Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 - Chuyên đề: Ứng dụng của định lí Lagrang

Chuyên Đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ LAGRANG
I. Lý thuyết:
 1. Định lí Lagrang: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b), khi đó tồm tại số thực 
Hệ quả 1:Nếu hàm số y=f(x) liên tụa trên [a;b] , khả vi trên (a;b) và f(a)=f(b) thì 
Pt: f’(x)=0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b)
Hệ quả 2:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n. .Nếu pt có k nghiệm thì 
Pt có nhiều nhất (k+1) nghiệm 
II. Các ứng dụng:
1.Ứng dụng đ/l Lagrang để giải pt:
Phương pháp: Để giải pt f(x)=0 ta sử dụng hệ quả 2 chứng minh số nghiệm nhiều nhất của pt có thể có được, sau đó ta chỉ ra được các nghiệm của pt
Bài 1:Giải pt: (HSG Nghệ an 2005)
Giải: Xét hàm số : 
Ta có: 
Mà ta thấy f(1)=f(0)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1
Bài 2: Giải pt: 
Giải: Đặt t=cosx; khi đó pt trở thành: , ta thấy pt này có hai nghiệm t=0 và t=1 ta sẽ c/m đó là số nghiệm nhiều nhất mà pt có thể có:
Xét hàm số: với ta có 
f’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm nên f(x) =0 có nhiều nhất hai nghiệm từ đó ta có đpcm
Vậy pt có hai họ nghiệm: 
Bài 3: Giải pt: (TH&TT)
Giải: Đk: x>-1/2
 (1)
Xét hàm số: ta có f(t) là hàm đồng biến nên
Xét hàm số: 
 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà f(0)=f(1)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm
x=0 và x=1
Bài 4: Giải pt: 
Giải: . Giả sử m là nghiệm của pt, xét hàm số
 ta có f(12)=f(6) nên theo hệ quả 1 thì tồn tại : f’(c)=0
hay 
Thử lại ta thấy thoả mãn. Vậy x=0 và x=1 là nghiệm của pt
Bài Tập: Giải các pt sau
2.Ứng dụng định lí Lagrang để cm pt có nghiệm:
Phương pháp:Để cm pt f(x)=0 có nghiệm trên (a;b) ta đi xét hàm F(x) có tính chất :thỏa mãn các điều kiện đ/l Lagrang , F’(x)=f(x) sau đó ta cm hàm F(x) thỏa mãn đk của Hệ quả 1 từ đó ta có điều phải chứng minh
Bài 1: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn đk: . Cmr (1)
Giải: Ta có (1) chính là điều kiện cần và đủ để pt: ax2+bx+c=0 có nghiệm nên ta chuyển việc cm (1) về cm pt ax2+bx+c=0 có nghiệm
* Nếu a=0 thì (1) luôn đúng
* Nếu . Xét hàm số ta thấy f(x) có đạo hàm trên R
và f(1)= =f(0) nên theo hệ quả 1 thì pt f’(x)=0 có nghiệm (0;1)
hay pt: có nghiệm trên (0;1) từ đó ta có đpcm
Bài 2:Cho các số thực a,b,c và số nguyên n>0 thoả mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Cmr pt
 luôn có no trên (HSG Nghệ an 2004)
Giải: Ta có: (*)
Xét hàm số trên ta thấy f(x) thoả mãn đk đ/l Lagrang trên . Mặt khác ta lại có: 
 (do (*) ). Theo đ/l Lagrang thì pt f’(x) có nghiệm trên 
hay pt: 
 (vì sinx, cosx >0 trên ) có nghiệm trên (đpcm)
Bài 3:Cho các số thực thỏa mãn: và 
 với k >0. Cmr pt sau luôn có nghiệm
Giải: Xét hàm số ta có f(0)=f(1)=f(k)=0
Nên theo hệ quả 1 thì pt: có hai nghiệm phân biệt x1,x2 Pt có nghiệm
Bài 4: Pt: (với p,q là các số nguyên dương lẻ) có ít nhất bao nhiêu nghiệm trên ?
Giải: Xét pt: f(x)= asinx+bsinpx+csinqx=0 . nên pt có 2 n0 
Vì p,q là các số nguyên dương lẻ nên ta có :
pt f’’(x)= có 2 n0 
, Hơn nữa 
Vậy pt: f”(x)=0 có ít nhất 4 nghiệm trên .
3. Ứng dụng đ/l Lagrang để chứng minh Bất Đẳng Thức:
Phương pháp:* Để c/m Bđt có dạng: ta xét hàm số y=f(x) thỏa mãn điều kiện đ/l Lagrang trên [a;b], khi đó có sau đó ta chứng minh: m<f’(c)<M
* Để c/m Bđt có dạng : ta xét hàm số y=f(x) thỏa mãn điều kiện đ/l Lagrang trên [a;b], khi đó có 
sau đó ta chứng minh: m<(a-b)f’(c)<M
Bài 1: Cho 0<a<b. Cmr: 
Giải:Bđt đã cho 
Xét hàm số f(x)=lnx trên [a;b]. Ta thấy f(x) thỏa mãn đk đ/l Lagrang trên [a;b] nên tồn tại số c: a<c<b: . Vì 
Do đó ta có đpcm
Bài 2: Cho 0<x<y và m là một số nguyên dương bất kì. Cmr: 
Giải: Bđt đã cho 
Xét hàm số trên [x;y], ta thấy f(t) thỏa mãn đk đ/l Lagrang trên [x ;y] nên tồn tại số đpcm
Bài 3:Cmr : (ĐH AN NINH 2001)
Giải: Bđt 
Với ta thấy f(x) thỏa mãn đk đ/l Lagrang trên [n;n+1] nên có số c: n<c<n+1
đpcm
Bài 4: 
Giải: Vì cose, cos(e-1)>0 nên Bđt 
Xét hàm số: trên [e-1;e], ta có 
Áp dụng đ/l Lagrang thì có số e-1<c<e: 
Mặt khác: đpcm