Chuyên đề bất đẳng thức tích phân

ng , khi ñoù: ( )
⇔
⇔
⇒
1 1 1
0 0 0
1 1
00
1
0
sin 1
(1) 1
sin 1 1
.sin
ln 1 1 ln2
1 sin
.sin
1 ln2.
1 .sin
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
dx x x
x x
x x
dx
x x
 = −   + + +
− + = −
+
−
+
∫ ∫ ∫
∫
∫






( )
( )2 2
2 2 21 1 1
3 3 3
1 1
0 sin 1
5. 1, 3 0, 0
1 1
0 sin 1
sin 1 1
0 ;
1 1 1
xx
x
xe e xx ee
x e x
x
e x dx dx
dx I I
e ex x x
− −
−
 < =  ⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <  + + < <
⇒ < < = =
+ + +∫ ∫ ∫


∈
Ñaët 2
2
1
(1 )
cos
x tgt dx dt tg t dt
t
= ⇒ = = + 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
9 
( )
3 3
2
3
2
44 4
11 3
1 12
4
tg tx
dt dt t
tg tt
∏ ∏ ∏
∏∏ ∏
+ ∏
⇒ Ι = = = =
∏ ∏ +∫ ∫ 
4
Vaäy
21
3 sin
0
121
xe x
dx
ex
− ∏
< <
+∫ 
3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2 3 2
1 1 1
0 0 02 2 3 2
6. 0 1 0 0
4 2 4 4
4 2 4 4
1 1 1
4 2 4 4
1 1 1
4 4 4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
I dx dx dx J
x x x x
⇒ ⇒ − −
⇒ − − − −
⇒ − − − −
⇒
− − − −
⇒ = =
− − − −
∫ ∫ ∫
 
 
 
 
 
 


 


 

 

 

Ñaët 2sin 2cosx t dx tdt= ⇒ = 
( )20 0
6 60 1 2cos
60 4 2sin6
x tdt
I dt
t t
∏ ∏ ∏
⇒ = = =
∏ −
∫ ∫
Ñaët 2 sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ = 
0 1
0
4
x
t ∏ 
( )
4
0 2
0
4 2 cos 2 2
2 8
4 2 2 sin
tdt
J
t
∏
∏ ∏
⇒ = = =
−
∫ 
1
0 2 3
2
6 84
dx
x x
∏ ∏
⇒ ≤ ≤
− −
∫ 
Chöùng minh raèng : 
2
2
1
0
sin2
0
1
1. 1
2.
2 2
x
x
e
e dx
e
e dx e
−
∏
−
∏ ∏
∫
∫

 


 

2 2
0
1
40
1 6
3. 1 sin .
2 2 4
1
4. 0.88 1
1
x dx
dx
x
∏∏ ∏
≤ + ≤
< <
+
∫
∫
Baøi giaûi : 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
10 
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0
1. 0 1 0 1 0
1 1
1
0 1 1 2
x x
x x
xx
x x
x x x e e
e e
ee
e e e
− −
−
⇒ ⇒ <
⇒ ⇔
⇒ = ⇒

 
 
 
 
 

 
  

2
°
°x
Töø (1) vaø (2) suy ra
2
: 1x xe e− − 
 
 
2 2 21 1 1 1
0 0 0 0
1
1x x x
e
e dx e dx dx e dx
e
− − −−⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
2
2 2
2 sin
2 2 2 2sin sin
0 0 0 0
2. 0 sin 1 1
.
2 2
x
x x
x e e
dx e dx e dx e dx e
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
 


 
 
 

2 2 2
2 2 2 22 2
0 0 0 0
1 1 1 3
3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin
2 2 2 2
1 3 1 6
1 sin 1 sin .
2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx
∏ ∏ ∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏
⇒ + ⇒ +∫ ∫ ∫ ∫

 
 
 
 
 


 
 
 

4. Caùch 1: 
( )0,1x∀ ∈ thì 4 2 4 2
4 2
1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
+ +
( )
1
2
4 2
0
1 1
ln 1 ln 1 2 0,88
1 1
dx dx x x
x x
1 1
0 0
⇒ > = + + = + >
+ +
∫ ∫ 
Maët khaùc :
1
4
4 40
1 1
1 1 1 1
1 1
x dx
x x
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
∫ 
Vaäy :
1
40
1
0,88 1
1
dx
x
< <
+
∫ 
Chuù yù : hoïc sinh töï chöùng minh 2 2
2 2
1
lndx x x a C
a x
= + + +
+
∫ baèng phöông phaùp tích phaân töøng 
phaàn . 
Caùch 2 : 
( ) 4 2 2
1
4 2 40
0,1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x x
dx I
x x x
4⇒ < ⇒1+ < +
⇒ > ⇒ >
+ + +
∫
∈
Vôùi :
1
20
1
1
I dx
x
=
+
∫ 
Ñaët ( )22
1
1
cos
x tgt dx dt tg t dt= ⇒ = = + 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
11 
( )
( )
4 4
4
2
0 02
20
10 1 1
cos0 14
cos
1 sin
tg tx
I dt dt
tt tg t
t
I dt
t
∏ ∏
∏
+
= =
∏ +
=
−
∫ ∫
∫
Ñaët 
0
4sin cos
0
t
u t du tdt
u
∏
= ⇒ =
1
2
( )( )20 0 0
1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2 1 2 1
du u u
I du du
u u u u u
u
du du
u u u
1 1
2 2
1 1
2 2
1
2− + +  = = = + − − + + − 
+
= + =
+ − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 2 2 1
ln 0,88 0,88
2 2 2 1
I dx
x
1
0
+
= > ⇒ >
− +
∫ 
Maët khaùc 4
4
1
:1 1 1
1
x
x
+ > ⇒ <
+
( )
4
1
1 2
1
dx dx
x
1 1
0 0
⇒ < =
+
∫ ∫ 
Töø (1) vaø (2) suy ra : 
1
40
1
0.88 1
1
dx
x
< <
+
∫ 
Chöùng minh raèng : 
4
2
0
1
0
3
21
1. 0
32
cos
2. ln 2
1
.sin
3.
1 12
x
x tgx dx
nx
dx
x
e x
dx
x e
∏
−
∏
< <
+
∏
<
+
∫
∫
∫

 
( )
200
100
3
21
1
1 10
cos
4.
1 12
cos 1
5.
200
1 1 1
6. 1 1
1 2 1 21
x
x
nn n
e x
dx
x e
x
dx
x
e e
dx
n nx
∏
∏
−
− −
∏
<
+
∏
   − −   − −   +
∫
∫
∫



 

Baøi giaûi : 
1. 0 0 1 0 1 0
4
x tgx tgx x tgx x
∏
⇒ ⇒ ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Xeùt : 0
4
xα β
∏
< < < < ta coù : 
4 4
0 0
0 1
0
0
4
tgx
x tgx x
x
I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx
α β
α β
∏ ∏
< < 

⇒ <∏
< < 
= = + +∫ ∫ ∫ ∫ 


Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
12 
Ta coù : 
4 4
4 4
4
0 0
0 0
2
0
0
0 0
0
0
32
x tgx dx xdx
x tgx dx xdx x tgx dx xdx
x tgx dx xdx
x tgx dx
α α
β β
α α
β β
∏ ∏
∏ ∏
∏



< < ⇒ <



∏
⇒ < <
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫

 




 

Chuù yù : ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) ( ) ( )
b b
x x x xa b
f dx f dx f dx f dx
α β
α β
= + +∫ ∫ ∫ ∫ 
Tuy nhieân neáu : ( )xm f M
 
 thì : 
( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
x xa a a a
m dx f dx M dx m b a f dx M b a⇒ − −∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
Nhöng ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( )
b b b
x xa a a
m dx f dx M f dx< <∫ ∫ ∫ 
(Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá ( )xf chöùa ( ),α β lieân 
tuïc [ ],a b maø ( ),α β ⊂ [ ],a b ) 
1 1 1 1 1
00 0 0 0
1
0
coscos cos 1
2. ln 1 ln 2
1 1 1 1
cos
ln 2
1
nxnx nx
dx dx dx x
x x x x
nx
dx
x
= = + =
+ + + +
⇒
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
 
 



1
3 3 3
2 2 21 1
1
3. 1 3
sin 1
1
.sin .sin
1 1 1
x
x x
e e
ex
x
e x e x edx dx dx
x x x
− −
− −
 =
⇒ 

⇒
+ + +∫ ∫ ∫




 




 

3
21
.sin 1
.
1
xe x
dx I
x e
−
⇒
+∫ 
 vôùi 
3
21
1
1
I dx
x
=
+∫ 
Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = + 
( )
3 3
4 4
2
2
11 3
1 12
4 3
tg tx
dt dt
tg tt
∏ ∏
∏ ∏
+ ∏
⇒ Ι = = =
∏ ∏ +∫ ∫ 
( )
3
1
.sin
*
1 12
xe x
dx
x e
− ∏
⇒
+∫ 
 (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) 
Ñaúng thöùc xaûy ra khi : 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
13 
1 1
, 1, 3
sin 1sin 1
x xe e
x x
xx
− − = =   ⇔ ⇒ ∅ ∀   == 
∈ ∈ 
Vaäy
3
21
.sin
:
1 12
xe x
dx
x e
− ∏
<
+∫ 
Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) 
ñuùng . Thaät voâ lyù 
3 3 3
2 2 21 1 1
cos cos
4.
1 1 1
x x xe x e x e
dx dx dx
x x x
− − −
+ + +∫ ∫ ∫ 
 
 
Do xy e−= giaûm ( ) 1 1max xe e
e
− −⇒ = = 
3 3
2 21 1
cos 1 1
1 1 12
xe x
dx dx
x e x e
− ∏
⇒ =
+ +∫ ∫
 ;do I baøi 3 
Daáu ñaúng thöùc : 
1 1
, 1, 3
cos 1cos 1
x xe e
x x
xx
− − = =   ⇔ ⇔ ∅ ∀   == 
∈ ∈ 
Vaäy
3
21
cos
1 12
xe x
dx
x e
− ∏
<
+∫ 
5. Ñaët 2
11
cos sin
du dxu
x x
dv xdx v x
 = −= 
⇒ 
= =  
200
200 200
2100 100
100
200
200 200
2100 100
100
cos 1 sin
sin
cos 1 1 1
200
x x
dx x dx
x x x
x
dx dx
x x x
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒ = +
⇒ = − =
∏
∫ ∫
∫ ∫

Vaäy
200
100
cos 1
200
x
dx
x
∏
∏ ∏∫ 
 
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm . 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
14 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 1
1 1
1
0
0 0
1
6. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
.
1 11
x
x
n n n
x
n n n
n nx
n
e e
x e e
x x x
e
dx dx e dx
x x x
x xe
dx e
n nx
− −
⇒ ⇒
+ + +
⇒
+ + +
+ +
⇔
− −+
∫ ∫ ∫
∫
 
 
 
 
 
 


 


 

Vaäy
( )
1
1 10
1 1 1
: 1 1 ; 1
1 2 1 21
x
nn n
e e
dx n
n nx
− −
   − − >   − −   +∫
 
 
 
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . 
Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : 
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 2. . .
b b b
x x x xa a a
f g dx f dx g dx∫ ∫ ∫ 
 
Caùch 1 : 
Cho caùc soá 1α , tuyø yù ( )1,i n∈ ta coù : 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2... ... ... 1n n n nα α α β β β α β α β α β+ + + + + + + + +  
Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : 1 2
1 2
... n
n
αα α
β β β
= = 
Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : 
a = x0 < x1 < x2 < . <xn = b vaø choïn : 
[ ]1 1, ,i i
b a
x x i i n
n
ξ −
−
= ∀ ∈ ∈ 
Do f vaø g lieân tuïc , ta coù : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1
2 2
1
lim 2
lim 3
nb
ixa n
i
nb
ixa n
i
n
b a
f dx f
n
b a
g dx g
n
ξ
ξ
→+∞
=
→+∞
=
→∞
−
=

 −
 =


∑∫
∑∫
Khi ñoù (1) 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
lim . lim .
lim . . 4
n n
i i
n n
i i
n
i i
n
i
b a b a
f g
n n
b a
f g
n
ξ ξ
ξ ξ
→+∞ →+∞
= =
→+∞
=
− −
⇔
− 
 
 
∑ ∑
∑
 
Töø (4) ta cuõng coù : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
. .
n n n n
i i i i
i i i i
f g f gξ ξ ξ ξ
= = = =
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ 5 
Ñaúng thöùc xaûy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x) 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
15 
Töø (5) ( )
2
2 2( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx⇒ ∫ ∫ ∫ 
 
Caùch 2 : t R+∀ ∈ ta coù : 
[ ]2 2 2 2
2 2 2
0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0
b b b
a a a
tf x g x t f x t f x g x g x
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
− = − +
⇒ = − +∫ ∫ ∫



h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän : 
( )
2
2
2 2
2
2 2
0
' 0
0
( ). ( ) ( ) . ( ) 0
( ). ( ) ( ) . ( )
h
h
h
b b b
a a a
b b
a a
a t
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
 = >
⇔ ∆
∆
 ⇔ − ≤  
⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
b
a






Chöùng minh raèng : 
2
3
sin
5
1. 1
2
3
2.
2
x
x dx
e dx
+ <
∏
>
∫
∫
1
0
1
0
( )2
0
1
20
1
3. 1 1
2
3cos 4sin 5
4.
1 4
x
x t t x xe e e dt e e
x x
dx
x
−  − < + < − − 
 
− ∏
+
∫
∫
 

Baøi giaûi : 
1. Ta coù ( )
2
2 2: ( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx∫ ∫ ∫ 
 ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2 2
1 1 1 1
3 2 2
0 0 0 0
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1 1
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
x x x x x x x
x dx x x x dx x dx x x dx
⇒
+ = + − + = + − +
⇒ + = + − + < + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫


1
1
2
1
3
0
0
0
1
3
0
3 2 5
1
2 23 2
5
1
2
x x x
x dx x x
x dx
  
+ < + = − + 
    
⇒ + <
∫
∫
2 2 2
2sin sin sin
0
2. x x xe dx e dx e dx
∏
2
∏∏
= +∫ ∫ ∫0 0 
Ñaët 2
2 0
2
xx
t t dx dt
t
∏ ∏
= + ⇒ =
∏
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
16 
( )2 22 2
2 2 2
2
sinsin sin 2
0 0 0
2 2 2sin cos sin
0 0 0
2
tx x
x x x
e dx e dx e dt
e dx e dx e dx
∏ ∏ ∏∏ +
∏ ∏ ∏
⇒ = +
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ta laïi coù
2 2
2 2
sin cos
2 2 2 2
0 0
.
x x
edx e e dx
∏ ∏   =   
   ∫ ∫
2 2
2 2
2
2
2 2sin cos
0 0
2 2
2 2 2 2sin sin
0 0 0 0
2sin
0 0
sin
0
.
1 3
;
2 2
3
2
x x
x x
x
x
e dx e dx
hay e dx e dx e dx e dx
e dx e e e
e dx
∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
∏∏
∏
<
   < ⇒ <   
   
 ⇒ > = ∏ > 
 
⇒ >
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm . 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 22
0 0
2
2 22
0 0 0
2
2 2
2
2
2
1
2
0
3.
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 1
1 1
2 2
1
1 (1)
2
x x t
t t t t
x t tt
t t t t t
b b b
a a a
x
t t x x x x
xo
t t x x
e e dt e e e dt
e e e dt e dt e e dt
vi f x g x dx f x dx g x dx
e e dt e e e e
e
e e dt e e
− −
− −
−
−
+ = +
+ +
   ⇒ + − − − < − −   
   
 ⇒ + − − 
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫








Maët khaùc 2: ; 0t t te e e t x−+ > ∀ < < 
2
0 0
1 (2)
x x
t t t xe e dt e dt e−⇒ + > = −∫ ∫ 
Töø (1) vaø (2) suy ra ( )2
0
1
: 1 1
2
x
x t t x xe e e dt e e−
 − < + < − − 
 ∫
( )22 2 22 2 2
1 1 1
2 2 20 0 0
3cos 4sin 1 5
4. 3 4 sin cos
1 1 1
3cos 4sin 3cos 4sin 1
5
1 1 1
x x
x x
x x x
x x x x
dx dx dx
x x x
−    + − + =  + + +
− −
⇒
+ + +∫ ∫ ∫
 


 

Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = + 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
17 
( )2
2 2
2
10 1 1
1 1 40
3cos 4sin 5
4.
1 4
tg tx
dx dt dt
x tg tt
x x
dx
x
+ ∏
⇒ = = =
∏ + +
− ∏
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1
0 0 0
1
0
4
 

Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. 
Chöùng minh raèng : 
( ) ( )
( )
11
7
1
2
0
1. 54 2 7 11 108
4
2. 0 1
27
x x dx
x x dx
−
+ + −
< − <
∫
∫

 

( )
2
4
0
sin
0
2
sin cos
4 4
3
4.
2
e
x
x x dx
e dx
∏∏ ∏
+
∏
>
∫
∫ 

 

Baøi giaûi : 
1. Xeùt ( ) ( ) ( ) [ ]7 11 ; 7,11f x x x x= + + − − ∈ 
( ) ( )11 7' ' 0 2
2 11 7
x x
f x f x x
x x
− − +
= ⇒ = ⇔ =
− +
x -7 2 11 
f’(x) + 0 - 
f(x) 6
3 2 3 2
ր ց
( ) ( )
( )
11 11 11
7 7 7
11
7
3 2 6 3 2 6
54 2 7 11 108
f x dx f x dx dx
x x dx
− − −
−
⇒ ⇒
⇒ + + −
∫ ∫ ∫
∫

 
 
 


 
 
2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; [ ] ' 20,1 ( ) 3 - 4 1x f x x x∀ ∈ ⇒ = + 
⇒ f’(x)=0 1x x1⇔ = ∨ =
3
x -∞ 0 1
3
 1 +∞ 
f’(x) + 0 - 
f(x) 
0 0
ր ց
4 
27
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
18 
4
0 ( )
27
f x⇒ 
 
 
( ) ( ) ( )
(0) (1)
1 1 1
0 0 0
1 1 40, ; ,0
3 3 27
0
4 4
0 ( ) 0 ( )
27 27
xx f
va
f f
f x dx dx f x dx
∃ ⇒ 0 < <

= =
⇒ < < ⇒ < <∫ ∫ ∫
∈
3. Xeùt haøm soá : 
'
( ) sin cos 2 sin ; 0,
4 4
( ) 2 cos 0 , 0,
4 4
f x x x x x
f x x x
∏ ∏   = + = +      
∏ ∏   = + ∀   
   
 ∈
 ∈
⇒ f(x) laø haøm soá taêng ( ) ( ) ( )0 4
0,
4
x
x f f f ∏
∏ ∀ ⇒  
∈ 
 
 
 ( )4
0
2
1 sin cos 2 sin cos
4 4
x x x x dx
∏∏ ∏
⇒ + ⇒ +∫
 
 
 
 
4. Nhaän xeùt 0x∀ > thì 1xe x> + ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) 
Xeùt ( ) ( )
'1 ; 0 1 0 ; 0t t
t t
f e t t f e t= − − ⇒ = − > ∀ >  
⇒haøm soá f(t) ñoàng bieán 0t∀  
Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ( )1 0 1 1x xe x e x⇒ − − > ⇔ > + 
Do vaäy : ( ) ( )
2sin 20, 1 sin (1)xx thi e x do∀ ∏ > +∈ 
( )2
2
sin 2
0 0 0
sin
0
1 cos2
1 sin
2
3
2
x
x
x
e dx x dx dx
e dx
∏ ∏ ∏
∏
−
⇒ > + =∏+
∏
⇒ >
∫ ∫ ∫
∫
Chöùng minh raèng : 
3
4
2
21
20
2 1
1.
5 1 2
3 sin 1
2.
4 2
3 1 2 3
3.
3 3cos cos 1
x
dx
x
x
dx
x
dx
x x
∏
∏
∏
+
∏ ∏
+ +
∫
∫
∫

 


 


 

( )
3
6
1
20
1
4 4 4
1
3 cot 1
4.
12 3
2 1 1
5.
3 22
6. 2 2 1 1 4
gx
dx
x
dx
x x
x x dx
∏
∏
−
< <
+ −
< + + − <
∫
∫
∫

 
 
Baøi giaûi : 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
19 
1. Xeùt : ( ) [ ]2 ; 1,2 .1x
x
f x
x
=
+
 ∈ coù ( ) ( )
[ ]
2
'
2
2
1
0 ; 1, 2
1
x
x
f x
x
−
= ∀
+
 
 ∈ 
⇒haøm soá nghòch bieán [ ] ( ) ( ) ( )2 11,2 xx f f f∀ ⇒∈ 
 
 
2 2 2
2 21 1 1
2
21
1 1
1 2 1 2
2 1
5 1 2
x x
dx dx dx
x x
x
x
2 2
⇒ ⇒
5 + 5 +
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫

 
 
 


 

2. Xeùt ( ) ( )
'
2
sin .cos sin
; ;
6 3
x x
x x x x
f x f
x x
∏ ∏ − = ∀ ⇒ =  
 ∈ 
Ñaët .cos sin ' 0 ; ;
6 3
Z x x x Z x x x
∏ ∏ = − ⇒ = − < ∀   
 ∈ 
⇒Z ñoàng bieán treân ;
6 3
x
∏ ∏ ∀   
∈ vaø : 
( )
( )
3
'
3 3
0 ; ;
6 6 3
0 ; ;
6 3
x
Z Z x
f x
∏
∏− ∏ ∏ = < ∀   
∏ ∏ ⇒ < ∀   

 ∈
∈
x -∞ 
6
∏ 
3
∏ +∞ 
f’(x) − 
f(x) 
3
3 3
2
∏
∏
ց 
( )
3 3 33
6 6 6 6
3 3 3
2
3 3 sin 3
2
3 3 sin 3 sin 1
2 4 2
X
f
x
hay
x
x x
dx dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏∏
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
∏ ∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫
 :

 


 


 
 
 

3. Ñaët [ ] [ ]cos ; 0, 1,1t x x t= ∏ ⇒ − ∈ ∈ 
vaø ( ) [ ]
2 1; 1,1
t
f t t t= + + − ∈ 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
20 
( ) ( )
' ' 12 1; 0
2
t t
f t f t= + = ⇔ = − 
t -∞ -1 1
2
− 1 +∞ 
f’(t) − 0 + 
f(t) 1 3
3
4
ց ր
( ) [ ]
3
3 ; 1,1
4
t
f t⇒ ∀ −
 
 ∈ 
[ ]2
2
2
20 0 0
20
3
cos cos 1 3 ; 0,
4
3 1 2
cos cos 1 3
2 3cos cos 1
1 1 2
cos cos 13 3
3 1 2 3
3 3cos cos 1
x x x
hay x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
∏ ∏ ∏
∏
⇒ + + ∀ ∏
1
+ + ⇒
3 + +
⇒
+ +
∏ ∏
⇒
+ +
∫ ∫ ∫
∫

 
 ∈

 
 
 


 


 

Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø : 
20
3 1 2 3
3 3cos cos 1
dx
x x
∏∏ ∏
< <
+ +
∫ (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao) 
( )
cot
4. ;
x
gx
f
x
= lieân tuïc ;
4 3
x
∏ ∏ ∀   
 ∈ 
coù ( )
( )'
2 2
2 sin 2
0 ; ;
2 sin 4 3
x
x x
f x
x x
− + ∏ ∏ = < ∀ ⇒ 
 
 ∈ f(x) :nghòch bieán treân ;
4 3
∏ ∏ 
  
( ) ( ) ( )3 4x
f f f∏ ∏⇒ 
 
 
3 3 3
4 4 4
3
4
3 cot 4 cot 4
3 cot 1
12 3
gx gx
dx dx dx
x x
gx
dx
x
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏
∏
∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∫ ∫ ∫
∫

 
 
 


 

( ) [ ]
25. 2 ; 0,1
x
f x x x= + − ∀ ∈ coù f’(x)=1- 2x 
( )
' 10
2
x
f x⇒ = ⇔ = 
x -∞ 0 1
2
 1 +∞ 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
21 
f’(x) + 0 − 
f(x) 
2 2
ր ց
9 
4
( )
9
2
4
x
f⇒ 
 
 
vaø 
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 1
1 10, ; ,1 92 2 2
42
x
x
f
f f
∃
⇒ < <
= =
∈
2
2
1 1 1
20 0 0
1
20
9 2 1 1
2 2
4 3 22
2 1 1
3 22
2 1 1
3 22
x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
⇒ < + − < ⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
∫ ∫ ∫
∫
6. Xeùt : 
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4
'
3 3
4 4
3 3' 4 4
1 1 ; 1,1
1 1 1
4 1 1
0 1 1 0
x
x
x
f x x x
f
x x
f x x x
= + + − −
 
 = −
 + − 
= ⇔ − = + ⇔ =
∈
Maët khaùc : ( )
( ) ( )
'
3 3
4 4
1 1
0 1 0
1 1
x
f x
x x
> ⇔ > ⇔ − < <
+ −
x -∞ -1 0 1 +∞ 
f’(x) + 0 − 
f(x) 
4 42 2
ր ց
 2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4
4
4
1 1
1 1 1 1
4 44 4 4 4
1 1 1 1
2 2
-1,0 ; 0,1
2 2
2
2 1 1 2 2 2 1 1 4
x
x
f
x
va f
f f
dx x x dx dx x x dx
−
− − − −
⇒ ≤ ≤
∃ ∈
⇒ < <
= =
⇒ < + + − < ⇒ < + + − <∫ ∫ ∫ ∫
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
22 
Chöùng minh raèng : 
2
2
2
2 4
0
200
-
100
100 1
10
1. 2. 2
2. 0,005
9
3. 90 ln10 90 ln10
200
x x
x
x
e e dx e
e dx
e dx
− −≤ ≤
<
− ≤ < + +
∫
∫
∫
 2
3
2
4
40
11
1
0
2
0
3
4. 9 2 90
cos
5. 1
4
6. 1
x
x
tg x dx
e dx
tg
dx
x
∏
∏
+
 − ≤ 
 
∏
≥ +
<
∫
∫
∫


Baøi giaûi : 
1. Ñaët ( ) [ ]
2 ; 0, 2
x
f x x x= − ∈ coù ( )
' 1 2
x
f x= − 
coù ( )
' 10
2
x
f x= ⇔ = 
x -∞ 0 1
2
 2 +∞ 
f’(x) + 0 − 
f(x) 
0 2−
ր ց
1 
4
( )
2 2
2
2
2 2 21
2 24 44
0 0 0
2
2 4
0
1
2
4
1
2
4
2. 2.
x
x x x x
x x
f
hay x x
e e e e e dx e dx e dx
e e dx e
− − − −
− −
⇒−
− −
⇒ = ⇒ ≤ ≤∫ ∫ ∫
∫

 


 


 
 


 

Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân laø : 
222 4
0
2. 2.x xe e dx e− −< <∫ 
2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )
2
2
1
; 1 0xe x
x
− ≤ ≠ 
Ñaët 2 ; 0 0t x x t= ≠ ⇒ > 
Giaû söû ta coù (1) vaø (1) 1 ; 0 ; 0t te t e t t
t
−⇔ > ⇔ > 
  
( )0 2 ; 0te t t⇔ − >  
Ñaët ( ) ( )
' 1 0 , 0t t
x t
f e t co f e t= − = − > > 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
23 
( )tf⇒ luoân ñoàng bieán 0t∀ > vaø ( ) ( )0 1 0tf f = > 
 ( )
2 2
2 2
1 1
0 , 0 x x
t
f t e e dx dx
x x
200 200− −
100 100
⇒ > ⇒ ≤ ⇒ ≤∫ ∫  
2200 -
100
0,005xe dx⇒ <∫ 
3. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )
1
2
1 1 1
1 1 ; 1 0
2
xe x
x x x
−
− − + ∀ > 
 
 
Ñaët 1 ; 0 0t x t
x
= − > ⇒ < 
( ) ( )211 1 1 ; 2 0
2
tt e t t t⇔ + + + < 
 
 
Xeùt haøm soá ( ) ( )
211 ; 1 ; 0
2
t t
t t
f e t h e t t t= − − = − − − < 
( )
' 1t
t
f e= −° 
t -∞ 0 +∞ 
f’(t) − 
f(t) 
0
+∞
ց
( ) 0 ;
1 0 ; 0
t
t
f
hay e t t
⇒ > ∀τ < 0
− − > ∀ < 
( )1 ; 0 3tt e t⇒ + < ∀ < 
( )
'• 1tth e t= − − 
x -∞ 0 +∞ 
'h t + 
th 0
ր
( )
( )
0 ; 0
1
1 0 ; 0 4
2
t
t
h t
hay e t t
⇒ < ∀ <
 ∀ <
Töø (3) vaø (4) suy ra : 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà