Chủ đề Bài toán Đường tròn

 Dạng 4: Bài toán đường tròn
Dạng toán 1: Viết Phương trình đường tròn 
pt đt có dạng : (x – a)2 + (y – b) = R2
hoặc x2 + y2 +2Ax + 2By + C = 0
1,Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm:
Bài 1: 
a,Viết phương trình đường tròn qua gốc toạ độ và có tâm I(3;-5)
b,Viết phương trình đường tròn qua các điểm A(-1;3), B(1;-5) và có tâm nằm trên trục tung.
Giải:
a,Bán kính R =>PTĐT là: (x – 3)2 + (y +5)2 = 34
b,Gọi I(0;y) là tâm đường tròn qua A, b nên ta có: 
R = IA = IB =y = -1
=>I(0;-1); R = .Vậy PTĐT cần tìm là: x2 + (y +1)2 = 17
Bài 2: Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A1;1), B(7;5)
Giải:
Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB: =>I(4;3)
Bán kính R = IA = 
Vậy PTĐT cần tìm là: (x – 4)2 + (y -3)2 = 17
2,Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm:
Bài 3: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: A(1;2), B(5;2), C(1;-3).
Giải:
Cách 1: Tâm I của đường tròn là giao điểm của các đường trung trực AB, AC ta có:
- Đường trung trực AB :
 Nhận (4;0) làm vtpt và đi qua trung đ' I của AB: Toạ độ đ' I(3;2).
PTTQ của AB là: x - 3 = 0
- Đường trung trực AC có pt: 2y + 1 = 0
- Toạ độ tâm I là nghiệm của hpt: =>I(3; -)
- Bán kính: R = IA => R2 = IA2 = (1-3)2 + (2+)2 = 
Vậy: PTĐT cần tìm là: (x- 3)2 + (y +)2 = 
Cách 2: Gọi I(x;y) là tâm đường tròn đi qua 3 điểm: A(1;2), B(5;2), C(1;-3), ta có:
- Bán kính: R = IA => R2 = IA2 = (1-3)2 + (2+)2 = 
Vậy: PTĐT cần tìm là: (x- 3)2 + (y +)2 = 
Cách 3: gs PTĐT có dạng x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
vì đường tròn đi qua 3 điểm: A(1;2), B(5;2), C(1;3), ta có:
Lấy (2) –(1) : 8A + 24 = 0=>A = -3
 (2)-(3) : 8A + 10B + 19 = 0 =>8.(-3) + 10B + 19 = 0=>B = - , thay A= -3, 
B = - vào (1) : 2.(-3)+4.( -) + c + 5 = 0 => C = -1
Vậy PTĐT cần tìm là: x2 + y2 - 6x + y - 1 = 0
Dạng toán 2: Phương tích – trục đẳng phương
Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0
- Phương tích của điểm M0(x0;y0) đối với (C):
PM/(C) = +- 2ax0 – 2by0 + c 
+Nếu PM/(C) > 0M ở bên ngoài đường tròn (C)
+Nếu PM/(C) M ở bên trong đường tròn (C)
+Nếu PM/(C) = 0M ở trên đường tròn (C)
- Trục đẳng phương của hai đường tròn (C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 và (C’): 
(C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (1)
(C’): x2 + y2 - 2a’x – 2b’y + c’ = 0 (2)
Phương trình trục đẳng phương của (C) và (C’) có được bằng cách trừ hai pt (1) và (2) theo vế.
Bài tập:
Bài 1: Cho A(-2;3) và 2 đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x – 2y + 1 = 0 (1)
 (C’) : x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 (2)
a,Tính phương tích của điểm A đối với (C) và (C’).Xác định vị trí của điểm A đối với 2 đường tròn.
b,Tìm phương trình trục đẳng phương của (C) và (C’)
c,Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’).
Giải:
a, PA/(C) = (-2)2 + 32 – 6(-2) – 2.3 + 1 = 20 > 0 =>A ở ngoài (C)
 PA /(C’) = (-2)2 + 32 + 2(-2) – 4.3 + 1 = -2 A ở trong (C’)
b, Phương trình trục đẳng phương của (C) và (C’) có dạng:
Lấy (1) – (2) : - 8x + 2y = 0 hay - 4x + y = 0 
c,Toạ độ giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’) là nghiệm của hệ:
lấy (1) –(2) theo vế, ta được: 
Từ (3)=>y = 4x, thay vào (1) : 17x2 – 14x + 1 = 0 =>x = ;y = 
Bài 2: Cho A(1;-2) và 2 đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0
 (C’) : x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0
a,Tính phương tích của điểm A đối với (C) và (C’).Xác định vị trí của điểm A đối với 2 đường tròn.
b,Tìm phương trình trục đẳng phương của (C) và (C’)
c,Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’).
Dạng toán 3 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
- Nên vẽ hình để đoán nhận tiếp tuyến chung dạng x = a
- Sau đó xet đường thẳng y = kx + b. Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn các khoảng cách từ tâm của mỗi đường tròn đến đường thẳng đó bằng bán kính của mỗi đường tròn tương ứng.
- Ta thiết lập hệ phương trình theo hai ẩn k, b. Giải hệ nnày ta có được k, b.
 Bài tập:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) : x2 + y2 - 6x + 5 = 0 (1)
(C2) : x2 + y2 - 12x – 6y + 44 = 0 (2)
Giải:
 Hai đường tròn (C1) và (C2) có tâm và 
bán kính là: I1(3;0), R1 = 2; I2(6;3), R2 = 1
Dễ dàng nhận ra 2 tiếp tuyến chung trong 
của (C1) và (C2) là : x = 5 va y = 2
Xét đường thẳng (d): y = kx + b kx – y + b = 0
d tiếp xúc với (C1) và (C2) 
=>(3k + b)2 = 4(6k + b – 3)2 =>
-Với b = -8k + 6, thay vào (1) ta được: 5k2 – 18k + 8 = 0
-Với b = -5k + 2, thay vào (1), ta được: 8k = 0=> k = 0; b = 2
Vậy: có 4 đường thẳn tiếp xúc với cả (C1) và (C2) là: 
x = 5; y = 2; y = x + ; y = x + 
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1) : x2 + y2 - 10x + 24y - 56 = 0 
(C2) : x2 + y2 - 2x – 4y - 20= 0