Chuẩn kiến thức môn Toán 11

 một dãy số đơn giản cho trước.
Ví dụ. Trong các dãy số được cho dưới đây, hãy chỉ ra dãy hữu hạn, vô hạn, tăng, giảm, bị chặn: 
2, 5, 8, 11. 
b) 1, 3, 5, 7, , 2n+1, ... 
c) , , , 
 d) 1, -1 , 1 , -1, 1, - 1, 
Ví dụ. Chứng minh rằng dãy số (un) với un = là một dãy số giảm và bị chặn.
Ví dụ. Xác định số thực a để dãy số (un) với un = là:
a) một dãy số tăng.
b) một dãy số giảm.
3. Cấp số cộng
Số hạng tổng quát của cấp số cộng.
Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.
Về kiến thức:
 Biết được: khái niệm cấp số cộng, tính chất , số hạng tổng quát un, tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Sn.
Về kỹ năng: 
 Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u1, un,, n, d, Sn.
Ví dụ. Cho cấp số cộng 1, 4, 7, 10, 13, 16,  Xác định u1, d và tính un, Sn theo n.
Ví dụ. Cho cấp số cộng mà số hạng đầu là 1 và tổng của 10 số hạng đầu tiên là 100. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Ví dụ. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) biết rằng u23 – u17 = 30 và =450.
4. Cấp số nhân
Số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Về kiến thức.
 Biết được: khái niệm cấp số nhân, tính chất , số hạng tổng quát un, tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Sn.
Về kỹ năng: 
 Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u1, un,, n, q, Sn.
Ví dụ. Cho cấp số nhân 1, 4, 16, 64,  Xác định u1, q và tính un, Sn theo n.
Ví dụ. Cho cấp số nhân mà số hạng đầu là 1 và tổng của 5 số hạng đầu tiên là 341. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
Ví dụ. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1 = 5un + 8 với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn = un + 2 là một cấp số nhân. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. 
IV. Giới hạn
1. Giới hạn của dãy số
Khái niệm giới hạn của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Dãy số dần tới vô cực.
Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn của dãy số (thông qua ví dụ cụ thể). 
- Biết (không chứng minh): 
+/ Nếu và và thì L 0 và .
+/ Định lí về: lim (un± vn), lim (un.vn), lim.
Về kỹ năng: 
- Biết vận dụng: = 0 với │q│< 1 để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ. Cho dãy số (un) với un = , nẻN*
 Chứng minh rằng .
 b) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng 0 < un < .
c) Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn.
Ví dụ. a) Tính ; b) Tính .
Ví dụ. Tính tổng của cấp số nhân: 
Ví dụ. Tính .
2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.
Một số định lí về giới hạn của hàm số.
Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số (giới hạn một bên, giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực).
Về kiến thức :
 Biết khái niệm giới hạn của hàm số, giới hạn một bên. 
- Biết (không chứng minh):
+ Nếu và với mọi x ≠ x0 thì L 0 và .
+ Định lí về giới hạn: , , .
Về kỹ năng:
 Trong một số trường hợp đơn giản, tính được:
- Giới hạn của hàm số tại một điểm;
- Giới hạn một bên;
- Giới hạn của hàm số tại ;
- Một số giới hạn dạng ; ; .
 Không dùng ngôn ngữ ε, δ để định nghĩa giới hạn của hàm số.
Ví dụ. Tính .
Ví dụ. Tính .
Ví dụ. Tính .
Ví dụ. Tính .
Ví dụ. Tính .
Ví dụ. Tính .
Ví dụ. Tính 
Ví dụ. Tính .
Ví dụ. Cho hàm số 
 Tìm các giới hạn sau (nếu có): , , .
3. Hàm số liên tục
Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng.
Một số định lí về hàm số liên tục.
Về kiến thức: 
 Biết được
- Định nghĩa hàm số liên tục (tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn). 
- Định lí về tổng, hiệu, tích, thương các hàm số liên tục. 
- Định lí về hàm đa thức, phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng
- Định lí (giá trị trung gian): Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f(c) = M.
Về kỹ năng: 
- Biết ứng dụng các định lí nói trên xét tính liên tục của một hàm số đơn giản.
- Biết chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian. 
Ví dụ. Xét tính liên tục của hàm số tại x = 3. 
Ví dụ. Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số đó liên tục tại x = 2.
Ví dụ. Chứng minh rằng phương trình x2cosx + xsinx + 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; π).
V. Đạo hàm 
1. Khái niệm đạo hàm
Định nghĩa.
Cách tính.
ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ học của đạo hàm.
Về kiến thức:
- Biết định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng). 
- Biết‏‎ ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ học của đạo hàm.
Về kỹ năng: 
- Tính được đạo hàm của hàm luỹ thừa, hàm đa thức bậc hai hoặc bậc ba theo định nghĩa. 
- Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.
- Biết tìm tốc độ tức thời tại một thời điểm của một chuyển động có phương trình S = f(t).
Ví dụ. Cho y = 5+ 3x + 1. Tính y’(2). 
Ví dụ. Cho y = - 3x. Tìm y’(x). 
 Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = biết rằng:
Tiếp điểm có hoành độ là 2.
Tiếp điểm có tung độ là 4. 
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Ví dụ. Một chuyển động có phương trình S =3+ 5t + 1 (t tính theo giây). Tính tốc độ tại thời điểm t = 1s (v tính bằng m/s). 
2. Các quy tắc tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm hợp.
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
Đạo hàm của hàm hợp.
Về kiến thức: 
 Biết quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số; hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp. 
Về kỹ năng: 
 Tính được đạo hàm của hàm số được cho ở các dạng nói trên.
Ví dụ. Tính đạo hàm của .
 Ví dụ. Tính đạo hàm của .
Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số: 
 a) y = (3x + 1)(x2 + 2)(3x5 + 6).
 b) y = 
3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Về kiến thức: 
- Biết được .
- Biết được đạo hàm của hàm số lượng giác. 
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng trong một số giới hạn dạng đơn giản.
- Tính được đạo hàm của một số hàm số lượng giác. 
Ví dụ. Tính 
 a) .
 b) .
Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = tan(3x).
b) y = tan(sinx).
4. Vi phân
Về kiến thức: 
 Biết được dy = y’dx. 
Về kỹ năng:
 Tính được
- Vi phân của một hàm số.
- Giá trị gần đúng của hàm số tại một điểm nhờ vi phân.
Ví dụ. Cho hàm số . Tính vi phân của hàm số tại điểm x = 2 ứng với Dx = 0,01. 
Ví dụ. Cho y =. Tính dy.
Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của sin 45°30’.
5. Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa.
Cách tính.
ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
Về kiến thức:
 Biết được định nghĩa đạo hàm cấp cao.
Về kỹ năng:
 - Tính được đạo hàm cấp cao của một số hàm số.
- Tính được gia tốc tức thời của một chuyển động có phương trình S = f(t) cho trước.
Ví dụ. Cho f(x) = x7. Tính (x).
Ví dụ. Một chuyển động có phương trình (t tính bằng giây ). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.
VI. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
1. Phép biến hình
Về kiến thức: 
 Biết được định nghĩa phép biến hình.
Về kỹ năng:
 - Biết một quy tắc tương ứng có là phép biến hình hay không.
- Dựng được ảnh của một điểm qua phép biến hình đã cho.
Ví dụ. Trong mặt phẳng, xét phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d.
 a) Dựng ảnh của điểm M theo phép chiếu đó.
 b) Phép chiếu đó có là phép biến hình không? 
2. Phép đối xứng trục
Định nghĩa, tính chất.
Trục đối xứng của một hình.
Về kiến thức:
 Biết được :
- Định nghĩa của phép đối xứng trục; 
- Phép đối xứng trục có các tính chất của phép dời hình;
- Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua mỗi trục toạ độ;
- Trục đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng.
Về kỹ năng: 
- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép đối xứng trục.
- Viết được biểu thức toạ độ của một điểm đối xứng với điểm đã cho qua trục Ox hoặc Oy.
- Xác định được trục đối xứng của một hình.
Ví dụ. Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và các điểm A, B, C. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục d . 
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm tam giác, H’ là điểm đối xứng của H qua cạnh BC. Chứng minh rằng H' thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
Ví dụ. 
a) Cho điểm M(1; 2). Xác định toạ độ của các điểm M’ và M” tương ứng là các điểm đối xứng của M qua các trục Ox, Oy. 
b) Cho đường thẳng d có phương trình y = 2x+3. Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua trục Oy.
Ví dụ. Trong số các hình sau: Tam giác cân, hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn, hình thang vuông ... hình nào có trục đối xứng? Chỉ ra các trục đối xứng (nếu có) của hình.
Ví dụ. Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi ngắn nhất.
3. Phép đối xứng tâm
Định nghĩa, tính chất. 
Tâm đối xứng của một hình.
Về kiến thức:
Biết được :
- Định nghĩa của phép đối xứng tâm; 
- Phép đối xứng tâm có các tính chất của phép dời hình;
- Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua gốc toạ độ;
- Tâm đối xứng của một hình, hình có tâm đối xứng.
Về kỹ năng: 
- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép đối xứng tâm.
- Xác định được biểu thức toạ độ của một điểm đối xứng với điểm đã cho qua gốc toạ độ.
- Xác định được tâm đối xứng của một hình.
Ví dụ. Cho điểm O và các điểm A, B, C. Hãy dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm tam giác, H’ là điểm đối xứng của H qua trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng H' thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
Ví dụ. Cho điểm M(1; 3), xác định toạ độ của điểm M’ là điểm đối xứng của M qua gốc toạ độ. 
Ví dụ. Cho ví dụ về hình mà nó có vô số tâm đối xứng.
Ví dụ. Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Hãy dựng đường thẳng d đi qua điểm A và cắt Ox, Oy tương ứng tại B và C thì A là trung điểm của BC.
4. Phép tịnh tiến
 Định nghĩa, tính chất, biểu thức toạ độ
Về kiến thức:
 Biết được:
- Định nghĩa của phép tịnh tiến; 
- Phép tịnh tiến có các tính chất của phép dời hình;
- Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến. 
Về kỹ năng: 
 Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua phép tịnh tiến.
Ví dụ. Cho vectơ và các điểm: A, B, C. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Ví dụ. Cho trước đường tròn tâm O và hai điểm A, B. Điểm N chạy trên (O). Tìm tập hợp điểm M sao cho 
Ví dụ. Cho điểm M(1; 2). Xác định toạ độ điểm M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ = (5; 7). 
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi O1, I1 tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác APN. Gọi O2, I2 tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác PBM. Gọi O3, I3 tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác MCN. Chứng minh: . 
5. Khái niệm về phép quay
Về kiến thức.
 Biết được:
- Định nghĩa của phép quay; 
- Phép quay có các tính chất của phép dời hình.
Về kỹ năng:
 Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép quay.
Ví dụ. Cho các điểm O, A, B, C. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O
a) góc quay 60 ngược chiều kim đồng hồ.
b) góc quay 90 theo chiều kim đồng hồ.
6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
Về kiến thức:
 Biết được:
- Khái niệm về phép dời hình; 
- Phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay là phép dời hình;
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì ta được một phép dời hình;
- Phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm được bảo toàn; biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến góc thành góc bằng nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
- Khái niệm hai hình bằng nhau. 
Về kỹ năng: 
- Bước đầu vận dụng phép dời hình trong bài tập đơn giản. 
- Nhận biết được hai tam giác bằng nhau; hai hình tròn bằng nhau.
Ví dụ. Qua phép dời hình, trực tâm, trọng tâm,của tam giác có được biến thành trực tâm, trọng tâm,của tam giác ảnh không?
Ví dụ. Hai tứ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’ và góc BAC bằng góc B’A’C’. Chứng minh rằng hai tứ giác đó bằng nhau. 
7. Phép vị tự
Định nghĩa, tính chất. 
Tâm vị tự của hai đường tròn.
Về kiến thức:
 Biết được:
- Định nghĩa phép vị tự (biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì );
- ảnh của một đường tròn qua một phép vị tự. 
Về kỹ năng: 
- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một đường tròn,... qua một phép vị tự.
- Bước đầu vận dụng được tính chất của phép vị tự trong bài tập.
Ví dụ. Cho điểm O, và các điểm A, B, C. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số 2.
Ví dụ. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Các đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên (O), tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác đó. 
Ví dụ. Dựng ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép vị tự tâm O tỉ số 3, biết rằng OI = 4. 
Ví dụ. Cho trước hai đường tròn (O; 2) và (O’;1) ở ngoài nhau. Phép vị tự nào biến đường tròn này thành đường tròn kia? 
Ví dụ. Tam giác ABC có H, G, O tương ứng là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
8. Khái niệm về phép đồng dạng và hai hình đồng dạng
Về kiến thức:
 Biết được :
- Khái niệm phép đồng dạng; 
- Phép đồng dạng: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm; biến đường thẳng thành đường thẳng; biến một tam giác thành tam giác đồng đạng với nó; biến đường tròn thành đường tròn;
- Khái niệm hai hình đồng dạng.
Về kỹ năng: 
- Bước đầu vận dụng phép đồng dạng trong bài tập. 
- Nhận biết được hai hình đồng dạng.
Ví dụ. Qua phép đồng dạng, trực tâm, trọng tâm,  của tam giác có được biến thành trực tâm, trọng tâm,  của tam giác ảnh không?
Ví dụ. Điểm C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB. Trên tia AC lấy điểm D, nằm về phía ngoài của nửa hình tròn, sao cho CD = BC. Tìm tập hợp điểm D.
VIII. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Mở đầu về hình học không gian. Các tính chất thừa nhận. 
Ba cách xác định mặt phẳng. 
Hình chóp và hình tứ diện.
Về kiến thức: 
- Biết các tính chất thừa nhận:
+/ Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
+/ Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
+/ Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
+/ Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác.
+/ Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
- Biết được ba cách xác định mặt phẳng (qua ba điểm không thẳng hàng; qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt nhau).
- Biết được khái niệm hình chóp; hình tứ diện.
Về kỹ năng: 
- Vẽ được hình biểu diễn của một số hình không gian đơn giản.
- Xác định được: giao tuyến của hai mặt phẳng; giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng;
- Biết sử dụng giao tuyến của hai mặt phẳng chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian.
- Xác định được: đỉnh, cạnh bên, cạnh đáy, mặt bên, mặt đáy của hình chóp.
Ví dụ. Cho tam giác ABC ở ngoài mặt phẳng (P), các đường thẳng AB, BC, CA kéo dài cắt mặt phẳng (P) tương ứng tại D, E, F. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Ví dụ. Vẽ hình biểu diễn của hình chóp tứ giác. Chỉ ra đỉnh, cạnh bên, cạnh đáy, mặt bên, mặt đáy, của hình chóp đó.
Ví dụ. Cho biết hình biểu diễn của: một tam giác bất kỳ; hình bình hành; hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông; hình thang cân; hình thang vuông.
Ví dụ. Hình nào trong hai hình sau biểu diễn tứ diện “tốt hơn”? 
Hình 1
Hình 2
Ví dụ. Người ta thường nói “vững như kiềng 3 chân” tại sao? 
Ví dụ. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CD, A’B’. Xác định giao tuyến của mặt phẳng đi qua M, N, P với các mặt của hình lập phương.
2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. 
Hai đường thẳng song song.
Về kiến thức: 
- Biết được khái niệm hai đường thẳng: trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau trong không gian.
- Biết (có chứng minh) định lí: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song (hoặc trùng) với một trong hai đường đó”.
Về kỹ năng: 
- Xác định được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
- Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song.
- Biết áp dụng định lí trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản.
Ví dụ. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. 
a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của SC, SD. Các đường thẳng AB và MN có song song với nhau không?
b) các đường thẳng SC và AB là hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau, hay trùng nhau?
Ví dụ. Trên cạnh AB của tứ diện ABCD lấy hai điểm phân biệt M, N. Chứng minh rằng CM , DN là hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ. Hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Ví dụ. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Có hay không hai đường thẳng cắt nhau c và d và mỗi đường đều cắt cả hai đường thẳng đã cho?
3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Về kiến thức: 
- Biết được khái niệm và điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng. 
- Biết (không chứng minh) định lí: “ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P thì mọi mặt phẳng Q chứa a và cắt P thì cắt theo giao tuyến song song với a”.
Về kỹ năng : 
- Xác định được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. 
- Biết cách vẽ một đường thẳng song song với một mặt phẳng; chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
- Biết dựa các định lí trên xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản.
Ví dụ. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, chỉ ra trên hình vẽ các đường thẳng:
+ Song song với mặt phẳng (A’B’C’D’) ; 
+ Cắt mặt phẳng (BCC’B’) ; 
+ Nằm trong (thuộc) mặt phẳng (ABCD).
Ví dụ. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi. 
a) Chứng minh AB song song với mặt phẳng(SCD).
b) Gọi M là trung điểm của SC, xác định giao tuyến của mặt phẳng (BAM) và (SCD).
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD và M là trung điểm của cạnh AD. Mặt phẳng P đi qua điểm M và đồng thời song song với AC và BD. Xác định giao tuyến của P với các mặt của tứ diện đã cho.
4. Hai mặt phẳng song song. Hình lăng trụ và hình hộp
Về kiến thức:
 Biết được:
- Khái niệm và điều kiện hai mặt phẳng song song; 
- Định lí Ta-lét (thuận và đảo) trong không gian;
- Khái niệm hình lăng trụ, hình hộp;
- Khái niệm hình chóp cụt.
Về kỹ năng: 
- Biết cách chứng minh hai mặt phẳng song song.
- Vẽ được hình biểu diễn của hình hộp; hình lăng trụ, hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác.
- Vẽ được hình biểu diễn của hình chóp cụt với đáy là tam giác, tứ giác.
Ví dụ. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. 
a) Mặt phẳng (A’B’C’D’) có cắt mặt phẳng (ABCD) không? 
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (AB’D’) // (BDC’). 
Ví dụ. Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ với đáy là tứ giác đều. 
Ví dụ. Vẽ hình biểu diễn của hình chóp cụt với đáy là tam giác đều. Chỉ ra trên hình vẽ mặt đáy, mặt bên, cạnh đáy, cạnh bên của chóp cụt đó.
Ví dụ. Cho lăng trụ ABCA’B’C’có M là trung điểm của CA’. Mặt phẳng P đi qua điểm M và đồng thời song song với AB’ và BC’. Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng P.
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự chạy trên các cạnh AD và BC sao cho. Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. 
5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Về kiến thức:.
Biết được:
- Khái niệm phép chiếu song song; 
- Khái niệm hình biểu diễn của một hình không gian.
Về kỹ năng: 
- Xác định được: phương chiếu; mặt phẳng chiếu trong một phép chiếu song song. Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua một phép chiếu song song.
- Vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian đơn giản.
Ví dụ. Xác định hình chiếu của một đường thẳng qua phép chiếu song song trong các trường hợp: 
- đường thẳng đó song song với phương chiếu. 
- đường thẳng đó không song song với phương chiếu.
Ví dụ. Hình chiếu song song của một hình bình hành có là một hình bình hành không? 
Ví dụ. Vẽ hình biểu diễn của: tam giác đều, hình thang vuông, hình bình hành, hình thoi.
Ví dụ.