Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải tích 12

hàm số y = f(x).
2). Đồ thị: Đồ thị của hàm số ngược x= f-1(y) vẫn là đồ thị của hàm số y= f(x). Nhưng nếu đổi ký hiệu x = f-1(y) thành y = f-1(x) thì đồ thị sẽ đối xứng với đồ thị y=f(x) qua đường phân giác thứ nhất y = x.
1.6. Hàm số liên tục: 
1). Các định nghĩa: 
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ẻ (a;b)
	. Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu 
	. Hàm số y = f(x) gọi là liên tục bên phải tại x0 nếu 
	. Hàm số y = f(x) gọi là liên tục bên trái tại x0 nếu 
	. Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm thuộc khoảng đó.
	. Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. 
Chú ý: 
 Mọi dãy (xn) có 
	thì 
Với mỗi số thực cho trước luôn có một dãy số hữu tỷ hội tụ về số thực đó: rẻR, sao cho qn đ r.
Hàm số liên tục trên một đoạn (khoảng đóng) nào thì bị chặn trên đoạn ấy.
	f: [a;b] đ R liên tục, thì $ M ẻ R để |f(x)| Ê M, " x ẻ [a;b].
2). Đồ thị:
Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng (a;b) là một đường liền trên khoảng đó.
1.7. Đạo hàm, nguyên hàm:
1.7.1. Đạo hàm:
Các định nghĩa:
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm tại x0 nếu tồn tại giới hạn: 
. và ký hiệu: 
. Đạo hàm bên phải tại điểm x0 ký hiệu: f'(x0+) được định nghĩa:
. Đạo hàm bên phải tại điểm x0 ký hiệu: f'(x0-) được định nghĩa:
. Nếu f'(x0+), f'(x0-) đều tồn tại và f'(x0+) = f'(x0-) thì f(x) có đạo hàm tại x0 lúc đó: f'(x0) = f'(x0+) = f'(x0-).
Chú ý: Tại x0 hàm số f- không có đạo hàm nếu:
f'(x0+) hoặc f'(x0-) không tồn tại hoặc cả hai tồn tại nhưng khác nhau.
f- không liên tục tại x0.
1.7.2. Nguyên hàm:
Định nghĩa:
Nếu F'(x) = f(x) thì F(x) gọi là nguyên hàm của f và ký hiệu: 
1.8. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh:
1.8.1. Đơn ánh:
1.8.2. Toàn ánh:
1.8.3. Song ánh:
II. Đặc trưng hàm của các hàm số sơ cấp:
	Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý dự đoán công thức nghiệm của các bài toán liên quan chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một số dạng hàm số quen biết.
II.1. Hàm bậc nhất: f(x) = ax + b có tính chất:
II.2. Hàm tuyến tính: f(x) = ax( a ạ 0) có tính chất:
	f(x+y) = f(x) + f(y), "x, y ẻ R.
II.3. Hàm mũ: f(x) = ax (0 < a ạ 1) có tính chất:
	f(x+y) = f(x).f(y), " x, y ẻ R.
II.4. Hàm logarit: f(x) = loga|x| (0 < a ạ 1) có tính chất:
	f(x.y) = f(x) + f(y), "x, y ẻ R\{0}.
II.5. Hàm luỹ thừa: f(x) = |x|a có tính chất:
	f(x.y) = f(x).f(y), " x, y ẻ R\{0}
II.6. Hàm lương giác:
II.6.1: Hàm f(x) = sinx có tính chất: f(3x) = 3f(x) - 4[f(x)]3, " x ẻR.
II.6.2: Hàm f(x) = cosx có tính chất: 1). f(2x) = 2[f(x)]2 - 1, " x ẻR.	
	2). f(3x) = 4[f(x)]3 - 3f(x), " x ẻR.
	3). f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y), "x, yẻR.
II.6.3. Mối quan hệ giữa hai hàm số: f(x)= sinx; g(x)=cosx.
II.6.4. Hàm số f(x) = tg(x) có tính chất:
1). 
2). 
II.6.5. Hàm số f(x) = cotgx có tính chất: 
1). 
2). 
II.7. Hàm số lượng giác ngược:
II.7.1. Hàm f(x) = arcsinx có tính chất:
II.7.2. Hàm g(x) = arccosx có tính chất:
II.7.3. Hàm h(x) = arctgx có tính chất:
II.7.4. Hàm p(x) = arccotgx có tính chất:
	p(x)+p(y)=p
B.các phương pháp giảI phương trình hàm
B.1. Phương pháp 1 - phương pháp đổi biến
Ví dụ 10: Tìm hàm số f(x) biết rằng khi x ạ 0, ta có: 
Giải:
Đặt thì 
Hệ thức đã trở thành: 
	Nhưng hệ thức (1) chỉ xảy ra cho những giá trị u thoả mãn , tức là những giá trị của u thuộc vào MGT của hàm số , có nhiều cánh để tìm được miền giá trị của hàm số này, ở đây ta làm như sau: 
	Ta có: 
Vậy 
Ví dụ 11: Cho x0ẻ R. Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:
	f(x0 - x) = f(x), " x ẻ R. (1)
	Giải: 
Đặt Khi đó 
Đặt thì Vậy g(t) là hàm số chẵn trên R.
	Kết luận: Hàm số f(x) thoả mãn bài toán là hàm số có dạng: trong đó g(x) là một hàm số chẵn.
Ví dụ 12: Tìm hàm số f(x) xác định với mọi x và thoả mãn điều kiện:
(u - v).f(u + v) - (u - v).f(u - v) = 4uv(u2 - v2).
	Giải:
Đặt:
	u, v lấy giá trị bất kỳ thì x, y cũng lấy giá trị bất kỳ. Khi đó hệ thức đã cho trở thành:
	y. f(x) - xf(y) = xy(x2 - y2) hay y(f(x) - x3)=x(f(y) - y3)) (1), "x, y ẻ R
Vì vậy " x, y ẻ R\{0} ta có: 
	từ đây => .
f(x) = x3 + cx," x ạ 0. Bây giờ nếu trong (1) thay giá trị x = 0, giá trị y ạ 0 thì khi đó f(0) = 0. Vậy f(x) = x3 + cx, " xẻ R
Bài tập tương tự
Tìm hàm số f(x) biết rằng:
1)	a) f(x + 1) = x2 - 3x + 2.
	b) 
	c) 
2) 
3) 
4) 
5) Cho a, b ẻ R. Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: f(a - x) + f(x) = b
6) CMR: Mọi hàm số xác định trên R. Đều có thể viết được dưới dạng hiệu của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ xác định trên R.
7) CMR: Đạo hàm của một hàm số chẵn là một hàm số lẻ. Đạo hàm của một hàm số lẻ là một hàm số chẵn.
8) Cho đồ thị hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c. Một đường thẳng cắt đồ thị nói trên tại 3 điểm A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3,y3) thoả mãn |AB| = |BC|. 
	CMR: f(x2-x)+f(x2+x)=2y2, " x ẻ R.
B.2-Phương pháp 2 - Đưa về giải hệ phương trình
Ví dụ 13: Tìm hàm số thoả mãn với" x ạ ± sao cho:
	Giải:
Đặt thay vào hệ thức (1) ta có:
 (2)
Trong (2) ta thay u bởi bởi x rồi kết hợp (1) ta có hệ thức: 
nhân phương trình (2') với 3 rồi cộng với phương trình (1) ta được: 
	-8f(x-1) = 
	ú 
	Đến đây ta lại vận dụng phương pháp đổi biến số: Đặt t = x-1 => x=t+1 Thay vào (*) ta có: 
Kết luận: Vậy 
Ví dụ 14: Tìm các hàm số f(x) và g(x) xác định bởi hệ sau:
	Giải:
Đặt x - 1 = 2u + 2 => x = 2u + 3 khi đó 2x + 1 = 4u + 7 thay vào phương trình (1) ta có: f(2u + 2) + g(4u + 7) = 4u + 6 (1') (do hàm số không phụ thuộc vào biến) nên trong (1") thay u bởi x => f(2x + 2) + f(4x + 7) = 4x + 6 (1"). Kết hợp (1") với (2)Ta có hệ phương trình:
=> 	 đến đây sử dụng phép biến đổi biến số dễ dàng suy ra được:
	f(x)=(Đây chính là những hàm số phải tìm).
Bài tập tương tự
I. Tìm các hàm số nếu biết:
1) 2f(x) + 3f(-x) = 5x
2) (x-1) f(x) + f()=
3) 
4) 
5) mf(x - 1) + nf(1 - x) = px.
II. Tìm các hàm số (x), và g(x) xác định bởi các hệ sau đây:
1)
2) 	
	(Trong đó a, n, p =const)
3) 
	 (Trong đó (m, n, p, q= const)
4) 
	 (Trong đó p, q, k, h = const)
b.3- phương pháp 3 -thay các giá trị đặc biệt
Ví dụ 15: Tìm hàm số f(x) xác định trên R thoả mãn:
xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x).f(y), mọi x, y ẻ R.
	Giải:
Thay y bởi x thì hệ thức đã cho trở thành: 2xf(x) = 2xf2(x). "x
	 2xf(x)(f(x) - 1) = 0 (*)
Đến đây ta xét 2 trường hợp.
Trường hợp 1: f(x) ạ 0 với "x ạ 0 thì từ (*)=> f(x) = 1, "x ạ 0, f(0) = hàm tuỳ ý.
Trường hợp 2: $ x0 ạ 0 sao cho f(x0) = 0, khi đó thay y = y0 vào hệ thức đã cho ta được x0f(x) = 0 => f(x) = 0, " x.
Ví dụ 16: Tìm các cặp số f(x), g(x) thoả mãn điều kiện:
f(x) - f(y) = (x + y)g(x - y) (*) "x, y ẻ R.
	Giải:
1) Trong (*) ta thay y = -x ta được: f(x) - f(-x) = 0 => f(x) = f(-x), "x ẻ R.
2) Trong (*) ta thay x bởi x+1 và y bởi x ta có: f(x + 1) - f(x) = (2x - 1)g(1)
3) Trong (*) ta thay x bởi x+1 và y bởi -x ta có: f(x + 1) - f(-x) = g(2x + 1).
Từ (1), (2), (3) ta suy ra: g(2x + 1) = (2x + 1)g(1), "x ẻ R
	Đến đây sử dụng phương pháp đổi biến số => g(x) = ax [với a = g(1)]
4) Trong (*) ta thay y = 0 ta có: f(x) - f(0) = xg(x) = x. ax = ax2
=> f(x) = ax2 + b [với b = f(0)].
	Thử lại ta dễ dàng thấy: f(x) = ax2 + b và g(x) = ax là những hàm số thoả mãn yêu cầu của bài toán.
	Vậy f(x) = ax2 + b và g(x) = ax
Ví dụ 17: Tìm hàm số f(x) xác định trên R thoả mãn các điều kiện sau:
i) f(1) = 1
ii) f(x + y) = f(x) + f(y), "x, y.
iii) x ạ 0, f(x) = x2
	Giải:
Theo ii) f(x + y) = f(x) + f(y), "x, y.
Thay x = y = 0 => f(0) = 2 f(0) => f(0) = 0
Thay x = 1, y = - 1 => f(0) = f(1) + f(-1) = 0 (vì f(0) = 0 => f(-1) = - f(x)
Theo i) thì f(1) = 1 nên f(-1) = -1.
Với x ạ 0 và x ạ 1 thì từ ii) ta có:
Khi đó (1) trở thành:
	Thử lại ta thấy f(x) thoả mãn các yêu cầu của bải toán. Vậy f(x) = x, " xẻ R.
Ví dụ 18: Tìm hàm số f: R đ R thảo mãn 3 điệu kiện sau:
1) f(1) = 1.
2) f(x+y) - f(x) - f(y) = 2 xy.
3) 
	Giải: 
Cho x = 0 thay vào (2) => f(x) = 0.
Đặt x = y = thay vào (2) ta được: f(t) - 2f(
Đặt x = y = thay vào (2) ta được:
theo (3) => do đó 
Từ (*) và (**) và f(0) = 0 ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình này ta thu được : f(t) = t2, "t.
Thử lại thấy f(x) = x2 thảo mãn yêu cầu của bài toán.
Kết luận: f(x) = x2 là hàm số cần tìm.
Ví dụ 19: Xác định hàm số:
Lấy f: R đ R sao cho bất đẳng thức sau đúng với các số thực x, y, z bất kỳ:
	(Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1991)
	Giải:
1) Thay x = y = z = 0 vào (*) 
	Ta có: f(0) - [f(0)]2 =>
Thay x = y = z = 1 vào (*) ta có: f(1) - [f(1)]2 	 	=>
2) Thay x = 0, y = 1 vào (*) ta có: f(0)[1 - f(z)
3) Thay y = z = 1 vào (*) ta có: f(x)[1 - f(1)]
Từ (2), (3) ta có: f(x) = 
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm hàm số f(x) xác định trên R thoả mãn:
	f(x)f(y) - xy = f(x) + f(y) - 1
Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết: f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)cos2003y, "x, y ẻ R
Bài 3:Cho hàm số f(x) xác định trên R và không đồng thời bằng 0 thoả mãn:
 "x, y ẻ R Chứng minh rằng:
a) f(1) = 1.
b) f(x) = x. "x ẻ Q.
c) f(x) > 0 với " x ẻ R.
d) f- là một hàm số tăng.
Bài 4: Cho hàm số f: (0; + Ơ) đ (0; + Ơ).
Chứng minh rằng hai khẳng định sau là tương đương:
a) f(xf(y) = yf(x), "x, y > 0.
b) f(xy) = f(x).f(y)
 f(f(x) = x.
Bài5: Xác định hàm số f: (0; + Ơ) đ (0; + Ơ) thoả mãn các điều kiện sau:
a) f(xf(y) = f(x+y). b) f(2) = 0.
c) f(x) ạ 0 với 0 Ê x < 2.
	(Đề thi vô địch toán quốc tế 1980)
B- 4 Phươngpháp 4
Sử dụng tính liên tục của hàm số
Ví dụ 20: Xác định hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện:
f(x+y) = f(x) + f(y), " x, y ẻ R (1) (Phương trình hàm cauchy).
	Giải:
Thay x = y = 0 vào (1) => f(0) = 0 
Thay x = - y vào (1) => f(x) + f(-x) = f(0) => f(-x) = - f(x)
Thay x = y vào (1) => f(2x) = 2 f(x), " x ẻ R (2)
Giả sử với k nguyên dương, ta có f(kx) = kf(x), " xẻ R. 
Khi đó f[k+1]=f(kx+x)=f(kx) + f(x)=kf(x) + f(x)=(k+1)f(x), "x ẻ R, n ẻ Z+
Từ đó theo nguyên lý qui nạp ta có: f(nx) = nf(x), "xẻR, nẻZ (3)
Kết hợp với tính chất:f(-x) = f(x) ta được f(mx) = mf(x), "m ẻ Z,"x ẻ R.
Từ (2) ta có: 
Từ đây ta suy ra: 
Kết hợp (3) và (4) ta được: 
Theo giả thiết hàm số f(x) là liên tục nên; f(x) = ax, "x ẻ R, a = f(1).
Ví dụ 23: tìm tất cả các hàm số f: R đ R liên tục thoả mãn điều kiện:
f(x2) + f(x) = x2 = x. (Đề dự bị toán quốc tế 1982)
	Giải: 
Đặt g(x) = f(x) - x, "x ẻ R, khi đó g là hàm số liên tục trên R:
Từ giả thiết: f(x2) - x2 + f(x) - x=0 => g(x)2 + g(x) = 0, " x ẻ R. Ta có g(0)= 0
g(1) = 0 và g là hàm số chẵn vì: g(-x) = - g(x2)= g(x), "x ẻ R.
Do đó ta chỉ xét trên khoảng (0; + Ơ). Ta có g(x) = - g(x2) = g(x4), " x > 0
	 g(x) = g(x1/4), " x > 0
Giả sử x0 > 0 tuỳ ý. Ta có: g(x0) = 
=> 
=> g(x) = 0,"x > 0 do g(x) là hàm số chẵn nên 
	g(x)=0 "x<0 hay g(x)=0, "xẻ R
Khi đó: f(x) = x, " x ẻ R. thử lại thấy f(x) = x thoả mãn đề bài.
Kết luận: f(x) = x là hàm số phải tìm.
Ví dụ 24: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R+ thoả mãn điều kiện:
	Giải:
Đặt khi đó x = ty và phương trình (*) tương đương với:
 f(t) = f(ty) - f(y)
 f(ty) = f(t) + f(y), " t, y ẻ R+
Theo kết quả của ví dụ trên thì: f(x) = b. lnx, "R+, b ẻ R tuỳ ý.
Kết luận: f(x) = b lnx, "x ẻR+, b tuỳ ý.
Ví dụ 25: Tìm hàm số f: R đ R bị chặn trong khoảng (-a ; a) (a > 0) và thoả mãn điều kiện 
	Giải:
Từ giả thiết suy ra: 
Cộng các đẳng thức này lại ta có được: 
Vớin đủ lớn thì: Thì giả thiết f bị chặn trong (-a; a) nên:
$ c > 0 sao cho: Trong (1) cho n đ Ơ ta thu được:
Thử lại thấy thoả mãn yêu cầu đã cho.
Kết luận: Hàm số phải tìm 
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm hàm số liên tụcvà khác 0 thoả mãn điều kiện 	f(x.y)=f(x)+f(y)
Bài 2: Tìm hàm số f(x) liên tục trên R và thoả mãn điều kiện: 
	f(x) = f(2x), " xẻ R.
Bài 3: Cho hàm số f: R đ R liên tục và thoả mãn điều kiện:
	f(x2).f(x) = 1, "x. xác định f(x).
Bài 4: Xác định hàm số f: R đ R thoả mãn điều kiện sau: 
a) f(0) = 0
b) 
c) f(x). f(2x2) = f(2x3+3), "x ẻ R.
Bài 5: Tìm hàm số f: R đ R thoả mãn điều kiện: f(x).f(y)=f(x2+y2), "x, yẻ R.
Bài 6: Tìm hàm số f: [0; +Ơ] đ R thoả mãn điều kiện: 
	f(x+y) = f(x). f(y), "x, y ³ 0. f(0) =1, f(2003) = 0.
Bài 7: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện:
Bài 8: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R\{0}thoả mãn điều kiện:
	f(x.y) = f(x).f(y), "x, y ẻ R\{0}
Bài 9: Xác định liên tục trên R thoả mãn2 điều kiện:
i). f(1) = a với 0 < a ạ 1 
ii). f(x+y) = f(x) + f(y), "x, y ẻ R
Bài 10: Xác định các hàm số f liên tục trên toàn trục số không đồng nhất thoả mãn điều kiện:
i). f(1) = a
ii). f(x+y) = f(x).f(y), "x, y ẻ R
Bài 11: Giải phương trình hàm: trên tập các hàm liên tục trên [].
Bài 12: Tìm hàm số f(x) biết xác định và liên tục với mọi x > 0 thoả mãn các điều kiện sau: f(1) = 0; f(a) =1 (0 < a ạ 1) và f(x.y) = f(x) + f(y) "x, y ẻ R+.
Bài 13: Tìm hàm f(x) biết f xác định và liên tục "x và thoả mãn điều kiện: f(mx)=f(x), " | m | ạ 1 trong đó m là một số nào đó.
Bài 14: Giải phương trình hàm : 
Tổng quát: Giải phương trình hàm: 
B5- phương pháp 5
Sử dụng đạo hàm và nguyên hàm
Ví dụ 26: Cho hàm số f: R đ R thoả mãn điều kiện sau: 
i). f(x) ³ 1+x, " x ẻ R
ii). f(x+ y) ³ f(x).f(y), "x, y ẻ R
	CMR: 
a) f(x) > 0 " x ẻ R
b) " x ẻ R, " h thoả mãn | h | < 1 ta có: 
c). Đạo hàm f'(x) luôn tồn tại, từ đó tìm f(x).
	Giải:
a) Theo (ii) f(x + y) ³ f(x).f(y), "x, y ẻ R, thay x = y = vào ta có:
Từ (ii) ta thay x = y = vào ta thu được: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Ta dự đoán: , " x ẻ R, "n ẻ N. (*) 
Ta đi chứng minh (*) bằng phương pháp qui nạp toán học: 
Thật vậy: nhận thấy n = 1, n = 2 theo chứng minh trên BĐT (*) (đúng)
Giả sử (*) đúng với n = k, tức là , ta đi chứng minh (*) đúng với n = k +1. 
Trong (ii) ta thay x= y = 
Từ (3) và (4) ta có: f(x) ³ , điều này chứng tỏ (*) đúng với n = k+1. 
Vậy f(x) ³ , " x ẻ R, " n ẻ N. 
Từ điều kiện (i) f(x) ³ 1+x, "x ẻ R => f(x) ³ 1+x ³ 0, "x ẻ (-1;1). 
Với n đủ lớn thì < 1, 
khi đó 
b) Mọi xẻ R, mọi h ẻ (-1;1) theo (ii) ta có: f(x + h) ³ f(x).f(h) 
Theo (i): 
f(h) ³ 1+h. Do đó f(x+h) ³ f(x).(1+h)=h.f(x)+f(x) => f(x+h)-f(x)³h.f(x) (5)
Mặt khác: Theo (ii) ta có f(x) = f(x+h-h) ³ f(x+h).f(-h)
Theo (i) ta có: f(-h) ³ 1-h ³0, từ đây => f(x) ³ f(x+h). f(-h) ³ f(x+h).(1-h) 
 f(x+h) - f(x)- h.f(x+h) Ê 0 
 f(x+h) - h.f(x+h) - f(x)+h.f(x) Ê h.f(x)
 [f(x+h)-f(x)].(1-h) Ê hf(x).
 f(x+h) - f(x) Ê (vì 1- h > 0) (6)
Từ (5) và (6) ta có: thoả mãn | h | < 1 (ĐPCM)
c) Theo câu b) 
Nếu 0< h < 1 thì 
Nếu -1 <h<0 thì 
Suy ra Tồn tại 
Vậy f'(x) luôn tồn tại và f'(x) = f(x), mọi x ẻ R, => 
Từ (i) => f(0) ³ 1 
Từ (ii) => f(0) = f(0+0) ³ f2(0) => f(0) Ê 1 vậy f(0) = 1 
Do đó f(x) = ex.
Ví dụ 27: Cho hàm số f: R đ R thoả mãn điều kiện: 
| f(x) = f(p)| Ê 5(x-p)2, "x ẻ R, " p ẻ Q.
a). Chứng minh f - liên tục trên R
b). Tìm f(x).
	Giải:
a). "x0ẻR. Lấy y ẻ R\{x0} và lấy q ẻ Q sao cho q ở giữa x0 và y giả sử x0Ê qÊy. Khi đó ta có: 0 ³ x0 - q ³ x0 - y => (x-q)2 Ê (x0-y)2
và x0 - y Ê q - y Ê 0 => (q-y)2 Ê (x0 - y)2
Mặt khác: 0Ê |f(x0)-f(y)| Ê |f(x0) - f(q)-f(q) -f(y)| Ê |f(x0)| - |f(q)| + |f(q) - f(y)| Ê 
Ê 5(x0- q)2+5(q-y)2 Ê 5 (x0-y)2 + 5(x0-y)2 = 10(x0-y))2
Chuyển qua giới hạn khi yđx0 ta thu được: 
Vậy và . Điều này chứng tỏ f liên tục tại x0 và do đó f liên tục trên R.
b). " x ẻ R, suy ra có dãy hữu tỉ (qn) hội tụ về y. 	Do f liên tục nên f(qn)đf(y). Ta có: |f(x)-f(qn)| Ê 5(x-qn)2 => 
hay Ê 5(x-y)2 (1)
(1) 
 Do f liêntục nên f(x) = c = const
Thử lại: Rõ ràng: |f(x)-f(q)| = 0 Ê 5(x-q)2 (luôn đúng).
Vậy: f(x) = c (c = const).
Ví dụ 28: Cho f: R đ R thoả mãn các điều kiện:
a). Chứng tỏ rằng f có đạo hàm.
b). Tìm f(x).
	Giải:
Lấy x0ẻR, "xẻR ta có: f(x)=f(x-x0+ x0)Êf(x-x0)+f(x0) =>f(x)-f(x0)Ê f(x-x0) (1)
 * Nếu x > x0 thì từ (1) cho ta: 
Mặt khác: f(x0) = f(x0 +x-x) Ê f(x0-x)+ f(x0) => f(x) - f(x0) ³ f(x0 - x).
	 (3)
Từ (2) và (3) ta có: 
Mà theo điều kiện (2) cho nên: 
Do đó: 
Vậy f có đạo hàm bên phải tại x0 và f'(x0) = 1 (4).
Nếu x < x0 lập luận hoàn toàn tương tự, ta cũng có đạo hàm bên trái tại x0 và f'(x0) = 1 (5).
Cuối cùng từ (4) và (5) cho ta kết quả là f - có đạo hàm tại x0. Vì ta lấy x0 bất kỳ nên f có đạo hàm trên R.
b). " x ẻ R, ta có f'(x) = 1 => f(x) = x + k (k = hằng số)
Nhưng 
Vầy =x, "x ẻ R.
Thử lại, "x, y ẻ R ta có: f(x+y)=x+yÊf(x) + f(y) (đúng).
(đúng).
Vậy = x, "xẻR.
Ví dụ: 29: Xác định hàm số f(x) biết rằng: 
có đạo hàm tại x0 = 0.
	Giải:
Để hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì trước hết nó phải liên tục tại x0=0.
Ta có: 
Vậy để f(x) liên tục tại x0 = 0, ta cần có: 
Khi đó f(x) có dạng: 
Ta có: 
 =
Để hàm số có đạo hàm tại x0=0 ta cần có: f'(0+) = f'(0-)
 b = 1 - b
 Vậy hàm số phải tìm: 
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho f: R đ R liên tục và thoả mãn: | f(x) - f(y) | Ê (x+y)2. "x, y ẻ R. Tìm f(x).
Bài 2: tìm f(x), biết rằng: 3x2f'(x) + x3f'''(x) = -1 (xạ0), và f(1) = 1, f(-2) = -1.
Bài 3: Tìm hàm f(x) thoả mãn 
Bài 4: Tìm tất cả các đa thức thoả mãn: P(3x)=P'(x).P"(x).P'''(x).
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Tìm tất cả các hàm số f(x) thoả mãn điều kiện: x2. f(x) + f(1 + x) = 2x - x4
	(TH & TT-Tháng 1/2001)
	Giải:
Thay x bởi 1 - x ở đẳng thức của bài ra ta được:
(1 - x)2f(1-x) + f(x) = 2(1 - x) - (1 - x)4, " x ẻ R. Kết hợp với đẳng thức đã cho của bài toán ta có hệ phương trình:
Từ (1) =>f(1-x)=2x-x4- x2..f(x)
Thay vào phương trình (2) ta được: (1-x)2.(2x-x4-x2..f(x)+f(x) = 2(1-x)-(1-x)4
 f(x)(x2-x-1)(x2-x+1) = (1-x)(1+x3)(x2-x-1), " xẻ R.
 f(x)(x2-x-1)(x2-x-1)(x2-x+1) = (1-x)(1+x)(x2-x+1)(x2-x-1), "x ẻR
 f(x)(x2-x-1) = (1-x2)(x2-x-1), "x ẻ R.
Suy ra: f(x) = 1 - x2, "x ạ x1, x2 trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 - x - 1 = 0. Theo định lý Viét ta có (*)
Lần lượt thay x1,x2 vào đẳng thức của bài ra và kết hợp với (*) ta có hệ phương trình: 
Từ đây => f(x1) = y và f(x2)=2x1-x14-x12.y, với y ẻ R tuỳ ý. Như vậy:
(**) Trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - x - 1 = 0.
Thử lại: Từ định nghĩa x1, x2 theo hệ thức (*) dễ dàng kiểm tra thấy f(x) được xác định bởi hệ thức (**) thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Bài 2: Hãy xác định tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và thoả mãn hệ thức: f(y-f(x))=(x2002-y)-2001.y.f(x), với "x, y ẻ R. (1)
	(Đề thi chọn HSG quốc gia môn toán - THPT - 2001 - 2002)
	(TH & TT - Tháng 10 - 2002).
	Giải:
Giả sử f(x) là hàm số thảo mãn yêu cầu của đề bài:
Lần lượt thay y = f(x), và y = x2002 vào hệ thức của đề bài, ta được:
f(0) = f(x2002- f(x)) - 2001.[.f(x)]2, "x ẻ R (*)
và f(x2002-f(x)) = f(0) - 2001.x2002 f(x), " ẻ R (**). Cộng vế với vế 2 đẳng thức trên ta được: f(x)[f(x)+x2002]=0, " ẻ R.
Từ đây suy ra, nếu f là hàm số thoả mãn yêu cầu đề bài thì:
f(0) = 0 (1) và f(x) = - x2002.
Bài 3: Cho hàm số g(x)=. Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định, liên tục trên khoảng(-1;1) và thoả mãn hệ thức: (1-x2)f[g(x)]=(1+x2)2.f(x) với "xẻ(-1;1).
	(Đề thi chọn HSG quốc gia môn toán - THPT - 2001 - 2002 bảng A.)
	(TH & TT - Tháng 11 - 2001).
	Giải: 
Từ hệ đã cho: (1-x2)f[g(x)] = (1+x2)2. f(x) với "x ẻ(-1;1).
Đặt Khi đó liên tục trên (-1;1) và thoả mãn hệ thức (1) khi và chỉ khi liên tục trên (-1;1) và thoả mãn hệ thức:
Dễ thấy là một song ánh từ đến (-1;1). Do vậy có thể viết lại (2) dưới dạng: . Mặt khác:
 Do đó
 (3)
Xét hàm số Khi đó j(x) liên tục trên (-1;1) và thoả mãn (3) khi và chỉ khi h(x) liên tục trên (0;+Ơ) và thoả mãn hệ thức:
	h(x2) = h(x) "x ẻ (0;+Ơ), (4) đến đây bằn phương pháp pháp qui nạp theo n ẻ N và làm tương tự như ví dụ 23 ta có:
, "x ẻ (0;+Ơ), "n ẻ N. Từ đó, do và do h(x) liên tục trên (0;+Ơ), suy ra h(x) = h(1), "x ẻ (0;+Ơ), từ h(x) = "x ẻ (-1;1). Vì vậy từ j (x)=(1-x2). f(x)
 với a ẻ R - tuỳ ý.
Thử lại: Thấy thoả mãn tất cả các điều kiện của đề bài.
Vậy là những hàm số cần tìm.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số f: R đ R thoả mãn các điều kiện:
	(TH & TT - Tháng 3 năm 2000).
	Giải: 
Giả sử f(x) là hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán:
Thay x = 1 vào (1), ta được f(1) = 3,
xét x ạ 1. Đặt thì t ạ 0, t ạ 1, x= và khi đó (1)
có dạng 
Đặt phương trình (2) tương đương với phương trình: g(t - 1) = 2g(t) "t ẻ R\{0;1}, Đặt h(t)