Chuyến đề bồi dưỡng học sinh yếu kém - Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

MỤC LỤC
	I. ĐẶT VẤN ĐỀ	2
	II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ	3
PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠN PHÁP GIẢI	3
Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến	3
Dạng 2: Sự tương giao giữa hai đồ thị	5
Dạng 3: Cực trị của hàm số	6
Dạng 4: Diện tích hình phẳng	8
Dạng 5: Thể tích vật tròn xoay	8
B. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ	10
C. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM	11
III.KẾT THÚC	12
TÀI LIỆU THAM KHẢO	13
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là bài toán bắt buộc trong các kì thi tốt nghiệp THPT, song song với nó là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số như: viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong, sự tương giao giữa hai đồ thị, ... .Đó là những kiến thức không thể thiếu được trong các kì thi tốt nghiệp THPT kể cả trong các kì thi Đại học Cao đẳng .
Thấy được tầm quan trọng của nó cho nên khi ôn tập mảng “ Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số ” của giải tích 12 - cơ bản, tôi rất băn khoăn nên làm như thế nào để giúp các em học sinh tái hiện lại kiến thức đã học, phân loại các dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán đó một cách có hiệu quả, đặc biệt đối tượng học sinh yếu kém của khối 12 - có khả năng nhận thức chậm, nhanh quên và tính toán kém! 
Tôi đã suy nghĩ rất nhiều và đưa đến một quyết định như sau: để dạy đối tượng học sinh này một cách có hiệu quả thì phải đảm bảo ba yêu cầu sau đây:
1. Cơ bản;
2. Phù hợp với đối tượng học sinh;
3. Phù hợp với kì thi tốt nghiệp.
Tôi tiến hành xây dựng chương trình và nội dung giảng dạy cho học sinh yếu kém lớp 12 theo bố cục sau đây:
Phân loại các dạng bài tập ;
Nêu phương pháp làm cụ thể và tỉ mỉ đối với từng loại bài;
Mỗi dạng bài lấy ví dụ minh hoạ;
Bài tập đề nghị học sinh làm;
Kiểm tra việc làm bài tập của học sinh.
Tôi chia thành các nhóm bài tập :
Nhóm 1: Lập phương trình tiếp tuyến của một đường cong;
Nhóm 2: Sự tương giao giữa hai đồ thị ;
Nhóm 3: Cực trị của hàm số;
Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng;
Nhóm 5: Tính thể tích khối tròn xoay.
---------------------------------
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của một đường cong
Để làm được các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong y = f(x) các em cần nắm được kết quả quan trọng sau đây.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là một đường cong (C). M0(x0,y0) là một điểm thuộc (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0,y0) là: y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*)
Từ đó ta có các bài toán viết phương trình các tiếp tuyến của đường cong y = f(x) sau đây:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), tính f’(x0)
- Bước 2: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x0
Phương pháp :
- Bước 1: Thay x = x0 vào y = f(x) để tìm y0;
- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), tính f’(x0);
- Bước 3: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ là y0
Phương pháp:
- Bước 1: Thay y = y0 vào y = f(x) để tìm x0
- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), tính f’(x0)
- Bước 3: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b
Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b
Phương pháp:
- Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = ax + b nên nó có hệ số góc là a
- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), giải pt f’(x0) = a để tìm x0
- Bước 3: Tìm y0
- Bước 4: Áp dụng công thức (*)
Bài toán 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng y = ax + b
Phương pháp:
- Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng y = ax +b nên nó có hệ số góc là -1/a
- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), giải pt f’(x0) = -1/a để tìm x0
- Bước 3: Tìm y0
- Bước 4: Áp dụng công thức (*)
Bài toán 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M1(x1; y1)
Phương pháp:
- Bước 1: Đường thẳng đi qua M1 và có hệ số góc k có dạng y = k(x - x1) + y1 (*);
- Bước 2: Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường cong y = f(x) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
- Bước 3: Giải hệ phương trình ta tìm được k và x0;
- Bước 4: Thay k và x0 tìm được vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Chú ý: Số tiếp tuyến tìm được bằng số nghiệm của hệ phương trình trên
 * Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải đó là: các em thay toạ độ điểm M1 vào y = f(x) thấy thoả mãn, các em sử dụng bài toán 1 để làm dẫn tới bài toán thiếu nghiệm. Do đó khi dạy cần nhấn mạnh để các em phân biệt sự khác nhau cơ bản giữa hai bài toán 1 và bài toán 6:
Bài toán 1: Tiếp tuyến “tại” một điểm (Chỉ có một đáp số);
Bài toán 6: Tiếp tuyến “Đi qua” một điểm, điểm đó có thể nằm trên hay không nằm trên đường cong (Có thể ra nhiều đáp số) nên cần chú ý hai từ “ tại” hoặc “đi qua” để lựa chọn bài toán 1 hoặc bài toán 6.
Ví dụ áp dụng: 
1. Cho hàm số y = 4x3-6x2+4x -1 có đồ thị là (C).
a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là 2;
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x - 1
c. Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0) 
a. Thay x0 = 2 và phương trình của (C) ta được y0 = 15
Ta có y’ = 12x2 - 12x + 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y’(2) = 28.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,15) là y = 28x - 41
b. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 4x - 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 
k = y’(x0) = 4 ta có :
y’(x0) = 4 12x20 -12x0+4 = 4	x20-x0 =0 	
Phương trình tiếp tuyến tại (0, -1) là y = 4x – 1 (loại vì trùng với (d))
Phương trình tiếp tuyến tại (1, 1) là y = 4x – 3 thoả mãn
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 4x - 3 
c. Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là 12x20 - 12x0 + 4 > 0 với mọi x0, do đó không thể tồn tại hai điểm x1, x2 để y’(x1).y’(x2) = -1, nghĩa là trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết:
	a. Tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai
	b. Đi qua điểm (0, -2)
Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0) 
Với x 1, ta có y’ = . Vì tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai là y = -x nên ta có: (-1).f’(x0) = -1 f’(x0) = 1
 	(x0 - 1)2 = 1	
Vậy có hai tiếp tuyến là y = x + 2 và y = x - 2
b. Phương trình đường thẳng đi qua (0; -2) có dạng y = kx - 2. 
Với x ≠ 1, ∆ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Thay (2) vào (1) ta được: suy ra 3x2 – 8x + 4 = 0 x = hoặc x = 2.
Với x = 2 thì k = 1: ta có tiếp tuyến y = x – 2.
Với x = thì k = 9: ta có tiếp tuyến y = 9x – 2
Dạng 2: Sự tương giao giữa 2 đồ thị
Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0 theo tham số m.
- Bước 1: Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = h(m) (1) với f(x) là đồ thị hàm số vừa khảo sát ở trên.
- Bước 2: (1) là phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng y = h(m), số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đừơng thẳng y = h(m)
- Bước 3: Dựa vào đồ thị để biện luận (sử dụng các điểm cực đại, cực tiểu)
* Chú ý: Bài toán có thể chỉ hỏi một trường hợp: chẳng hạn dựa vào đồ thị để tìm m để phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm phân biệt . . .
Bài toán 2 : Biện luận theo tham số số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng có hệ số góc k ≠ 0 .
Phương pháp:
	- Lập phương trình hoành độ giao điểm.
	- Đưa phương trình hoành độ về những pt quen thuộc đã biết cách giải như pt bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc bốn trùng phương, ...
	-Biện luận
Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x3+ 3x + 1 (c)
 	a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
	b. Dựa vào đồ thị (c) biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m. x3 – 3x + m = 0
Hướng dẫn giải:
a. Học sinh tự làm.
b. Phương trình x3 – 3x + m = 0 - x3 + 3x + 1 = m + 1
là phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m + 1. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C) và (d). 
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+ Nếu thì (C) cắt (d) tại 1 điểm do đó pt có 1 nghiệm
+ Nếu pt có hai nghiệm
+ Nếu phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Không nên trình bày lời giải theo cách dưới đây.
+ Nếu m + 1 3 tức là m 2 thì (c) cắt (d) tại 1 điểm do đó phương trình có một nghiệm duy nhất.
+ Nếu m + 1 = -3 hoặc m + 1 = 3 tức là m =-4 hoặc m =2 thì phương trình có 2 nghiệm.
+ Nếu -3 < m + 1 < 3 - 4 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y = luôn cắt đường thẳng y = m – x m
Hướng dẫn
(C) luôn cắt (d) nếu phương trình có nghiệm m
Ta có 	 
Xét phương trình (2) có = m2 + 8 > 0 và x = -1 không thoả mãn (2) nên phương trình luôn có hai nghiệm -1. Vậy (c) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng (d) y = x + m tại hai điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường (d) là
	 = x + m (1) 
Đồ thị hàm số y = cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (1) có hai nghiệm phân biệt, điều này tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
Chú ý: yêu cầu học sinh chỉ cần làm được các bài tập tương tự như ba ví dụ trên.
Dạng 3: Cực trị của hàm số:
Bài toán 1: Tìm tham số để hàm số y = f(x) có cực trị (có đúng một cực đại và một cực tiểu) (xét những bài toán mà y’ là tam thức bậc hai hoặc y’ là hàm phân thức mà tử thức là tam thức bậc hai)
Phương pháp: Tính y’, y = f(x) có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 
 > 0 , giải bất phương trình > 0 tìm được giá trị của tham số.
Bài toán 2: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số
Phương pháp: Tính y’, tính và khẳng định > 0 với mọi giá trị của tham số, từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bài tóan 3: Tìm tham số để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x = x0. (chỉ luyện những hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Cách 1:
	Điều kiện cần: nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì f’(x0) = 0, từ đây tìm được các giá trị của tham số.
Điều kiện đủ: lần lượt thay giá các giá trị tham số tìm được vào hàm số y = f(x), xét sự biến thiên của tường hàm số tương ứng rồi kết luận
Cách 2: 
	Hàm số đạt cực trị tiểu ( cực đại ) tại điểm x0 khi và chỉ khi
	, giải hệ ta tìm được giá trị của tham số
Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi m hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn có một cực đại và một cực tiểu
Hướng dẫn giải
y’ = 3x2 - 2mx - 2, có = m2 + 6 > 0 với mọi m
Do đó y’ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Vậy hàm số có hai cực trị: một cực đại và một cực tiểu.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 2mx2 + m2x + 1 đạt cực tiểu tại x0 = 1.
 Hướng dẫn giải
	Ta có y’ = 3x2 – 4mx + m2
Hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 1 khi và chỉ khi . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m + 1)x4 - 2(m - 1)x2. Tìm m để hàm số đạt 3 cực trị. Tại gốc toạ độ là điểm cực đại hay cực tiểu ?
Hướng dẫn giải
Ta có y’ = 4(m + 1)x3 - 4(m - 1)x = 4x[(m + 1)x2 - (m - 1)]
y’ = 0 
Hàm số đạt ba cực trị khi và chỉ khi m >1 hoặc m < -1
Vậy với m 1 thì hàm số có 3 cực trị.
Khi đó hoành độ các điểm cực trị là: x1= 0 , x2,3=
y’’=12(m + 1)x2 - 4(m - 1)y’’(0) = -4(m - 1)
Nếu m > 1 thì y’’(0) < 0 do đó gốc toạ độ là điểm cực đại
Nếu m 0 do đó gốc toạ độ là điểm cực tiểu.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = 
Tìm m để đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu?
Hướng dẫn giải
Ta có y’ = (m +1)x2 - 2(m + 2)x + m + 3, y’’= 2(m + 1)x - 2(m + 2)
Hàm số đạt cực tiểu tại O(0,0) khi và chỉ khi:
m=-3
Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu.
Dạng 4: Diện tích hình phẳng
Đối với các em học sinh yếu yêu cầu các em nắm được hai bài toán cơ bản sau đây và phương pháp giải chúng:
Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là: (1)
Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
là: (2)
Phương pháp: Khi áp dụng công thức (1), (2), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
	Có nhiều cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như: Dựa vào đồ thị, chia khoảng lập bảng xét dấu. Tuy nhiên đối với học sinh yếu kém thì phương pháp tối ưu nhất là: 
	Giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 trên đoạn .
 Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d). Khi đó f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn khi đó:
Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = -1 và x= 1
Hướng dẫn giải: ĐS: (đvdt)
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng 
Hướng dẫn giải: ĐS: (đvdt).
Dạng 5: Thể tích vât tròn xoay: Ta chỉ cần xét hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1:Thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường 
 quay xung quanh Ox là: (1)
Bài toán 1: Thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường : quay xung quanh Ox là: (2)
Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1:Cho hàm số y=x3 + x2 - x + 1 có đồ thị (C). Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
Thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0,
 x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành là :
*Chú ý : ở câu b thì thể tích của vật thể chỉ cần sử dụng công thức (1), tuy nhiên cái khó của câu này là khai triển biểu thức(x3 + x2 - x + 1)2 ta có thể hướng dẫn học sinh như sau :
 (x3 + x2 – x + 1)2 = [(x3 + x2) - (x - 1)]2= (x3 + x2)2 - 2(x3 + x2).(x - 1) + (x - 1)2
= x6 + 2x5 - x4 + 3x2 - 2x + 1
Ví dụ 1:Cho hàm số có đồ thị (C). Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường xung và hai trục 0x , Oy quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
Dựa vào câu a ta thấy đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là x=-1. Bài toán trở thành tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường : xung quanh Ox
Gọi V là thể tích cần tìm thì :
B.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Cho hàm số y =-x3 + 3x2 - 3x + 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại A.
3. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d).
Bài 2: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Một đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m. Biện luận số giao điểm của (C) và d theo m.
3. Khi d tiếp xúc với (C) tại một điểm khác gốc toạ độ, hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d.
Bài 3: Cho hàm số y = x(3 - x)2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và các đường thẳng x = 2 , x = 4.
3. Một đường thẳng đi qua gốc toạ có hệ số góc k . Với giá trị nào của k thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 4: Cho hàm số y = x3 - mx + m – 2 , m là tham số 
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 - 3x – k + 1 = 0.
Bài 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3mx + 3m + 4
1. Xác định m để hàm số có cực trị 
2. Xác định m để (Cm) nhậ I(1,2) làm điểm uốn
3. Xác định m để trục hoành là tiếp tuyến của đường cong(Cm).
Bài 6: Cho hàm số y = 2x2-x4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 - 2x2 + m = 0.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành 
Bài 7: Cho hàm số y = x4/2 – ax2+b
1. Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C) với giá trị a và b tìm được ở câu a.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 8: Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 , m là tham số (Cm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 . 
2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.Tìm hoành độ các giao điểm đó.
Bài 9: Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng 
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (0,2) và tiếp xúc với đồ thị (C).
Bài10: Cho hàm số , m là tham số
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
3.Tính diện tích hình phẳng(D) giới hạn bởi (C) , các trục Ox , Oy và đường thẳng x=2.
4.Tính thể tích vật tròn xoay khi quay (D) xung quanh Ox
C. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Kết quả kiểm tra đánh giá phương pháp trên sau kỳ thi tốt nghiệp năm học 
2007 – 2008
Lớp
Số lượng hs bồi dưỡng
Điểm trên trung bình
Đánh giá
12a4
20
10
50%
12b1
20
5
25%
Nguyên nhân: tác giả sẽ giải trình khi báo cáo.
III. KẾT THÚC
Qua việc thực hiện chuyên đề trên đối với lớp 12 là lớp có lực học yếu nhất khối, tôi nhận thấy rằng việc giảng dạy cho học sinh yếu kém để dạt được yêu cầu tối thiểu của giáo dục quả là rất gian nan và vất vả. Yêu cầu của một người giáo viên khi dạy đối tượng này phải là những người có trách nhiệm cao, tỉ mỉ, kiên nhẫn và biết chịu đựng. Bên cạnh đó phải hiểu được tâm lí các em đó là sự thông cảm và chia sẻ kết hợp với phương pháp dạy phù hợp với tư duy của các em, giúp các em có hứng thú, có nhu cầu học bộ môn toán từ đó các em sẽ tự giác hơn trong học tập đó là điều hết sức quan trọng đối với bất cứ một học sinh nào.
Trên đây là quan điểm của cá nhân tôi về việc ôn tập chuyên đề
 “ Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số’’ cho học sinh yếu kém để chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT, chắc chắn còn nhiều thiếu xót rất mong các đồng chí đóng góp ý kiến, bổ sung để chuyên đề của tôi hoàn thiện hơn và có thể áp dụng rộng rãi. Tôi xin chân thành cảm ơn! 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO :
- Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản.
- Sách bài tập giải tích 12 cơ bản.
- Tài liệu chuẩn kiến thức.
- Rèn luyện giải toán giải tích 12.
- Sách giáo viên 12 cơ bản
-