Chuyên đề Bất đẳng thức hình học

 goùc phaúng cuûa moät goùc tam dieän beù hôn toång hai goùc phaúng kia. 
Chöùng minh: 
Neáu taát caû caùc goùc phaúng cuûa goùc tam dieän SABC ñeàu baèng nhau thì roõ raøng ñònh lí 
ñuùng. 
Giaû söû 
 
ASC BSC> 
Trong nöûa maët phaúng ( ),CS A (töùc laø nöûa maët phaúng xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng CS vaø 
ñieåm A) döïng goùc 
CSD , baèng goùc 
CSB . Nhö vaäy, tia SD ôû giöõa goùc 
CSA . Giaû söû 
ñöôøng thaúng AC caét tia SD ôû ñieåm D vaø giaû söû SB SD= . Deã daøng thaáy raèng nhö vaäy 
BC CD= . Vì AC AB BC< + , neân AD AB< . 
So saùnh 2 tam giaùc ASD vaø ASB, ta nhaän thaáy 
 
ASD ASB< 
Theâm vaøo hai veá cuûa baát ñaúng thöùc ñoù caùc goùc töông öùng baèng nhau CSD vaø CSD, ta 
ñöôïc 

 
 
ASC ASB CSB< + 
ñoù laø ñieàu phaûi chöùng minh. 
Chuù yù: Ñònh lí veà goùc cuûa tam dieän treân ñöôïc töông töï töø baát ñaúng thöùc trong tam giaùc. 
Nhöng khoâng neân nghó raèng söïø töông töï giöõa caùc ña giaùc phaúng vaø goùc ña dieän laø hoaøn 
toaøn: coù theå chæ ra nhöõng tính chaát cuûa ña giaùc phaúng khoâng chuyeån ñöôïc sang cho goùc 
ña dieän; maët khaùc, coù theå nhaän thaáy nhöõng tính chaát cuûa goùc ña dieän maø khoâng coù tính 
chaát töông töï trong ña giaùc phaúng. Coù theå xaùc nhaän ñieàu ñoù baèng ví duï ñôn giaûn sau 
ñaây: 
Nhö ñaõ bieát, toång caùc goùc cuûa moät ña giaùc phaúng n caïnh baèng ( 2)npi − , cho neân toång 
aáy chæ phuï thuoäc vaøo n, coøn toång cuûa caùc goùc ngoaøi cuûa ña giaùc thì khoâng phuï thuoäc n 
vaø baèng 2pi ( )( 2) 2n npi pi pi− − = . Coù nhöõng ví duï cho ta thaáy raèng nhöõng söï kieän ñoù 
khoâng theå chuyeån sang caùc goùc ña dieän ñöôïc. Chaúng haïn, haõy xeùt goùc tam dieän Oxyz 
taïo bôûi caùc tia α döông cuûa heä toïa ñoï ñeà-caùc vuoâng goùc trong khoâng gian. Caùc goùc nhò 
dieän ñeàu vuoâng vaø coù toång baèng 3pi . Coâng thöùc veà toång caùc goùc trong maët phaúng 
( 2)npi − khoâng coøn hieäu löïc nöõa. 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 63 
Vd 1: Tia SC′ naèm beân trong goùc tam dieän SABC ñænh S. Chöùng minh raèng toång caùc 
goùc phaúng cuûa goùc tam dieän SABC lôùn hôn toång caùc goùc phaúng cuûa goùc tam 
dieän SABC′ . 
Giaûi: 
Giaû söû K laø giao ñieåm cuûa maët SCB vaø ñöôøng thaúng AC′ . Xeùt hai goùc tam dieän SKBC′ 
vaø SACK, theo ñònh lí 2 ta coù: 
 
 
 
 ( ) 1C SK KSB C SB′ ′+ > 
vaø 
 
 
 
 
 ( ) 2CSA CSK ASK ASC C SK′ ′+ > = + 
Coäng (1) vaø (2) ta ñöôïc 
 
 
 
 
 ( ) 3CSA CSK KSB ASC C SB′ ′+ + > + 
Maø 
 
 
CSK KSB CSB+ = neân suy ra 
 
 
 
 
 
 
CSA CSB ASB ASC C SB ASB′ ′+ + > + + (ñpcm) 
Vd 2: Moät ñieåm O naèm treân ñaùy cuûa hình choùp tam giaùc SABC. Chöùng minh raèng toång 
caùc goùc giöõ tia SO vaø caùc caïnh beân nhoû hôn toång caùc goùc phaúng taïi ñænh S vaø lôùn hôn 
moät nöõa toång ñoù. 
Giaûi: 
 Theo ñònh lí 2 vôùi goùc tam dieän SABO ta coù 
 
 
ASB ASO BSO< + xaây döïng theâm hai baát 
ñaúng thöùc töông töï ta ñöôïc 
 
 
 
 
 
( )1
2
ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + > + + . 
Laïi vì tia SO naèm beân trong goùc tam dieän SABC, neân 
 
 
 
ASO BSO CSA BSC+ < + (söû 
duïng keát quaû (3) cuûa baøi toaùn ví duï 1). Töông töï ta ñöôïc 

 
 
 
 
 
ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + < + + 
Hay 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )1
2
CSA BSA BSC ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + > + + > + + . (ñpcm) 
Ñònh lí 2: 
Toång caùc goùc phaúng cuûa moät goùc ña dieän loài luoân beù hôn 2pi . 
Chöùng minh: Tröôùc tieân ta haõy xeùt goùc tam dieän SABC. Giaû söû SA′ laø tia buø cuûa tia 
SA. Theo ñònh lí 1 (aùp duïng vaøo goùc tam dieän SA BC′ ): 

 
 
BSC BSA A SC′ ′< + 
töùc laø: 

 
 
( ) ( )BSC BSA ASCpi pi< − + − 
töø ñoù suy ra ngay: 

 
 
 2BSC CSA ASB pi+ + < 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 64 
Ta xeùt goùc ña dieän loài 1 2... nSA A A . Choïn hai maët caùch nhau moät cuûa goùc ña dieän laø 
1i iSA A + vaø 2 3i iSA A+ + . Giaû söû SP laø giao tuyeán cuûa 2 maët ñoù, khi ñoù , tia naøy vaø goùc ña 
dieän ñaõ cho naèm veà hai phía khaùc nhau cuûa maët phaúng 1i iSA A + . 
Vì 
 
 
1 2 1 1 i i i iA SA A SP A SP+ + + +< + 
neân toång caùc goùc phaúng cuûa n-dieän ñaõ cho beù hôn toång caùc goùc phaúng trong 
( 1)-n − dieän: 1 2 3i i nSA A A PA A+  . Neáu 1 3n − = thì ñònh lí ñaõ ñöôïc chöùng minh. Neáu 
4n > thì coù theå aùp duïng pheùp döïng treân ñaây ñoái vôùi goùc ( 1)-n − dieän coù ñöôïc, nhö vaäy, 
soá maët cuûa noù giaûm moät ñôn vò, ñoàng thôøi toång caùc goùc phaúng cuûa noù laïi taêng leân. Sau 
höõu haïn pheùp döïng nhö theá, chuùng ta seõ ñöôïc moät goùc tam dieän, maø ñoái vôùi moät goùc 
tam dieän thì ñònh lí ñaõ ñöôïc chöùng minh. 
Chuù yù raèng: yeâu caàu goùc ña dieän phaûi loài laø quan troïng ñoái vôùi meänh ñeà noùi treân. Ta coù 
theå thaáy raèng toång caùc goùc phaúng cuûa moät goùc ña dieän khoâng loài coù theå lôùn tuøy yù. 
Ví duï 3: Moät ñöôøng cheùo cuûa hình hoäp chöõ nhaät taïo vôùi caùc caïnh cuûa noù caùc 
goùc , ,α β γ . Chöùng minh raèngα β γ pi+ + < . 
Giaûi: 
Giaû söû O laø taâm hình hoäp chöõ nhaät 1 1 1 1.ABCD A B C D . Ñöôøng cao OH cuûa tam giaùc caân 
AOC song song vôùi caïnh 1AA , vì vaäy
 2AOC a= , ôû ñoù α laø goùc giöõ caïnh 1AA vaø ñöôøng 
cheùo 1AC . Lí luaän chöùng toû raèng caùc goùc phaúng cuûa goùc tam dieän 1OACD baèng 2 ,2α β 
vaø 2γ vôùi &β γ laø goùc giöõa caïnh AB vaø AD vôùi ñöôøng cheùo 1AC . Aùp duïng ñònh lí ta 
coù 2 2 2 2α β γ pi+ + < hay α β γ pi+ + < (ñpcm) 
Chuù yù: Moät söï töông töï hoaøn toaøn veà tính chaát seõ ñöôïc thöïc hieän, neáu so saùnh goùc ña 
dieän, khoâng phaûi vôùi ña giaùc phaúng maø laø ña giaùc caàu, ñöôïc taïo neân taïi giao cuûa caùc 
maët cuûa goùc ña dieän vôùi maët caàu coù taâm ôû ñænh cuûa noù. Coù theå giaûi thích söï töông töï 
ñoù, neáu chuù yù raèng, vôùi 1R = thì moãi caïnh cuûa moät ña giaùc caàu coù soá ño baèng goùc 
phaúng töông öùng cuûa goùc ña dieän, vaø moãi goùc cuûa ña giaùc caàu coù soá ño baèng goùc nhò 
dieän giöõa caùc maët töông öùng vì noù ñöôïc ño bôûi goùc giöõa caùc tieáp tuyeán vôùi caïnh cuûa ña 
giaùc caàu taïi ñænh chung cuûa chuùng. 
Ñeå ruùt ra nhöõng tính chaát quan troïng nhaát cuûa goùc tam dieän, nhieàu khi ta duøng tôùi 
goùc tam dieän buø. Goùc tam dieän SA B C′ ′ ′ ñöôïc goïi laø buø vôùi goùc tam dieän SABC neáu: 
tia SA′ (töông öùng ,SB SC′ ′ ) vuoâng goùc vôùi maët phaúng SBC (töông öùng SCA, SAB) vaø 
naèm cuøng phía vôùi tia SA (töông öùng SB, SC) ñoái vôùi maët phaúng ñoù. 
Ta coù nhöõng tính chaát quan troïng nhaát veà goùc tam dieän vaø goùc tam dieän buø vôùi 
chuùng: 
 1) Neáu SA B C′ ′ ′ laø goùc tam dieän buø cuûa SABC thì SABC laø goùc tam dieän buø cuûa 
SA B C′ ′ ′ (tính töông hoã) 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 65 
 2) Moãi goùc phaúng cuûa moät goùc tam dieän seõ buø vôùi goùc phaúng cuûa goùc nhò dieän 
töông öùng (nghóa laø goùc nhò dieän coù caïnh vuoâng goùc vôùi maët phaúng cuûa goùc phaúng) cuûa 
goùc buø. 
 3) Neáu hai goùc tam dieän baèng nhau (coù theå truøng khít vôùi nhau) thì caùc goùc buø cuûa 
chuùng cuõng baèng nhau. 
Ñònh lí 3: 
Toång caùc goùc nhò dieän cuûa moät tam dieän luoân pi> vaø 3pi< 
Chöùng minh: 
 Cho , ,α β γ laø nhöõng goùc nhò dieän cuûa moät goùc tam dieän cho tröôùc; , ,α β γ′ ′ ′ laø goùc 
phaúng töông öùng cuûa goùc tam dieän buø. Theo tính chaát 2): 
, , ,α pi α β pi β γ pi γ′ ′ ′= − = − = − 
vaø theo ñònh lí 2: 
0 α β γ pi′ ′ ′< + + < 2 , 
Vaäy 0 ( ) ( ) ( ) 2 ,pi α pi β pi γ pi< − + − + − < 
töø ñoù suy ra ngay: 
3pi α β γ pi< + + < 
vaø ñoù laø ñieàu phaûi chöùng minh 
Boå sung theâm vaøo ñònh lí aáy, chuùng ta nhaän thaáy raèng toång caùc nhò dieän cuûa moät goùc 
tam dieän coù theå gaàn 3pi tuøy yù. Thaät vaäy, chaúng haïn töôûng töôïng ñænh S cuûa hình choùp 
tam giaùc SABC, chuyeån ñoäng teo ñöôøng cao SP cuûa hình choùp aáy vaø tieán gaàn voâ haïn 
ñeán maët phaúng ñaùy, thì roõ raøng moãi nhò dieän cuûa moät goùc tam dieän SABC trong khi 
taêng daàn seõ tieán daàn voâ haïn ñeán moät goùc beït. 
Vd: a) Chöùng minh raèng toång caùc goùc giöõ caùc caïnh cuûa goùc tam dieän ñoái vôùi caùc maët 
ñoái cuûa noù khoâng vöôït qua toång caùc goùc phaúng cuûa noù. 
 b) Chöùng minh raèng neáu caùc goùc nhò dieän cuûa moät goùc tam dieän laø caùc goùc nhoïn, 
thì toång caùc goùc giöõ caùc caïnh cuûa noù vôùi caùc maët ñoái khoâng nhoû hôn nöõa toång caùc goùc 
phaúng cuûa noù. 
Giaûi: 
a)Giaû söû , ,α β γ laø caùc goùc giöõ caùc caïnh SA, SB vaø SC vôùi caùc maët cuûa chuùng. Vì goùc 
giöõa maët phaúng l vôùi maët phaúng pi khoâng vöôït quaù goùc giöõa ñöôøng thaúng l vôùi moät 
ñöôøng thaúng baát kì cuûa maët phaúng pi , neân 
 
 
, &ASB BSC CSAα β γ≤ ≤ ≤ . 
Baøi toaùn naøy cho ta cho ta moät keát quaû maïnh hôn laø: goùc giöõa caïnh cuûa goùc tam dieän 
ñoái vôùi maët ñoái cuûa noù nhoû hôn goùc phaúng nhoû nhaát cuûa goùc tam dieän keà vôùi caïnh ñoù. 
b)Caùc goùc nhò dieän cuûa goùc tam dieän SABC laø caùc goùc nhoïn, vì vaäy hình chieáu 1SA cuûa 
tia SA treân maët phaúng SBC maèn beân trong goùc BSC. 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 66 
Vì vaäy töø caùc baát ñaúng thöùc 
 
 
1 1ASB BSA ASA≤ + vaø 
 
 
1 1ASC CSA ASA≤ + 
suy ra raèng 
 
 
 
1– 2ASB ASC BSC ASA+ ≤ 
Vieát caùc baát ñaúng thöùc töông töï ñoái vôùi caùc caïnh SC vaø SD roài coäng chuùng laïi, ta ñöôïc 
ñieàu phaûi chöùng minh. 
II-Daáu hieäu baèng nhau cuûa goùc tam dieän 
Treân caùc caïnh cuûa moät goùc tam dieän choïn 3 ñieåm töông öùng: A, B, C. Neáu töø ñænh cuûa 
goùc tam dieän ta thaáy chieàu quay cuûa ∆ABC theo chieàu kim ñoàng hoà, thì ta noùi raèng goùc 
tam dieän ñaõ cho coù höôùng thuaän, ngöôïc laïi ta noùi noù coù höôùng nghòch. 
Nhaän xeùt treân caàn thieát cho nhöõng phaàn sau: neáu ñænh S vaø hai caïnh SA, SB cuûa goùc 
tam dieän coá ñònh, coøn caïnh thöù ba SC thay ñoåi trong khoâng gian, thì höôùng cuûa goùc tam 
dieän seõ thay ñoåi khi vaø chæ khi tia SC chuyeån töø nöõa khoâng gian naøy, ñoái vôùi maët phaúng 
ASB, sang nöûa khoâng gian kia. 
Xeùt hai goùc tam dieän coù ñònh höôùng SABC vaø S A B C′ ′ ′ ′ . Goïi caùc phaàn töû töông öùng laø 
caùc phaàn töû ñöôïc ñaùnh daáu bôûi cuøng moät chöõ. Ta coù ñònh lí sau ñaây noùi veà daáu hieäu 
baèng nhau cuûa goùc tam dieän cuøng höôùng 
Ñònh lí 4: 
Hai goùc tam dieän cuøng höôùng seõ baèng nhau trong moãi tröôøng hôïp sau ñaây: 
 1) Neáu moät goùc phaúng cuûa goùc tam dieän naøy baèng goùc phaúng töông öùng cuûa goùc tam 
dieän kia, coøn caùc goùc nhò dieän maø caïnh laø caïnh cuûa hai goùc phaúng baèng nhau, töông öùng 
baèng nhau. 
 2)Neáu moät nhò dieän cuûa goùc tam dieän naøy baèng goùc nhò dieän töông öùng cuûa goùc tam 
dieän kia vaø nhöõng goùc phaúng, cuûa chuùng laø nhöõng maët cuûa goùc nhi dieän baèng nhau 
töông öùng baèng nhau. 
 3)Neáu caùc goùc phaúng cuûa goùc tam dieän naøy baèng caùc goùc phaúng töông öùng cuûa goùc 
tam dieän kia. 
 4)Neáu caùc goùc nhò dieän cuûa goùc tam dieän naøy baèng caùc goùc nhò dieän töông öùng cuûa 
goùc tam dieän kia. 
B- COÂNG THÖÙC COÂ-SIN TRONG GOÙC TAM DIEÄN : 
Trong hình hoïc phaúng ta bieát raèng cho tröôùc hai caïnh ,AB c AC b= = cuûa tam giaùc 
ABC vaø goùc A thì caïnh thöù ba BC a= ñöôïc tính theo coâng thöùc 
2 2 2 – 2 cos a b c bc A= + (1). Ñoù laø coâng thöùc coâsin cho tam giaùc. 
Töông öùng vôùi tam giaùc, trong goùc tam dieän coù baøi toaùn: Trong moät goùc tam dieän 
SABC, cho tröôùc hai maët 
 
, ASB ASCγ β= = vaø nhò dieän A cuûa caïnh SA, haõy tính maët 
thöù ba 
BSC α= . 
 Giaûi: 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 67 
Ta choïn ABC sao cho 1SA = , AB vaø AC vuoâng goùc vôùi SA hay 
BAC laø goùc nhò dieän 
cuûa caïnh SA neân coù ñoä lôùn baèng A. AÙp duïng coâng thöùc coâsin cho caùc tam giaùc BSC vaø 
BAC ta ñöôïc: 
2 2 2
2 2 2
– 2 cos 
– 2 cos 
BC SB SC SB SC
BC AB AC AB AC A
α= + ⋅
= + ⋅
Nhöng 1
cos
SB
γ
= , 1
cos
SC β= , tan , tanAB ACγ β= = . Thay vaøo hai ñaúng thöùc treân, 
ta ruùt ra: 
 2 2
2 2
1 1 2cos
tan tan 2 tan tan cos
cos cos cos cos
A
α γ β β γβ γ β γ+ − = + − 
töø ñoù deã daøng ñöa ñeán coâng thöùc cos cos cos sin sin cos Aα β γ β γ= + (2) 
Ñoù laø coâng thöùc coâsin cho caùc goùc tam dieän. Coâng thöùc ñoù coù theå vieát thaønh: 
 cos cos coscos
sin sin
A
α β γ
β γ
−
= (2’) 
Coâng thöùc (2’) cho pheùp ta tính ñöôïc caùc goùc nhò dieän cuûa goùc tam dieän khi bieát caùc 
maët cuûa goùc tam dieän ñoù. Töø coâng thöùc ñoù coù theå suy ra daáu hieäu baèng nhau 3) cuûa 2 
goùc tam dieän. 
Moät baøi toaùn ngöôïc ñöôïc ñaët ra laø: cho bieát caùc goùc nhò dieän cuûa moät goùc tam dieän, 
haõy tính caùc maët cuûa goùc tam dieän ñoù. 
Giaûi: 
Ta döïng tam dieän buø SA B C′ ′ ′ cuûa goùc tam dieän SABC cho tröôùc vaø vieát coâng thöùc cho 
goùc tam dieän buø ñoù cos cos coscos
sin sin
A
α β γ
β γ
′ ′ ′−
′ =
′ ′
vôùi , ,α β γ′ ′ ′ laø goùc cuûa tam dieän buø SA B C′ ′ ′ töông öùng vôùi , , .α β γ 
Theo tính chaát 2) cuûa goùc tam dieän buø ta coù 
, , ,A B C Aα pi β pi γ pi pi α′ ′ ′ ′= − = − = − = − . 
Thay vaøo ta ñöôïc: 
 cos cos coscos
sin .sin
A B C
B C
α
+
= (3) 
Coâng thöùc naøy laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn treân. Coâng thöùc naøy cuõng coù theå suy ra daáu hieäu 
baèng nhau. 
 Ñònh lí cuûa goùc tam dieän. 
Caùc coâng thöùc (2) vaø (3) xaùc ñònh moãi quan heän giöõa maët vaø nhò dieän cuûa moät tam 
dieän. Ñoù laø coâng thöùc cô baûn cuûa hình hoïc tam dieän. 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 68 
Ñònh lí sin ñoái vôùi goùc tam dieän : Giaû söû , , .α β γ laø goùc phaúng cuûa moät goùc tam dieän; 
A, B vaø C laø caùc goùc nhò dieän ñoái dieän cuûa chuùng. Chöùng minh 
raèng:
A B C
α β γ
= =
sin sin sin
sin sin sin
. 
Giải : 
 Laáy treân caïnh SA cuûa goùc tam dieän moät ñieåm M tuøy yù. Giaû söû M ′ laø huønh chieáu cuûa 
M treân maët phaúng SBC, P vaø Q laø hình chieáu cuûa M treân maët phaúng SB vaø SC. Theo 
ñònh lí 3 ñöôøng vuoâng goùc M P SB′ ⊥ vaø M Q SC′ ⊥ . Neáu SM a= , thì sinMQ a β= vaø 
 sin sin sin MM MQ C a Cβ′ = = (vì C laø goùc giöõa QM ′ vaø QM). 
Töông töï sin sin .sinMM MP B a Bγ′ = = 
Do ñoù sin sin
sin sinB C
β γ
= . Ñaúng thöùc thöù hai chöùng minh hoaøn toaøn töông töï. 
Caùc baøi toaùn baát ñaúng thöùc veà goùc 
Baøi toaùn 1: Chöùng minh raèng khoâng theå coù nhieàu hôn moät ñænh cuûa töù dieän coù tính chaát 
laø toång cuûa baát kì hai goùc phaúng naøo taïi ñænh naøy lôùn hôn 1800. 
Giải: 
Ta giả thieát raèng caùc ñænh A vaø B cuûa töù dieän ABCD coù tính chaát ñaõ neâu. Töùc laø nhieàu 
hôn moät ñænh cuûa töù dieän luoân coù tính chaát toång baát kì cuûa hai goùc phaúng lôùn hôn 1800. 
Khi ñoù 
 
 
 
0 0CAB DAB 180 &CBA DBA 180+ > + > 
Maët khaùc 
 
 
0 0CAB CBA 180 ACB 180+ = − < 
Khi ñoù ta coù
 
 0DBA DAB 180+ > . Voâ lí 
Neân ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. 
Baøi toaùn goùc ña dieän 
Baøi toaùn 1: Chöùng minh raèng toång moät goùc töù dieän loài baát kì toàn taïi moät thieát dieän laø 
hình bình haønh, ñoàng thôøi caùc thieát dieän nhö theá song song nhau. 
 Chöùng minh raèng moät goùc töù dieän loài vôùi caùc goùc phaúng baèng nhau toàn taïi thieát 
dieän laø hình thoi. 
Baøi toaùn 2: Moät trong hai goùc ña dieän loài vôùi ñænh chung naèm trong goùc ña dieän kia. 
Chnöùg minh raèng toång cuûa caùc goùc phaúng cuûa goùc ña dieän naèm beân trong nhoû hôn toång 
cuûa caùc goùc phaúng cuûa ña dieän naèm beân ngoaøi. 
Baøi toaùn 3: Chöùng minh raèng toång cuûa caùc goùc nhò dieän cuûa moät goùc n_dieän loài lôùn hôn 
( )– 2n pi 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 69 
Baøi toaùn 4: Neáu taát caû caùc goùc phaúng cuûa goùc tam dieän laø tuø thì taát caû caùc goùc nhò dieän 
cuûa noù ñeàu tuø. 
Baøi toaùn 5: Neáu taát caû caùc goùc nhò dieän trong moät tam dieän laø nhoïn thì taát caû caùc goùc 
phaúng cuûa noù cuõng nhoïn. 
Baøi toaùn 6: Chöùng minh raèng toång caùc goùc coù ñænh laø moät ñieåm tuøy yù naèm beân trong töù 
dieän, coøn caùc caïnh ñi qua caùc ñænh cuûa töù dieän, lôùn hôn 3pi. 
Giaûi: 
Giaû söû O laø moät ñieåm naèm beân trong töù dieän ABCD; , , .α β γ laø goùc nhìn töø O ñeán caùc 
caïnh DA, DB vaø DC; a, b vaø c laø caùc goùc nhìn töø O ñeán caùc caïnh AB, BC vaø CA; P laø 
giao ñieåm cuûa maët phaúng ABC vôùi ñöôøng thaúng DO. Vì tia OP naèm trong goùc tam dieän 
OABC, neân 
 
 
 
 ( ) 1AOP BOP AOC BOC+ < + (söû duïng keát quaû (3) cuûa baøi toaùn ví duï 1). 
Maø 
 
 
 
AOP AOB&BOP= BODpi pi= − − neân ta coù 
( )1 2a b a bpi α pi β β α pi⇔ − + − 
Töông töï, 2 , 2b c a cβ γ pi γ α pi+ + + > + + + > . Neáu coäng caùc baát ñaúng thöùc naøy laïi ta 
coù ñieàu phaûi chöùng minh. 
C- BAÁT ÑAÚNG THÖÙC VEÀ TÖÙ DIEÄN: 
I- Lí thuyeát töù dieän: 
Töù dieän baát kì: 
Töù dieän laø moät hình choùp tam giaùc. Ñoù laø hình choùp duy nhaát maø moïi maët ñeàu coù theå 
laáy laøm ñaùy. 
Theå tích töù dieän: 1 1 1
3 3 6
sinA A B BV S h S h abd α= = = trong ñoù ,x xS h laø dieän tích maët ñaùy 
ñoái dieän vôùi ñænh X vaø ñöôøng cao xuaát phaùt töø ñænh X; a, b laø hai caïnh ñoái vaø d,α laø 
khoaûng caùch vaø goùc giöõa hai caïnh ñoù. 
Trong moät töù dieän baát kì 7 ñoaïn thaúng naøy sau ñaây luoân ñoàng qui taïi moät ñieåm goïi laø 
troïng taâm cuûa töù dieän: 
 - 4 ñoaïn noái moät ñænh ñeán troïng taâm maët ñoái dieän. 
 - 3 ñoaïn noái trung ñieåm 2 caïnh ñoái. 
Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm CD vaø , &AB A B′ ′ laø troäng taâm cuûa caùc tam giaùc 
BCD vaø ACD. 
Vôùi G laø troïng taâm töù dieän, ta coù 
3
GM GN
GA GA
=

′=
( )AA hay BB′ ′ thöôøng ñöôïc goïi laø troïng tuyeán töù dieän. 
Töù dieän ñeàu : 
Töù dieän ABCD ñöôïc goïi laø ñeàu neáu vaø chæ neáu taát caû caùc caïnh cuûa noù baèng nhau. 
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 70 
Moät töù dieän ñeàu thì coù : 3
6
a
h = trong ñoù a laø caïnh cuûa töù dieän, h laø chieàu cao töù dieän 
3 2
12
a
V = V laø theå tích cuûa töù dieän 
 6
4
a
r = r, R laø baùn kính maët caàu noäi tieáp vaø 
ngoaïi tieáp 
 3 63
4
a
R r= = 
Soá ño goc cuûa moät caïnh baát kì baèng 1
3
arccos 
Töù dieän gaàn ñeàu 
Töù dieän gaàn ñeàu laø töù dieän coù caùc caëp caïnh ñoái ñoâi moät baèng nhau. 
Tính chaát vaø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät töù dieän laø töù dieän gaàn ñeàu: 
Toång caùc goùc phaúng ôû moãi ñænh goùc tam dieän baèng 1800 
Hai goùc phaúng tam dieän naøo ñoù cuûa töù dieän baèng 1800 ñoàng thôøi coù moät caëp caïnh ñoái 
baèng nhau. 
Caùc ñoaïn thaúng noái trung ñieåm cuûa hai caïnh ñoái dieän laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa 
hai caïnh ñoù. 
Boán maët laø tam giaùc coù dieän tích baèng nhau. 
Taâm maët caàu noäi tieáp vaø ngoaïi tieáp truøng nhau. 
Taâm maët caàu noäi tieáp vaø troïng taâm truøng nhau. 
Taâm maët caàu ngoaïi tieáp vaø troïng taâm truøng nhau. 
Caùc goùc phaúng nhò dieän öùng vôùi caùc caëp caïnh ñoái dieän baèng nhau. 
1. Cho tứ diện đều ABCD. Hãy tìm trên các mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( ), , ,BCD CDA DAB ABC 
các điểm X,Y,Z,T sao cho tổng độ dài các cạnh của tứ diện XYZT nhỏ nhất. 
Giải: 
Gọi O là tâm của tứ diện đều ABCD. H,I,J,K theo thứ tự là hình chiếu của O trên mặt 
phẳng ( ) ( ) ( ) ( ), , ,BCD CDA DAB ABC . 
Vì ABCD là tứ diện đều nên: 
( )
( )
HI HJ HK
BCD
HI HJ HK
IJ IK IH
CDA
IJ IK IH
 
+ + ⊥ 
 
 
+ + ⊥ 
 
  
   
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 
 71 
( )
( ) ( )*
JK JH JI
DAB
JK JH JI
KH KI KJ
ABC
KH KI KJ
 
+ + ⊥ 
 
 
+ + ⊥ 
 
  
   
Giả sử X,Y,Z,T là các điểm bất kì, theo thứ tự thuộc mp ( ) ( ) ( ) ( ), , ,BCD CDA DAB ABC . 
Ta thấy: 
. . . . . .
. . . . . .
XY HI XZ HJ XT HK ZT JK TY KI YZ JI
XY XZ XT ZT TY YZ
HI HJ HK JK KI JI
XY HI XZ HJ XT HK ZT JK TY KI YZ JI
S
HI HJ HK JK KI JI
+ + + + + = + + + + +
≥ + + + + + =
            
Mà 
;
;
;
SY XH HI IY XT XH HK KT
XZ XH HJ JZ ZT ZJ JK KT
TY TK KI IY YZ YI IJ JZ
= + + = + +
= + + = + +
= + + = + +