Các dạng toán về Giới hạn hàm số

Một số dạng cơ bản và cách giải giới hạn dạng vô định 0/0
Khi giải các bài toán về giới hạn thì chắc chắn chủ yếu chúng ta luôn gặp dạng vô định.Giới hạn dạng là một trong những dạng vô định đó.Với tư liệu tham khảo là cuốn Hàm số của tác giả Trần Phương và trong quá trình học tập mình rút ra được một số kinh nghiệm khi giải giới hạn dạng này.
I)Dạng 1:
với P(x),Q(x) đều là các đa thức sao cho 
với 
Nếu thì phân tích tiếp 
Quá trình khử dạng vô định là quá trình khử các nhân tử chung sẽ dừng lại khi nhận được giới hạn xác định tức là -->
Ví dụ 1:
Tìm giới hạn:
Bài giải:
II)Dạng 2
với và f(x),g(x) chứa căn thức đồng bậc.
Phương pháp :Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử và mẫu nhằm trục các nhân tử ra khỏi căn thức :
Ví dụ 2:
Tìm giới hạn:
Bài giải:
Dạng III)
với và (f) chứa căn thức không bồng bậc.
Phương pháp giải:
với 
Biến đổi: đến đây đã là dạng II rồi.
Ví dụ 3:Tìm giới hạn:
Bài giải:
CHÚ Ý: Việc thêm bớt hằng số chỉ có tính tương đối bởi vì không phải bài toán giới hạn nào cũng ra dưới dạng chính tắc nên chúng ta cần linh hoạt hơn trong khi giải bài tập giới hạn.
Ví dụ 4:Tìm giới hạn:
Trong trường hợp này nếu ta thêm bớt 1 thì không ổn bởi vì chỉ khử được một lần x ( dưới mẫu là mà)
nên ta sẽ thêm bớt một đại lượng f(x) sao cho (Tổng quát là khi thì ta thêm bớt f(x) sao cho với u(x) và (v(x) như trên dạng II).
Bài giải:
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Tìm giới hạn:
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
Một số biểu thức liên hợp thường dùng trong khi giải các bài toán giới hạn
Trong khi giải các bài toán giới hạn thì ta thường phải nhân chia cho biểu thức liên hợp..để khử các nhân tử ra khỏi căn thức, tuy nhiên có rất nhiều bài toán phức tạp càn đến các hằng đẳng thức lạ,chuyên đề này sẽ giới thiệu một số Một số biểu thức liên hợp thường dùng :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
1)                                      
2).
3)                                        4) .
Giải:
1) Đặt và f(0)=1
.
2) Đặt và f(1)=0.
.
3) Đặt .
4) Đặt 
.
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1)
2). 
3)
Giải:
1) Đặt 
và .
Khi đó: .
2) Đặt  .
. Khi đó:
.
3) Đặt và 
.
 Khi đó: .
Ngoài ra các bạn có thể sử dụng thêm một số kết quả sau để tìm giới hạn
Kết quả 1: Tìm giới hạn 
.
Giải: Đặt . 
Khi 
.
Ví dụ 1: Tìm giới hạn: 
Giải:
Ta có: 
.
Chú ý : Ta có thể tổng quát bài toán trên như sau:
.
Kết quả 2: Cho . Khi đó: 
       (với b là số thực dương ).
Chứng minh: Tương tự như kết quả 1
Ví dụ 2: Tìm 
Giải:
Ta có: 
Ví dụ 3: Tìm .
Giải:
Ta có: .
Mà 
      và 
Vậy .
Kết quả 3: Nếu   thì .
Ví dụ 4: Tìm 
Giải:
Ta có: 
Áp dụng kết quả 3 ta có:
.
.
Vậy  .