Các bài toán về tiếp tuyến

Các bài toán về tiếp tuyến
Sinh viên : Nguyễn Văn ánh
Giảng viên: Lê Văn Đính
10/10/2007
1 Nhắc lại một số kiến thức
Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b).
Giới hạn lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0 nếu có được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm
x0. Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 được ký hiệu là y
′(x0) hoặc f ′(x0).
1.1 Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Cho một đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M0 trên (C). Kí hiệu M
là một điểm di chuyển trên (C), đường thẳngM0M là một cát tuyến của (C).
Định nghĩa 2. Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di
chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp
tuyến của đường cong (C) tạiM0. ĐiểmM0 được gọi là tiếp điểm.
Chú ý. Ta chỉ xét những tiếp tuyến không song song hoặc trùng với trục OY .
1.2 ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đường cong (C) : y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi
hàm số y = f(x) khả vi tại x0. Và trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm
có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc là f
′(x0).
1
2 Các bài toán cơ bản về tiếp tuyến
2.1 Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước
Bài toán 1. Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) và điểm M0(x0, y0) ∈ (C). Viết
phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0, y0).
Lời giải. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là f ′(x0), đồng thời nó phải đi qua điểm
M0(x0, y0), nên phương trình của tiếp tuyến là :
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).
Hệ quả . Đường cong y = f(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm x0 khi và chi
khi f(x0) = f
′(x0).
Chứngminh. Vì trục hoành có hệ số góc bằng 0 nên f ′(x0) = 0. Mặt khác một
điểm nằm trên trục hoành thì nó có tung độ bằng không. Do đó f(x0) = 0.
Như vậy, đường cong y = f(x) tiếp xúc với trục hoành
⇔
{
f(x) = 0
f ′(x) = 0
có nghiệm.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giả sử m 6= 0,m 6= 1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị y =
2x2 − 3x+m
x−m tại giao điểm với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có
tung độ bằng 1.
Lời giải. Với m 6= 0,m 6= 1 đồ thị có tiệm cận đứng là: x = m. Giao điểm của đồ
thị với trục tung là (0,−1). Do đó phương trình tiếp tuyến tại (0,−1) là
y = f ′(0)(x− 0) + f(0),
hay
y =
2x
m
− 1
(
vì f ′(x) =
2(x2 − 2mx+m)
(x−m)2 nên f
′(0) =
2
m
)
.
Vậy giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng x = m có tung độ là: y =
2m
m
− 1 = 1 ∀m 6= 0,m 6= 1.
2
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số y = f(x) = U(x)
V (x)
cắt trục hoành
tại x = x0 thì hệ số góc của tiếp tuyến tại x = x0 là k =
U ′(x0)
V (x0)
.
Lời giải. Vì độ thị cắt trục Ox tại x = x0 nên f(x0) = 0 hay
U(x0)
V (x0)
= 0. Vậy hệ số
góc của tiếp tuyến tại x = x0 là :
k = f ′(x0) =
U ′(x0)V (x0)− U(x0)V ′(x0)
(V (x0))2
=
U ′(x0)V (x0)
(V (x0))2
− U(x0)
V (x0)
V ′(x0)
V (x0)
=
U ′(x0)
V (x0)
.
Ví dụ 3. Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có
hệ số góc nhỏ nhất nếu a > 0 và có hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp
tuyến của đồ thị. .
Lời giải. Ta có y′ = 3ax2 + 2bx+ c nên hệ số góc của tiếp tuyến tại x = x0 là
k = f ′(x0) = 3a(x0)2 + 2bx0 + c.
Do đó`
• Nếu a > 0 thì kmin = −3ac−b23a ⇔ x0 = −b3a .
• Nếu a < 0 thìkmax = −3ac−b23a ⇔ x0 = −b3a .
Mà y′′ = 6ax+ 2b⇒ x0 = −b3a chính là hoành độ của điểm uốn. Vậy có đpcm.
Ví dụ 4. Tìm m để đường cong y = x3 −mx+ 1 tiếp xúc với trục hoành.
Lời giải. Hệ y(x) = y′(x) = 0 tương đương với{
x3 −mx+ 1 = 0
3x2 −m = 0 ⇔
{
2x3 = 1
m = 3x2.
Hệ này có nghiệm⇔ m = 33√4 . Vậy đường cong đã cho tiếp xúc với trục hoành
⇔ m = 33√4 .
3
2.2 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Bài toán 2. Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.
Lời giải. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có
hoành độ xi ⇒ f ′(xi) = k hay xi là nghiệm của phương trình f ′(x) = k.
Vậy có thể viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi biết
nó có hệ số góc là k theo quy trình sau:
Bước 1: Giải phương trình :f ′(x) = k. Ta được các nghiệm xi (i = 0, n).
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại xi là : y = k(x− xi) + f(xi) (i = 0, n).
Trong từng bài toán cụ thể, hệ số góc k có thể được biểu diễn dưới các dạng
• trực tiếp: Cho k = a = const.
• Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục ox góc α⇒ k = tanα
• Tiếp tuyến song song với ∆ : y = ax+ b⇒ k = a
• Tiếp tuyến vuông góc với ∆ : y = ax+ b⇒ k = −1
a
( a 6= 0).
• Tiếp tuyến tạo với ∆ : y = ax+ b một góc α⇒ ∣∣ k−a
1+ka
∣∣ = tanα
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = x2 − 2x + 3 có đồ thị (C) .Viết phương trình
tiếp tuyến với (C), biết nó vuông góc với đường thẳng ∆ : 2x− y + 1 = 0.
Giải: Giả sử phương trình tiếp tuyến là (d) : y = ax+b. vì (d) ⊥ ∆⇒ a = −1
2
.
Giả sử tiếp điểm làM0(x0, y0) Ta có :
f ′(x0) = −1/2⇔ 2x0 − 2 = −12 ⇔ x0 = 34 .
Vậy phương trình tiếp tuyến là :
y =
−1
2
(x− 3
4
+ f(
3
4
)
4
⇔ y = −x
2
+
39
16
Ví dụ 2. phương trình tiếp tuyến với (C) biết nó song song với phân giác của
góc phần tư thứ nhất tạo bởi các trục tọa độ .
Giải: Giả sử tiếp tuyến (d) có phương trình: y = ax+ b
(d) song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất:y = x⇒ a = 1
Giả sửM0(x0, y0) là tiếp điểm⇒ x0 là nghiệm của phương trình :
y′(x0) =
4
(x+ 2)2
= 1 (x0 6= 2).
⇔
[
x0 = 0 ⇒ y0 = −1
x0 = 4 ⇒ y0 = 3
Phương trình tiếp tuyến với
x0 = 0 y0 = −1 là: y = x− 1
x0 = 4 y0 = 3 là: y = x+ 7
Bài tập
Cho dồ thị (C) : y = x
3
3
− 2x2 + x− 4
+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.
+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với trục ox một
góc bằng 600.
+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng :y = −x+ 2.
+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng y = 2x+ 3.
+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
:y = 3x+ 7 một góc bằng 450.
5
2.3 Bài toán 3
a, Bài toán :
Cho đường cong (C) : y = f(x) và điểm M(a, b). Hãy viết phương trình
tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi quaM .
Giải:
Cách 1 : Goi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t khi đó
phương trình của (d) là:y = f ′(t)(x− t)+f(t). Vì (d) qua điểmM(a, b)
tương đương với f ′(t)(a− t) + f(t) = b.
Giải phương trình này ta được nghiệm tj(1, n).
Khi đó các tiếp tuyến cần tìm là (dj) : y = f
′(tj)(x− tj) + f(tj)
Cách 2 : đường thăng (d) quaM(a, b) với hệ số góc k sẽ có phương trình
là: y = k(x− a) + b.
(d) tiếp xúc với (C) : y = f(x)
⇔
{
f(x) = k(x− a) + b có nghiệm
f ′(x) = k.
⇒ f(x) = f ′(x)(x− a) + b có nghiệm.
⇔ f ′(x)(x− a) + b− f(x) = 0 có nghiệm.
Nếu phương trình trên có n nghiệm thì ta tìm đựơc n giá trị của k.
Từ đó sẽ có n phương trình tiếp tuyến .
b) Các ví dụ .
Ví dụ 1 : Cho hàm số y = x
2−x−2
x−3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) qua điểm A(4, 1).
Giải :
• Cách 1: Giả sử điểm M0(x0, f(x0)) là tiếp điểm ..phương trình
tiếp tuyến : (d) : y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0)
6
⇔ y = (x0)2−6x0+5
(x0−3)2 (x− x0) +
(x0)2−x0−2
x0−3
Ví (d) qua A(4, 1)⇔ 1 = (x0)2−6x0+5
(x0−3)2 (4− x0) +
(x0)2−x0−2
x0−3
⇔
{
x0 6= 3
(x0 − 3)2 − 22x0 + 17 = 0
⇔
[
x0 =
17
5
x0 = 1
Vậy ta được hai tiếp tuyến là :
(d1) : y = 1
(d2) : y = −24x+ 97
• Cách 2: Phương trình đường thẳng (d) qua A(4, 1) có hệ số góc k
có dạng:y = k(x− 4) + 1
xét hệ {
x2−x−2
x−3 = k(x− 4) + 1 (1)
x2−6x+5
(x−3)2 = k (2)
Thế k từ (2) vào (1) ,giải phương trình ta được x = 1 hoặc x =
17
5
Từ đó ta tìm được k = 0 hoặc k = −24
Vậy ta được hai tiếp tuyến là :
(d1) : y = 1
(d2) : y = −24x+ 97
Ví dụ 2 : Tùy thuộc vào m, hãy biện luận số lượng các tiếp tuyến của
đường cong: y = x3 − x2 Qua điểmM(1,m).
Giải:
Ta thấy số các tiếp tuyến của đường cong qua M Bằng số nghiệm
của phương trình ẩn t: y′(t)(1− t) + y(t) = m
đặt f(t) = y′(t)(1− t) + y(t) = −2t3 + 4t2 − 2t
Ta có f ′(t) = 0⇔ t = 1 hoặc t = 1
3
Mà f(1) = 0; f(1
3
) = −2
27
Vậy để có duy nhất tiếp tuyến quaM khi m > 0 hoặc m < −2
27
có đúng hai tiếp tuyến quaM khi m = 0 hoặc m = −2
27
7
có đúng 3 tiếp tuyến quaM khi −2
27
< m < 0
2.4 Bài toán 4
a) Bài toán :
Cho đường cong (c) : y = f(x) và (d) : y = g(x)
Hãy tìm tất cả các tiếp tuyến chung của (c) và (d)
Giải: Giả sử (T ) là tiếp tuyến chung của (c) và (d).
Khi đó (T ) tiếp xúc với (c) và (d) lần lượt tại các điểm có hoành độ u và v
ta được phương trình của (T ) được biểu diễn:
(T ) : y = f ′(u)(x− u) + f(u)
(T ); y = g′(v)(x− v) + g(v)
Từ đó ta rút ra được:{
f ′(u) = g′(v).
f(u)− uf ′(u) = g(v)− vg′(v)
Giả sử (uj, vj) j = 1, n là các nghiệm của hệ trên thì các tiếp tuyến cần
tìm là:
(Tj) : y = f
′(uj)(x− uj) + f(uj).
NGhư vậy hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì ta sẽ có bấy nhiêu tiếp tuyến
chung .
đặc biệt khi u ≡ v thì hệ trở thành :{
f ′(u) = g′(u)
f(u) = g(u)
Như vậy ta có được điều kiện tiếp xúc của hai đường cong (c) và (d) là:{
f(x) = g(x)có nghiệm
f ′(x) = g′(x)
b) Ví dụ : Tìm tiếp tuyến chung của hai đường cong:
y = x2 + x và y = −3x2 + 2x− 5.
Giải: Xét và giải hệ:
8
{
2u = −6v + 2
u2 + u− u2u = −3v2 + 2v − 5− v(6v + 2)
⇔
{
u = −3v + 2 (1)
−u2 + u = 3v2 − 5 (2)
Thế (1) vào (2) ta được phương trình:
4v2 − 3v + 1 = 0
Giải phương trình này ta được nghiệ là :v1 = 1, v2 =
−1
4
.
Vậy ta được hai tiếp tuyến chung là:
(d1) : y = −4x− 2
(d2) : y =
7x
2
+ 1
16
c) Bài tập Bài1 Tìm tiếp tuyến chung của hai đường cong sau :
y = 2x3 và y = x3 .
Bài 2 tùy theo tham số m, hãy biện luận số tiếp tuyến chung của hai
đương cong: y = x2 + 1 và y = mx2 + x−m
3 Liên hệ với nghiệm kép-nghiệm bội
3.1 -Nhắc lại định nghĩa nghiệm bội
**) x0 được gọi là nghiệm bội d của đa thức p(x) nếu d nguyên dương và
p(x) = (x− x0)dg(x) trong đó g(x0) 6= 0.
+)Nếu d=1 thì x0 được gọi là nghiệm đơn
+)Nếu d=2 thì x0 được gọi là nghiệm kép
Ta cũng chứng minh được rằng đa thức p(x) nhận x0 làm nghiệm bội k nếu và
chỉ nếu p(x0) = p ´(x0) = .. = p
(k−1)(x0) = 0 và p(k)(x0) 6= 0
Ta mở rộng khái niệm nghiệm bội của đa thức, trong hình học vi phân người
9
ta đưa ra khái niệm nghiệm bội k của hàm f(x) như sau: Hàm f(x) nhận a làm
nghiệm bội k nếu f(a) = f ´(a) = .. = f (k−1)(a) và f (k)(a) 6= 0.
3.2 -Mệnh đề
**) Với p(x) là một đa thức bậc dương, thì đường cong y=p(x) tiếp xúc với trục
hoành tại điểm x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng hai của
đa thức p(x).
Chứng minh:
Ta có đường cong y=p(x) tiếp xúc với trục hoành tại x0 ⇔ p(x0) = p ´(x0) =
0⇔ x0 là nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng hai của đa thức p(x).
3.3 -Hệ quả
**) Với p(x) là một đa thức bậc dương, thì đường cong y= p(x) tiếp xúc với trục
hoành⇔ p(x) có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2.
**) Tương tự ta cũng có được hệ quả: Đường cong y= f(x) tiếp xúc với trục hoành
khi và chỉ khi phương trình f(x)=0 có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
**) Ta có thể mở rộng hệ quả như sau: Đường cong y1 = p(x) và y2 = q(x) tiếp
xúc với nhau⇔ phương trình p(x)=q(x) có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2.
Chú ý:
+) Trong các phát biểu trên ta nói rằng có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ
không phải là nghiệm kép.
+) Biến đổi tương đương của phương trình không bảo toàn số bội của nghiệm.
3.4 -Các ví dụ ứng dụng
Ví dụ 3. Tìm m để (Cm) : y = x
3 − 3mx2 − x+ 3m tiếp xúc với trục hoành.
Lời giải:
Xét phương trình:
x3 − 3mx2 − x+ 3m = 0
⇔ (x2 − 1)(x− 3m) = 0
10
⇔ (x− 1)(x+ 1)(x− 3m) = 0
Để (Cm) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình: (x− 1)(x+1)(x−
3m) = 0 có nghiệm bội
⇔ 3m = 1 ∨ 3m = −1
⇔ m = 1
3
∨ m = −1
3
Ví dụ 4. Tìm m để (C): y = x3 − 4x2 + 4x tiếp xúc với (dm) : y = mx− 3m+ 3.
Lời giải: Xét phương trình tương giao:
x3 − 4x2 + 4x = mx− 3m+ 3
⇔ (x− 3)(x2 − x+ 1−m) = 0
⇔ (x− 3)g(x) = 0
Để (C) tiếp xúc với (dm) khi và chỉ khi phương trình (x− 3)g(x) = 0 có nghiệm
bội⇔ g(3) = 0 ∨ ∆g = 0
⇔ (7−m) = 0 ∨ (4m− 3) = 0
⇔ m = 7 ∨ m = 3
4
Ví dụ 5. Tìm m để:
(c1) : y = mx
3 − (m− 1)x2 + (m+ 1)x− 1
(c2) : y = −mx2 + (m+ 1)x−m
tiếp xúc với nhau.
Lời giải: Xét phương trình:
mx3 − (m− 1)x2 + (m+ 1)x− 1 = −mx2 + (m+ 1)x−m
⇔ m(x3 + 1) + x2 − 1 = 0
⇔ (x+ 1)(mx2 + (1−m)x+m− 1) = 0
⇔ (x+ 1)g(x) = 0
11
Để (c1) và (c2) tiếp xúc với nhau⇔ pt (x+ 1)g(x) = 0 có nghiệm bội
+)TH1: g(-1)=0⇒ 3m− 2 = 0⇒ m = 2
3
+)TH2:
{
m 6= 0
∆g = 0
⇔
{
m 6= 0
(m− 1)(−3m− 1) = 0
⇔ m = 1 v m = −1
3
Ví dụ 6. Viết phương trình tiếp tuyến chung của
(p1) : y = x
2 − 3x+ 2
(p2) : y = −x2 − x− 3
Lời giải:
Giả sử (d) : y = ax+ b tiếp xúc với (p1) và (p2) tại A(x1, y1) và B(x2, y2)
+)Xét pt:
x2 − 3x+ 2 = ax+ b
⇔ f(x) = x2 − (a+ 3)x+ 2− b = 0
Để (d) tiếp xúc với (p1)⇔ ∆f = 0
⇔ (a+ 3)2 − 4(2− b) = 0(1)
+) Xét pt:
−x2 − x− 3 = ax+ b
⇔ g(x) = x2 + (a+ 1)x+ 3 + b = 0
Để (d) tiếp xúc với (p2)⇔ ∆g = 0
⇔ (a+ 1)2 − 4(3 + b) = 0(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: {
(a+ 3)2 = 4(2− b)
(a+ 3)2 + (a+ 1)2 = 20
12
⇔
{
(a+ 3)2 = 4(2− b)
a2 + 4a− 5 = 0
⇔
{
b = 2− (a+3)2
4
a = 1 V a = −5
+)Nếu a=1 thì b=2⇒ (d) có pt: y= x-2
+)Nếu a=-5 thì b=1⇒ (d) có pt: y= -5x+1
**Vậy (p1) và (p2) có 2 tiếp tuyến chung là:
y = x− 2 và y = −5x+ 1
3.5 -Bài tập
Bài toán 3. Tìm m để (Cm) :
y =
(m− 1)(x2 − 2x) +m+ 4
m(x+ 1)
tiếp xúc với y=1.
Bài toán 4. Tìm m để:
(C1) : y = mx
3 + (1− 2m)x2 + 2mx
(C2) : y = 3mx
3 + 3(1− 2m)x+ 4m− 2
tiếp xúc với nhau.
Bài toán 5. Chứng minh rằng có đúng 2 tiếp tuyến chung của:
(p1) : y = x
2 − 2x+ 6
(C) : y =
x2 − 1
x
4 -Tính chất của các tiếp tuyến của một Hype-
bol.
4.1 -Các tính chất:
a) Tiếp tuyến tổng quát tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không
đổi; hai cạnh có tích không đỏi; cạnh thứ ba nhận tiếp điểm làm trung điểm.
13
b) Trên mỗi nhánh cua Hypebol, tồn tại đúng một điểm mà tiếp tuyến tại đó
tạo với hai tiệm cận thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
c) Hypebol có vô số cặp tiếp tuyến song song, các đoạn thẳng nối tiếp điểm của
các cặp tiếp tuyến song song có trung điểm cố định ( là giao của 2 tiệm cận ).
d) Nếu Hypebol không có điểm cực đại, cực tiểu thì không có cặp tiếp tuyến
vuông góc. Nếu Hypebol có điểm cực đại, cực tiểu thì cùng có vô số cặp tiếp
tuyến vuông góc. Tập hợp các giao điểm của các cặp tiếp tuyến vuông góc là
một đường tròn với tâm là giao điểm của 2 tiệm cận, bỏ đi 4 giao điểm của
đường tròn với 2 tiệm cận.
e) Qua 1 điểm tuỳ ý đã cho trongmặt phẳng toạ độ, có thể kẻ tới Hypebol không
quá 2 tiếp tuyến. Nếu A là 1 điểm nằm ở miền trong Hypebol hoặc A trùng với
giao điểm của 2 tiệm cận thì qua A không kẻ được tiếp tuyến nào. Nếu A nằm
trên Hypebol hoặc A nằm trên 1 trong 2 tiệm cận thì qua A kẻ được đúng 1
tiếp tuyến duy nhất. Nếu A thuộc phần còn lại của mặt phẳng toạ độ thì qua
A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt.
4.2 -Các ví dụ:
Ví dụ 7. Giả sử M là một điểm tuỳ ý đã cho trên đồ thị của hàm số
y = f(x) =
2x− 1
x− 1
Tiếp tuyến với (C) tại M cắt các tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điẻm của 2
tiệm cận.
Chứng minh rằng: MA=MB và ∆ABC có diện tích không đổi khi M thay đổi
trên (C).
Lời giải: (C) có tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=2. Kí hiệu x0 là hoành
độ của M thì tung độ của M là:
y0 = f(x0) =
2x0 − 1
x0 − 1
Ta có
f ´(x) =
−1
(x− 1)2
14
Khi đó tiếp tuyến tại M có pt:
y =
−1
(x0 − 1)2 (x− x0) +
2x0 − 1
x0 − 1
Giao điểm A của tiếp tuyến với tiệm cận đứng có toạ độ là:
xA = 1; yA =
2x0
x0 − 1
Giao điểm B của tiếp tuyến với tiệm cận ngang yB = 2; xB là nghiệm của pt:
−(1− x0)
(x0 − 1)2 (xB − x0) +
2x0 − 1
x0 − 1 = 2⇒ xB = 2x0 − 1
Ta có: A, B, M thẳng hàng và
xA+xB
2
= 1+(2x0−1)
2
= x0 là hoành độ của M. Khi
đó M là trung điểm của AB⇒MA =MB
Giao điểm I của 2 tiệm cận có toạ độ (1,2). Do đó ta có:
IA = |yA − 2| = | 2x0
x0 − 1 − 2| =
2
|x0 − 1|
IB = |xB − 1| = |2x0 − 1− 1| = 2|x0 − 1|
Suy ra ∆IAB vuông ở I, có diện tích S = 1
2
IA.IB = 2 (đvdt)
Vậy ∆IAB có dt không đổi.
Ví dụ 8. Tìm các điểm có hoành độ lớn hơn 1 trên đồ thị (C) của hàm số
y = f(x) = x+ 1 +
1
x− 1
sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với 2 tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải: Tiếp tuyến tổng quát có phương trình:
y = f ´(x0)(x− x0) + f(x0)
=
x20 − 2x0
(x0 − 1)2 (x− x0) +
x20
x0 − 1
Giao điểm A,B của tiếp tuyến trên với tiệm cận đứng x=1, tiệm cận xiên y=x-1
có toạ độ là:
A(1;
2x0
x0 − 1);B(2x0 − 1; 2x0)
15
Giao điểm của 2 tiệm cận là E(1,2).Do đó
EA = |yA − yE| = 2|x0 − 1|
BH = |xB − xH | = 2|x0 − 1|
(BH là đường cao của ∆EAB)
⇒ ∆EAB có dt: S = 1
2
EA.BH = 2 (đvdt)
Mặt khác: S = 1
2
EA.EB. sin 450 ⇒ EA.EB = 2s√2 = 4√2
Theo Côsin ta có:
EA+ EB ≥ 2
√
Ea.EB = 2
√
4
√
2 = 4
4
√
2
Dấu "=" xảy ra⇔ EA = EB = 2 4√2⇔ |x0 − 1| = 14√2
Mặt khác, theo định lí hàm số cosin ta có:
AB2 = EA2+EB2−2EA.EB. cos 450 = EA2+EB2−2.4
√
2
1√
2
≥ 2EA.EB−8 = 8
√
2−8
⇒ AB ≥
√
8
√
2− 8
Đẳng thức xảy ra⇔ EA = EB ⇔ x0 = 1 + 14√2
Do đó∆EAB có chu vi bé nhất là:4 4
√
2+
√
8
√
2− 8 tạiM có hoành độ x0 = 1+ 14√2 .
Chú ý. Trong giải tích người ta không xét tiếp tuyến song song hoặc trùng với
Oy .Nhưng trong hình học giải tích người ta xét đến trường hợp này
VD: Xét hàm số y = f(x) =
√
a2 − x2, x ∈ [−a, a]
Xét lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a = limx→a
√
a2−x2
x−a = −∞
Do vậy không tồn tại f ′(a) do đó không tồn tại tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
x = a Nhưng trong hình giải tích người ta xét tiếp tuyến tại M(a, 0) là x = a
Em trân thành cảm ơn thầy và các bạn
đã giúp em hoàn thành bài chuyên đề này !
Chúc tập thể K54B học tập tốt !
16
Bài của em chưa được tốt lắm. Nội dung nói chung là không phong phú,
phần lớn là những điều đã quen thuộc với nhiều người. Các bài tập và ví dụ em
đưa ra cũng chưa nhiều. Có thể đến buổi thuyết trình thì không kịp, nhưng
tôi mong là trong thời gian sắp tới em sẽ có những bổ sung hợp lí để cho bài
của mình được tốt hơn. Đây là dịp để em học tập, cũng vừa là dịp tốt để chuẩn
bị tư liệu cho công việc giảng dạy sau này. Hơn nữa, các bài toán về tiếp tuyến
là một phần hay và trọng điểm trong chương trình giải tích phổ thông. Do đó,
tìm hiểu được càng nhiều về nó thì càng tốt, đúng không?
Trong buổi thuyết trình em phải cố gắng làm cho các bạn thấy rõ mối quan
hệ giữa nghiệm bội của phương trình với bài toán tiếp xúc, cũng như những
sai lầm của nhiều người trước đây khi dùng khái niệm nghiệm kép.
Bản đánh máy của em còn khá nhiều lỗi (có cả lỗi chính tả!). Tôi đã sửa
giúp một số lỗi ở đoạn đầu, gồm cả lỗi diễn đạt và trình bày. Em hãy đọc kĩ lại
bài của mình, tham khảo những chỗ tôi đã sửa chữa để sửa những phần còn
lại cho tốt hơn.
17