Chuyên đề Bất Đẳng Thức

Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):
- Với ( do .
- Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với .
Do khẳng định đúng với 
Vì 
Mà vế phải bằng 
Vậy khẳng định đúng với 
Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.
 Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta luôn có :
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
  (2)
  (3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức 
Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:
Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:
Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:
Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
bất đẳng thức Schur
bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với a,b,c là các số thưc không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực x, y, và z.
Chứng minh 
Ta có thể giả sử một cách tổng quát rằng dựa vào tính chất đối xứng của bất đẳng thức. Biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:
Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm.
Bất đẳng thức cộng Chebyshev
Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho
và
thì
Tương tự, nếu
và
thì
 Chứng minh 
Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng qui tắc sắp xếp bất đẳng thức.
Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau
và
Vậy thì, theo qui tắc sắp xếp bất đẳng thức, ta có
là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.
Cộng vế theo vế, ta có:
chia cả hai vế cho n2, ta nhận được:
(điều phải chứng minh)
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy.
Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong
Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.
Chứng minh 
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử khác zero. Giả sử λ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:
Chọn
chúng ta được
mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
hay tương đương:
(điều phải chứng minh)
Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý 
Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành 
. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng: 
Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức
Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có 
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.
Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz 
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel.
Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si
Trong khi học Bàn về  kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất .Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si.
Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp.
Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:
a. 
b.
c.
d. 
Giải: 
a.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất.
Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau:
(dấu = xảy ra khi )
Như vậy ta áp dụng như sau: 
cộng dồn lại rồi suy ra.
b. Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này.
Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:
(dấu = xảy ra khi )
(dấu = xảy ra khi )
(dấu = xảy ra khi )
Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có 
suy ra: (*)
Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.
c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:
(dấu = xảy ra tại )
(dấu = xảy ra tại )
(dấu = xảy ra tại )
Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z
Vậy ta suy ra dễ dàng: (*)
Đồng thời với dấu = xảy ra và đk (*) bạn có thể tìm được biệt số.
d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều. Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi.
như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi.
Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: . Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên)
Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá trị lớn nhất:
a.
b. 
c. 
d. 
Giải:
Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:
a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được)
Ta có:
dấu = xảy ra khi: 
Suy ra: 
Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx. Nên khi đó: 
Như vậy ta được hệ phương trình sau:
abd=cef
a+b=1
c+d=1
e+f=2 
Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải được có điều hơi dài. Tuy nhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phân tích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f. Như vậy thì đơn giản hơn đúng không?
Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút. Nhưng có một phương pháp rất hay và mới:
Xét biểu thức:
Với 
Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ đây bạn có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f. 
Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của:
Với các dạng bài này thì phương pháp cũng tương tự nhau nên dành cho các bạn vậy! Xem như đây là một bài luyện tập
Ngoài ra đôi lúc trong việc tìm cực trị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy được đó là điểm rơi trong côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v... Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cô-Si. 
BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG
Bất đẳng thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực và ( ) thì ta có:
Ta sẽ chứng minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số , và ta được BĐT (1).
Đẳng thức xảy ra khi 
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT
(Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản để các bạn có thể chứng minh BĐT, còn phần đẳng thức xảy ra thì các ban có thể dễ dàng tìm ra nên không trình bày )
Ví dụ 1:Chứng minh rằng với các số dương a,b,c ta đều có :
Lời giải: Ycbt (yêu cầu bài toán) 
Áp dụng BĐT (1) được: suy ra ĐPCM
Ví dụ 2: chứng minh rằng với các số dương a,b,c thoả mãn ta có:
Lời giải: Áp dụng BĐT (1) được
Ta có BĐT quen thuộc , suy ra (vì (ĐPCM)
Ví dụ 3: chứng minh rằng với các số dương a,b,c thì 
Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy ra
Mà ta có BĐT quen thuộc , thay vào bên trên ta suy ra ĐPCM.
Ví dụ 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = 1. CMR 
Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được:
Theo BĐT côsi ta có 
Từ đó suy ra 
(ĐPCM)
Ví dụ 5:Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải: Ta có 
Ta lại có 
Từ đó suy ra , đạt được tại 
Ví dụ 6:Cho a,b,c > 0 và thoả mãn a+b+c =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có và 
Từ đó 
Áp dụng BĐT Svacxơ được 
Mặt khác ta lại có 
Vậy , suy ra minQ = 30, đạt được tại 
BĐT tam giác
là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.
Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide,    Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn
Không gian vectơ định chuẩn
Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||     với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó.
Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:
Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó.
Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:
bất đẳng thức becnuli
bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x.
Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:
với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:
với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:
Chứng minh:
Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng.
Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: 
Cần chứng minh: 
Thật vậy, (vì theo giả thiết ) (vì )
=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1.
Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi 
Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì
với r ≤ 0 or r ≥ 1, và
với 0 ≤ r ≤ 1.
Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm.
Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên.
 Các bất đẳng thức liên quan 
Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có
với e = 2.718.... Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e.
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị
Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất.
Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3
Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:
Bài 1: Cho .Tìm Min của: 
Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk 
Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì và 
Ta áp dụng Cosi như sau: ta có 
Khi đó kết hợp với đk ta có 
Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:
Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:
Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có .Thay vào ta có 
Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: 
P=++>=
Giải: 
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng .Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm rơi".
Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta được ngay:
Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1.
Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn:
Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:
P= + +
MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN
Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có một kĩ thuật là ta đi chứng minh :   .Nếu chứng minh được như thế , từ điều kiện ta suy ra được .Sau đây là một số ví dụ:   
Ví dụ 1.Cho ,chứng minh : 
Giải : Ta có : 
mà nên 
nên 
Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng :
Giai: Ta có : 
Mà 
Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng :
Giải:  Ta có : 
(x,y là các số dương)
tương tự 2 bài trên ta suy ra 
Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ cho các bạn giải toán ,đặc biệt là những ai yêu bài toán BĐT .HẾT
ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG  
A. GIỚI THIỆU
Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn tồn tại   sao cho:
Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau:
            I. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức.
            II. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm.
            III. Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình.
B. NỘI DUNG 
I. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
* Phương pháp 
            Từ định lí Lagrange , nếu thì:
            Vậy
            Từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định được hàm số F(x). 
*Ví dụ minh họa
VD1: CMR nếu   th×: 
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 
Xét hàm số: liên tục trên, và có đạo hàm trong khoảng . Theo định lí Lagrange luôn tồn tại   sao cho:   
Ta có:
(đpcm).
NX: Điều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra được hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT đã cho. Ta xét VD 2  
VD 2: Cho . Chứng minh: 
Giải
BĐT đã cho tương đương với: 
Đặt với 
Ta có: 
            AD định lí Lagrange đối với hàm số: trên , thì tồn tại sao cho:
. Từ (1) suy ra: 
Suy ra:   (đpcm). 
NX: Bài này khó hơn bài trên ở chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế mới nhận ra đựơc hàm số f (x). 
VD 3: Cho a<b<c. CMR: 
Giải
Xét hàm số: 
Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:
Ta thấy: 
Từ (1) 
Do đó, từ . Suy ra:
II. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.
*Phương pháp: 
            Từ định lí Lagrange, nếu F(b)-F(a)=0 thì tồn tại sao cho:
                        phương trình   có nghiệm thuộc 
            Để áp dụng được định lí Lagrange phải nhận ra hàm số F (x) (thực ra nó là nguyên hàm của hàm số f(x)).
            Dạng bài toán này làm theo các bước sau:
            Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn:
                        a. F'(x)=f(x).
                        b. F(b)-F(a)=0.
            Bước 2: Khi đó tồn tại sao cho:
                        phương trình f(x)= 0 có nghiệm .
*Ví dụ minh hoạ:        
VD1: CMR phương trình:
            có nghiệm với mọi a,b,c.
Giải
Xét hàm số: 
Dễ dàng nhận thấy:
Khi đó tồn tại sao cho:
            Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng .
VD 2: Giả sử: . CMR phương trình:
                        có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)     
Giải
Xét hàm số: liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1). Ta có:
Khi đó tồn tại sao cho:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1). 
Từ VD2 ta có thể giải được bài toán sau: 
VD3: Giả sử: . CMR phương trình:
            có nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Giải
Xét hàm số: 
Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1).
Ta có:
Khi đó tồn tại sao cho:
V ì n ên ta c ó: .
V ậy ph ư ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1). 
III. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GI ẢI PH Ư ƠNG TR ÌNH.
* Phương pháp: 
            Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau đây:
            Bước 1: Gọi l à nghi ệm c ủa ph ư ơng tr ình.
            Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp , từ đó chỉ ra hàm số liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
            Khi đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:
                                                                                (*)
            Bước 3: Giải (*), ta xác định được .
            Bước 4: Thử lại
* Ví dụ minh họa:
VD 1: Giải phương trình: .
Giải
            Gọi là nghiệm của phương trình đã cho. Ta được:
            (1)
            Xét hàm