Chuyên đề 1: Tọa độ phẳng

 CHUYÊN ĐỀ 1 
TỌA ĐỘ PHẲNG 
 Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ 
một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng 
phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. 
 Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: 
 Cho a = ( , = ta có: G bG )
G G
G G
)1 2a , a ( 1 2b , b
 a = G b
G ⇔ 1
2
1
2
a = b
a = b
⎧⎨⎩
 a + = ( , ) b 1 1a + b 2 2a + b
 a – = ( , ) b 1 1a - b 2 2a - b
 ka = (k , k ) (k G 1a 2a ∈ R) 
 α + = ( + aG β bG α 1a β 1b , α 2a + β 2b ) 
 a . = + G
G
b 1a 1b 2a 2b
 . Với các quan hệ về độ dài ta có: 
 a = ( , ) G 1a 2a ⇒ aG = 2 21 2a + a 
( )
( )
A A
B B
A x , y
B x , y
⎧⎪⎨⎪⎩
 ⇒ ABJJJG = ( – , – ) Bx Ax By Ay
 và AB = ( ) ( )2 2B A B Ax - x y - y+ 
 . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: 
 a + = 0 G
G
G G
⊥ b ⇔ 1a 1b 2a 2b
 cùng phương a b ⇔ GGsin(a, b) = 0 ⇔ – = 0 1a 2b 2a 1b
 ⇔ 1
1
a
b
 = 2
2
a
b
 ( , 1b 2b ≠ 0) 
 A, B, C thẳng hàng ⇔ ABJJJG cùng phương ACJJJG 
 ⇔ B A B A
C A C A
x - x y - y
x - x y - y
 = 0 
 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: 
 - Góc hình học tạo bởi hai vectơ aG , b
G
 được suy từ công thức: 
cos(na, b
GG
) = 1 1 22a b + a b
a . b
GG (1) 
 - Số đo góc định hướng của hai vectơ aG , b
G
 ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong 
hai công thức: 
GGsin(a, b) = 1 2 1GG 2
a b - a b
a . b
GGtg(a, b) = 1 2 1
1 1 2
2
2
a b - a b
a b + a b
 Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: 
 . M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB Mx My
 ⇔ 2
2
A B
M
A B
M
x + xx = 
y + yy = 
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
 . G( , ) là trọng tâm của Gx Gy Δ ABC 
 ⇔ 3
3
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
A B
G
A B
G
x + x + xx = 
y + y + yy = 
C
C
 . I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong 
ABC thì: 
Ix Iy Jx Jy
Δ
 IB
IC
JJG
JJG
 = − JJJGJB
JC
JJJG
 = − AB
AC
 . Với A( , ), B( , ), C( , ) thì diện tích tam giác ABC là: Ax Ay Bx By Cx Cy
 S = 1
2
Δ với Δ = B A B A
C A C A
x - x y - y
x - x y - y
Ví dụ 1: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). 
 a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. 
 b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3AM
JJJJG
BM
JJJJG
 - 4 CM
JJJJG
 = 0
G
c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên 
Ox. 
d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC. Δ
e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. 
Giải 
a) D là điểm đối xứng của A qua B 
 B là trung điểm của AD ⇔
 ⇔
A D
B
A D
B
x + xx = 
2
y + yy = 
2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
 hay D(–2, 7) ⇔ ( )( )
− −⎧⎪⎨ −⎪⎩
D B A
D B A
x = 2x x = 2 0 2 = 2
y = 2y y = 2 3 + 1 = 7
−
JJJJG JJJJG
b) Ta có: 2 + 3 BM – 4 CMAM
JJJJG
 = 0
G
 = ( 0, 0 ) 
⇔ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
− − − −⎧⎪⎨ − − −⎪⎩
M M M
M M M
2 x 2 + 3 x 0 4 x 4 = 0
2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0
⇔ hay M(–12, –1) −⎧⎨ −⎩
M
M
x = 12
y = 1
c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. 
⇔ Ey = 0
CE 
⎧⎪⎨ ΑΒ⎪⎩
JJJG JJJG
//
⇔ 
E
E E
y = 0
x - 4 y - 2 = 
0 - 2 3 + 1
⎧⎪⎨⎪⎩
⇔ hay E(5, 0) E
E
y = 0
x = 5
⎧⎨⎩
d) H là trực tâm của ABC Δ
⇔ AH BC
BH AC
⊥⎧⎨ ⊥⎩ ⇔ 
AH.BC = 0
BH.AC = 0
⎧⎪⎨⎪⎩
JJJJG JJJG
JJJJGJJJG 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
4 1 2
4 2 3 2 1 0
− − + + − =⎧⎪⎨ − − + − + =⎪⎩
H H
H H
x 2 0 y
x 0 y
3 0
2 3 9
H H
H H
x y
x y
− − =⎧⎨ + − =⎩
⇔ 4 9 0
0
⇔ 
18
7
9
7
H
H
x
y
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 hay H 18
7
9,
7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
G là trọng tâm ABC ta có: Δ
2 0 4 2
3 3
1 3 2 4
3 3
A B C
G
A B C
G
x x xx
y y yy
+ + + +⎧ = =⎪⎪⎨ + + − + +⎪ = =⎪⎩ 3
=
=
 hay G 42
3
,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
+ I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC 
⇔ IA = IB = IC ⇔ 
2 2
2 2
IA IB
IA IC
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
⇔ ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) (
2 2 2
2 2 2
2 1 0 3
2 1 4 2
I I I
I I I
x y x
x y x
⎧ − + − − = − + −⎪⎨ − + − − = − + −⎪⎩
)
)
2
2
I
I
y
y
0
0
⇔ 4 8 4
4 6 15
I I
I I
x y
x y
− + − =⎧⎨ + − =⎩
⇔ 
24 12
14 7
19
14
I
I
x
y
⎧ = =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 hay I 12 19
7 14
,⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
e) Ta có : = HG
JJJJG 4 1
7 21
,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ và HI
JJJG
 = 6 1
7 14
,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇒ 
4
7
6
7
−
−
 = 
1
21
1
14
 = 2
3
⇒ cùng phương với HGJJJJG HIJJJG 
⇒ H, I, G thẳng hàng. 
Ví dụ 2: 
Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính 
cos ( AO
JJJG
, AB
JJJG
) và diện tích tam giác ABC. 
Giải 
 Ta có: AO
JJJG
 = (–2, –2 3 ), AB
JJJG
 = (–1, 3 ) = ( a1;a2 ) 
 cos( AO
JJJG
, AB
JJJG
) = 2 6
4 12 1 3.
−
+ + = 
1
2
− 
JJJG
AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) 
⇒ 1 2 2 112= −ABCS a b a b = 
1 1 3 3 3
2
− − − −( )( ) ( ) = 2 3 
* * *