
cossin
sin
sincoscossin
2
22
2
22
22
2
22
22
4
22
4
2222
1
=








+
++
+
+≥






+
+
+
+++=+
ydxc
xydxc
ydxc
xydxc
ydxc
x
ydxc
xydxcydxcfdc
dc
f
+
≥⇒ 11 Tương tự : dc
f
+
≥ 12 . Vậy ( ) dc
babfafyxf
+
+≥+= 21, 
Ví dụ 3.2.2. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 CBAP 3cos3cos3cos −+= 
Lời giải : 
 Ta có : ( )[ ] ( )[ ] ( )BABABAC +−=+−=+−= 3cos33cos3cos3cos pipi nên 
( ) 1
2
3cos2
2
3cos
2
3cos23cos3cos3cos 2 −




 +
+




 −





 +
=+++=
BABABABABAP 
 ( )yxfBABABAP ,
2
1
2
3cos
2
3cos2
2
3cos2
2
3 2
=+




 +





 −
+




 +
=+⇒ 
2
301
2
3cos' 2 −≥⇒≤−




 −
=∆ PBA 













=
=
=
⇔




−=
=
⇔












 −
−=




 +
=




 −
⇔










 −
−=




 +
=∆
⇔−=
9
4
9
2
2
13cos
2
3cos
2
1
2
3cos
1
2
3cos
2
3cos
2
1
2
3cos
0'
2
3
2
pi
pi
A
A
BA
A
BA
BABA
BA
BABAP
 Vậy 






===
===
⇔−=
9
,
9
4
9
5
,
9
2
2
3
min pipi
pipi
CBA
CBA
P 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 75 
Ví dụ 3.2.3. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
CBA
CBAP 222
222
coscoscos
sinsinsin
++
++
= 
Lời giải : 
 Ta có : 
 ( )
31
4
93
3
1
sinsinsin3
3
1
coscoscos
3
222
222
=−
−
≤
−
++−
=
−
++
=
CBA
CBA
P
 Do ñó : ABCP ∆⇔= 3max ñều. 
Ví dụ 3.2.4. 
 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của xxy cossin4 −= 
Lời giải : 
 ðiều kiện : 0cos,0sin ≥≥ xx 
 Ta có : 1sincossin 44 ≤≤−= xxxy 
 Dấu bằng xảy ra pipi 2
20cos
1sin
kx
x
x
+=⇔



=
=
⇔ 
 Mặt khác : 1coscossin4 −≥−≥−= xxxy 
 Dấu bằng xảy ra pi2
1cos
0sin
kx
x
x
=⇔



=
=
⇔ 
 Vậy 




=⇔−=
+=⇔=
pi
pi
pi
21
2
2
1
min
max
kxy
kxy
Ví dụ 3.2.5. 
 Cho hàm số 
2cossin
cos2
−+
+
=
xx
xy . Hãy tìm Max y trên miền xác ñịnh của nó. 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác 
The Inequalities Trigonometry 76 
Lời giải : 
 Vì sinx và cosx không ñồng thời bằng 1 nên y xác ñịnh trên R. 
 0Y thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi 2cossin
cos2
0
−+
+
=
xx
xY có nghiệm. 
 ( ) 22cos1sin 000 +=−+⇔ YxYxY có nghiệm. 
( ) ( )
2
195
2
195
03102
122
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
+−≤≤−−⇔
≤++⇔
−+≤+
Y
YY
YYY
 Vậy 
2
195
max
+−
=y 
3.3. Bài tập : 
 CMR ABC∆ ñều nếu nó thỏa một trong các ñẳng thức sau : 
3.3.1. 
4
3
coscoscoscoscoscos =++ ACCBBA 
3.3.2. CBACBA sinsinsin2sin2sin2sin ++=++ 
3.3.3. CBA
CBA
tantantan
2
1
2
3
2sin
1
2sin
1
2sin
1
+=++ 
3.3.4. 
2
tan
2
tan
2
tancotcotcot
2222222
CBA
cba
CBA
cba
=





++
++
3.3.5. 
2
1coscoscos
=
++
++
cba
CcBbAa
3.3.6. 
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
abcmmm cba = 
3.3.7. 
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
abclll cba = 
3.3.8. SCabBcaAbc 12
2
cot
2
cot
2
cot =++ 
3.3.9. 
9
3265
sin
11
sin
11
sin
11 +=





+





+





+
CBA
3.3.10. ( ) 36
1
sinsinsin
sinsinsin
2 =++ CBA
CBA