Các định lý cơ bản về đạo hàm

các định lý cơ bản về đạo hàm Cực trị địa phương: 	Hàm số y=f(x) xác định trên (a,b), x0(a,b) gọi là điểm cực đại (cực tiểu) địa phương của y = f(x) trên (a,b) nếu tồn tại >0 sao cho: f(x)f(x0)   (a,b) mà | x – x0 |  x (a,b) ta có f(x)f(x0) * Với a < x < x0 ta có * Với x0 < x < b ta có 3. Định lý (Rôn) 	Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm c (a,b) để f’(c) = 0. Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên theo định lý Vâyơxtrat f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b] Nếu m=M thì f(x)= m = M  x [a,b], do đó f(x) = 0  x (a,b) . Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x (a,b). Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m. Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c [a,b] sao cho f(c) = 0 vì c # a và c # b nên c (a,b), theo đl Phecma f’(c) = 0 4. Định lý Lagrăng 	Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b) và f(a)=f(b). Thì đó tồn tại ít nhất 1 điểm c (a,b) sao cho để f’(b)-f(a) = f’(x0)(b – a). Chứng minh: áp dụng định lý Rôn f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b] Nếu m=M thì f(x)= m = M  x [a,b], do đó f(x) = 0  x (a,b) . Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x (a,b). Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m. Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c [a,b] sao cho f(c) = 0 vì c # a và c # b nên c (a,b), theo đl Phecma f’(c) = 0 Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên theo đl Vâyơxtrat f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b] Nếu m=M thì f(x)= m = M  x [a,b], do đó f(x) = 0  x (a,b) . Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x (a,b). Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m. Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c [a,b] sao cho f(c) = 0 vì c # a và c # b nên c (a,b), theo đl Phecma f’(c) = 0 Các định lý về giá trị trung bình: 3. Định lý (Rôn): Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm c (a,b) để f’(c) = 0. Định lý (Lagrăng): Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất 1 điiểm c (a,b) sao cho f(b) - f(a) = f’(c)(b - a) Định lý (Côsi): Cho hàm f(x) và g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên khoảng (a,b) và g’(x)  0. Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm c (a,b) sao cho Quy tắc Lôpitan. Định lý : Cho hàm f(x) và g(x) liên tục trên (a,b)\{x0}, x0 [a,b] và g’(x)  0   (a,b) \{x0}. Giả sử rằng: hoặc Khi đó nếu giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn thì Công thức Taylor Nếu f(x) liên tục trên [a,b] có đạo hàm cấp n+1 trên (a,b), x0 (a,b). Khi đó x  [a,b] ta có: trong đó c nằm giữa x0 và x Kí hiệu gọi là đa thức Taylor bậc n của f(x) tại lân cận x0.