Bổ đề bolzano-Weiestrass

Bổ đề BOlzano-Weiestrass dãy con 	 	Mọi dãy đều có 1 dãy con hội tụ đến 1 điểm trong [a,b] * 	Nếu có vô số an =c thì ta tìm được dãy {ank =c} ank -> c Trái lại chia I1 = [a,b] thành 2 đoạn bằng nhau gọi I2 chứa vô số phần tử an, lại chia I2 thành 2 đoạn bằng nhau ...ta tìm được dãy thắt {Ik} trong đó Ik chứa vô số an * Gọi c là điểm chung duy nhất dãy Ik chọn n1=1 ta có an1  I1 , chọn n2>n1 sao cho an2 I2 ..... chọn nk>nk-1 sao cho ank Ik ... Ta được dãy {ank} | ank- c |  (b – a)/2k-1  0. Vậy khi k thì Lim ank=c tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn Định lý (Veierstrass) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] thì nó đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên [a,b], tức là  c1, c2  [a,b] sao cho f(c1)  f(x)  f(c2) với  x[a,b]. 	 * 	f(x) bị chặn trên [a,b]: Nếu f(x) không bị chặn trên  nN,  an  [a,b] ta có an  n. Theo bổ đề Bonzano-Veierstrass có dãy con {ank}của an mà ank -> c. Vì f(x) liên tục tại c nên f(ank) ->f(c) mâu thuẫn với f(ank)  f(c) Vậy f(x) bị chăn trên. f(x) bị chăn dưới tương tự. Đặt M=Sup{f(x) | x  [a,b]}; m=Inf{f(x) | x  [a,b]} ta chỉ ra sự tồn tại của c1, c2 để f(c1)=m, f(c2)=M. Vì M=Sup{f(x)| x  [a,b]}=>  nN,  an [a,b], M -1/n c2 Vì | f(ank)- M |  nN,  an [a,b], m c1 Vì | f(ant)-m | 0, đặt I=[a,b]. Chia I thành 2 đoạn bằng nhau bởi điểm chia d=(a+b)/2. Nếu f(d)=0 thì d là điểm phải tìm. Nếu f(d)>0 chọn I1=[a,d]; nếu f(d)c và f(ak) f(ak)->f(c) 0; bk->c và f(bk)>0 => f(bk)->f(c) 0; vậy c(a,b), f(c)=0 (f(c)=0 nên c # a và c # b) tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn Định lý (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b], f(a)=A, f(b)=B thì mọi  nằm giữa A và B đều  c (a,b) sao cho f(c) = . 	 Đặt g(x)=f(x)- =>g(A)g(B)=[f(a)-][f(b)-]=(A- )(B-) g(c)=f(c)-=0 => f(c) = . Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b], m=Inf{f(x) | x  [a,b]}; M=Sup{f(x) | x  [a,b]}Khi đó mọi  [m,M]},  c [a,b] sao cho f(c) = .