Chuyên đề Các bài toán cơ bản có liên quan đến khảo sát hàm số

á y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành 
b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng 
c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 
* Ba dạng cơ bản: 
Bài toán tổng quát: 
Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 





=
=
=
)(:)(
)(:)(
)(:)(
3
2
1
xfyC
xfyC
xfyC
 52 
Dạng 1: Từ đồ thị )(:)()(:)( 1 xfyCxfyC =→= 
Cách giải 
 B1. Ta có : 



<−
≥
==
(2) 0f(x) nếu 
(1) 0f(x) nếu 
)(
)()(:)( 1
xf
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1) 
Minh họa 
Dạng 2: Từ đồ thị 2(C) : y f(x) (C ) : y f( x )= → = ( đây là hàm số chẵn , đồ thị đối xứng 
qua trục tung) 
Cách giải 
B1. Ta có : {2 f(x) nếu x 0 (1)(C ) : y f( x ) f( x) nếu x 0 (2)≥= = − < 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy 
 ( do do tính chất hàm chẵn ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đượ (C2) 
 Minh họa: 
x 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 31 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 32 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2 
y y
x
 53 
 Dạng 3: Từ đồ thị )(:)()(:)( 3 xfyCxfyC =→= (có thể bỏ dạng này) 
Cách giải 
 B1. Ta có : 








−=
=
≥
⇔=
(2) 
(1) 
)(
)(
0)(
)(:)( 3
xfy
xfy
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3) 
 Minh họa: 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số : xxy 33 +−= (1) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
 xxya 3) 3 +−= b) xxy 33 +−= c) xxy 33 +−= 
Bài 2: Cho hàm số : 
1
1
−
+
=
x
xy (1) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
1
1)
−
+
=
x
xya b) 
1
1
−
+
=
x
x
y c) 
1
1
−
+
=
x
xy d) 
1
1
−
+
=
x
x
y e) 
1
1
−
+
=
x
xy 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
y=x3-3x+2 
x
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=-(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 33 +−= xxyC
x
y
y=x3-3x+2 
 54 
2.BÀI TOÁN 2 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 
 Bài toán tổng quát: 
 Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1
2
(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)
=

=
 (C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau 
 Phương pháp chung: 
 * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: 
 f(x) = g(x) (1) 
 * Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1) 
 chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
 Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
Chú ý 1 : 
 * (1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm điểm chung 
 * (1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung 
Chú ý 2 : 
 * Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). 
 Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). 
x
y y y
x x
OOO
)( 1C
)( 2C
)( 1C
)( 2C
1x 2x
1M 2M2y
1y 0M
)( 2C
)( 1C
x
y
0y
0x O
 55 
Áp dụng: 
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 
1
12
+
−
=
x
xy và đường thẳng 13:)( −−= xyd 
Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): 
2
1
y
x 1
=
+
 và 
2x
(C') : y
2
= 
Bài 3: Cho hàm số x 3y
x 1
+
=
+
. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y 2x m= + luơn cắt đồ thị 
 hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 
Bài 4: Cho hàm số 3 2xy
x 1
−
=
−
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx 2= + cắt đồ thị 
 hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 
Bài 5: Cho hàm số 2( 1)( )y x x mx m= − + + (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
Bài 6: Cho hàm số 3 23 2= + + + −y x x mx m (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
Bài 7: Cho hàm số ( )3 22 1= − + + +y x m x xm m (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 
Bài 8: Cho hàm số ( ) ( )3 22 1 7 2 4 6= − + + − + −y x m x m x m (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 
Bài 9: Cho hàm số ( ) ( )3 2 23 1 2 4 1 4 ( 1)= − + + + + − +y x m x m m x m m (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. 
Bài 10: Cho hàm số 4 2 1y x mx m= − + − (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Bài 11: Cho hàm số 4 2(3 1) 3= − + +y x m x m (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho các các hoành 
 độ giao điểm này lập thành một cấp số cộng . 
Bài 12: Tìm m để đường thẳng y 1= − cắt đồ thị (C) của hàm số ( )4 2y x 3m 2 x 3m= − + + tại bốn điểm phân 
 biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2. 
Bài 13: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y x m= − + cắt đồ thị hàm số 
2x 1
y
x
−
= tại hai điểm phân biệt 
 A,B sao cho AB 4= (CTNC) 
Bài 14: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y 2x m= − + cắt đồ thị hàm số 
2x x 1
y
x
+ −
= tại hai điểm 
 phân biệt A,B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. (CTNC) 
Bài 15: Tìm m để đường thẳng ( )y m x 1 2= + − cắt đồ thị (C) của hàm số x 1y
x 1
+
=
−
 tại hai điểm phân biệt A, 
 B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M(1;1) 
Bài 16: Tìm m để đường thẳng y x m= − + cắt đồ thị (C) của hàm số 2x 1y
x 2
+
=
+
 tại hai điểm phân biệt A, 
 B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. (CTNC) 
Bài 17: Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị (C) của hàm số 
2x mx m 1
y
x 1
− + −
=
+
 tại hai điểm phân biệt 
 56 
 A, B sao cho OA OB⊥ (CTNC) 
b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : (CTNC) 
 Định lý : 
 (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : ' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=

=
có nghiệm 
Áp dụng: 
Bài 1: Cho 13:)( 2 −−= xxyP và 
1
32
:)(
2
−
−+−
=
x
xxyC . Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau 
Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y kx= tiếp xúc với đường cong 3 2(C) : y x 3x 1= + + 
Bài 3: Tìm k để đường thẳng ( )(d) : y k x 2 7= − − tiếp xúc với đường cong 3 2(C) : y x 3x 2= − + 
Bài 4: Tìm k để đường thẳng ( )(d) : y k x 1 3= + + tiếp xúc với đường cong 2x 1(C) : y
x 1
+
=
+
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;-5) và tiếp xúc với đường cong 
2x x 1
(C) : y
x 1
− −
=
+
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − − (C) 
 Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt 
 (C) tại ba điểm phân biệt. 
Bài 2: Cho hàm số 4 2 1y x mx m= − + − (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Bài 3: Cho hàm số 
2 2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
 (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt (CTNC) 
Bài 4: Cho hàm số 
1
12
+
−−
=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt (CTNC) 
Bài 5: Cho hàm số ( )
2mx m 1 x 4
y
x 1
+ + +
=
+
 (1) 
 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 4= (CTNC) 
M
O ∆
)( 1C
)( 2C
y
x
 57 
Bài 6: Cho hàm số 
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
 (1) 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ 
 dương . (CTNC) 
Bài 7: Cho hàm số 
2 1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
 (1) 
 Định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
 OA OB⊥ . (CTNC) 
Bài 8: Cho hàm số )1(2
332
−
−+−
=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1 (CTNC) 
Bài 9: Cho hàm số 
2x 2x 2
y
x 1
− +
=
−
 (C) và đường thẳng (d): y x m= − + . Xác định m để (d) cắt (C) tại hai 
 điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x 3= + . (CTNC) 
3.BÀI TOÁN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG 
 a. Dạng 1: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm 0 0 0M (x ;y ) (C)∈ 
 Phương pháp: 
 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: 
 y - y0 = k ( x - x0 ) 
 Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm 
 y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) 
 k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0) 
Áp dụng: 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 333 +−= xxy tại điểm uốn của nó 
(C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M ∆
 58 
`b. Dạng 2: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước 
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau 
 Bước 1: Gọi 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : ' 0( )f x k= , từ đó suy ra 0 0( )y f x= =? 
 Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. 
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, 
tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . 
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: 
 Định lý 1: Nếu đường thẳng (∆ ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (∆ ) là: 
 k a∆ = 
 Định lý 2: Nếu đường thẳng (∆ ) đi qua hai điểm B A B( ; ) và B(x ; ) với x xA A BA x y y ≠ thì hệ số 
 góc của (∆ ) là : 
 B A
B A
y y
k
x x
∆
−
=
−
(C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M ∆
(C): y=f(x) 
∆
x
y
ak /1−=
O
baxy +=∆ :2
(C): y=f(x) 
x
y
ak =
baxy +=
1∆
2∆
 59 
 Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 2( ) và ( )∆ ∆ . Khi đó: 
 1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
 k .k 1
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ⇔ =
∆ ⊥ ∆ ⇔ = −
Áp dụng: 
Bài 1 : Cho đường cong (C): 3 21 1 42
3 2 3
y x x x= + − − 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2. 
Bài 2 : Cho đường cong (C): 
1
32
+
+
=
x
xy 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng xy 3:)( −=∆ 
c. Dạng 3: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA) 
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau 
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (∆ ) qua A và có hệ số 
 góc là k bởi công thức: 
 ( ) ( )A A A Ay y k x x y k x x y− = − ⇔ = − + (*) 
 Bước 2: Định k để (∆ ) tiếp xúc với (C). Ta có: 
A
'
f(x)=k(x-x )
 tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
Ay
x k
+∆ ⇔ 
=
 Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm. 
Áp dụng: 
Bài 1 : Cho đường cong (C): 43 23 ++= xxy 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) 
Bài 2 : Cho đường cong (C): 2 5
2
x
y
x
−
=
−
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0). 
x
y
AAAA yxxkyxxkyy +−=⇔−=−∆ )()(:
O
);( AA yxA
)(:)( xfyC =
 60 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số xxxy 32
3
1 23 +−= tại điểm uốn và 
 chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất 
Bài 2: Cho đường cong (C): 
2
12
+
−+
=
x
xxy 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2:)( −=∆ xy 
Bài 3: Cho hàm số 
1
632
+
++
=
x
xxy (C) 
 Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng xyd
3
1
:)( = 
Bài 4: Cho đường cong (C): 
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
 Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). 
Bài 5: Cho hàm số 
1
12
−
−+
=
x
xxy (C) 
 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đường 
 thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). (CTNC) 
Bài 6: Cho hàm số 
3
1
23
1 23 ++= xmxy (Cm) 
 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song 
 song với đường thẳng 5x-y=0 
Bài 7: Cho đường cong (C): 23 23 +−= xxy 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7) 
Bài 8: Cho hàm số 3 2y x 3x m= − + (1) . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm cĩ hồnh độ 
 bằng 1 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho diện tích cùa tam giác OAB 
 bằng 3
2
. 
Bài 9: Cho hàm số 2xy
x 1
=
+
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số, biết tiếp tuyến của (C) tại M 
 cắt các trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1
4
. 
Bài 10: Cho hàm số xy
x 1
=
−
 (1). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) 
 cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 
 61 
4.BÀI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 
Cơ sở của phương pháp: 
 Xét phương trình f(x) = g(x) (1) 
 Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x) 
Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m (*) 
Phương pháp: 
 Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
ḥ đ̣ ( ) : ( ) : (C) là đồ t cố nh 
 ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox 
 và cắt Oy tại M(0;m)
C y f x
y m
• =
• ∆ = ∆ 
 Bước 2: Vẽ (C) và (∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ 
 Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (∆ ) và (C) 
 Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) 
 Minh họa: 
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1m
2m
my =∆
O
y
x
0x
)( 1C
)( 2C
 62 
Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *) 
Phương pháp: Đặt k = g(m) 
 Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
 ( ) : ( ) : (C) là đồ thi cố đinh 
 ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox 
 và cắt Oy tại M(0;k)
• =
• ∆ = ∆
C y f x
y k 
 Bước 2: Vẽ (C) và (∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ 
 Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của (∆ ) và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m 
 Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**). 
Minh họa: 
Áp dụng: 
Bài 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 41292 23 −+−= xxxy 
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 041292 23 =−−+− mxxx 
 3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: mxxx =+− 1292 23 
Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2y 2x 4x= − 
 2) Với giá trị nào của m, phương trình 2 2x x 2 m− = cĩ đúng 6 nghiệm phân biệt. 
x
y
∆ ky =);0( k
K
1M
O
2K
 63 
5. BÀI TOÁN 5: HỌ ĐƯỜNG CONG 
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: 
Cho họ đường cong ),(:)( mxfyCm = ( m là tham số ) 
Biện luận theo m số đường cong của họ )( mC đi qua điểm );( 000 yxM cho trước. 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 
Ta có : 
 Họ đường cong )( mC đi qua điểm );( 000 yxM ⇔ ),( 00 mxfy = (1) 
Xem (1) là phương trình theo ẩn m. 
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0 
Cụ thể: 
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0 
• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0 
• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0 
 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong )( mC 
Áp dụng: 
Bài 1: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số 
mx
m
mxy
+
−++−=
2
1 . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm 
 A(2;0) (CTNC) 
Bài 2: Cho hàm số 193 23 ++−= xmxxy (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường 
 thẳng y=x+1 
Bài 3: Cho hàm số ( )4 2y x m 1 x m= − + + . Chứng minh rằng đồ thị của hàm đã cho luơn đi qua hai điểm cố 
 định với mọi giá trị của m 
 64 
6. BÀI TỐN 6: ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
TĨM TẮT GIÁO KHOA: 
A. Tính đơn điệu của hàm số 
Định lý: (điều kiện cần) 
Định lý: (điều kiện đủ) 
Định lý mở rộng 
B. Cực tri của hàm số: 
Định lý: 
Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) 
Định lý : (dấu hiệu thứ hai) 
 65 
Định lý 
Bài 1: Cho hàm số 4 21y x 2mx m
4
= − + (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị; đồng thời ba 
 điểm cực trị đĩ tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 32 2 
Bài 2: Cho hàm số ( )3 2 2 2y x 3x 3 m 1 x 3m 1= − + + − − − (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu 
 và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. 
Bài 3: Cho hàm số ( )
2 2x 2 m 1 x m 4m
y
x 2
+ + + +
=
+
 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và 
 các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuơng tại O. 
 (CTNC) 
Bài 4: Cho hàm số 
2mx 1
y
x
+
= (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ 
 điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 2
2
. (CTNC) 
Bài 5: Cho hàm số my x m
x 2
= + +
−
 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực trị tại các điểm A, B sao cho 
 đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. (CTNC) 
Bài 6: Cho hàm số my x 1
2 x
= − + +
−
 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại tại điểm A sao cho tiếp 
 tuyến với đồ thị hàm số tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuơng cân. (CTNC) 
 66 
7. BÀI TỐN 8: CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN CỦA 
 LỚP HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 
TĨM TẮT GIÁO KHOA: 
Bài 1: Tìm m sao cho đồ thị hàm số 
22x mx m 3
y
x 2
+ − −
=
+
 cĩ tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam 
 giác cĩ diện tích bằng 4 (CTNC) 
Bài 2: Cho hàm số ( )
23mx 5m 3 x 8
y
mx 1
− + − +
=
+
 (C) và đường thẳng (d): y mx m 2= − + . Xác định m biết 
 rằng (C) cĩ điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên của nĩ tạo với (d) một gĩc cĩ cơsin là 1
5
 (CTNC) 
Bài 3: Cho hàm số 3x my
mx 1
+
=
+
. Tìm m sao cho đồ thị hàm số cĩ tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm 
 cận cùng với hai trụ tọa độ tạo thành một hình chữ nhật cĩ diện tích bằng 12 
Bài 4: Cho hàm số ( )
22mx 3m 1 x m 2
y
x 1
+ − + +
=
+
. Tìm m để đồ thị hàm số cĩ tiệm cận xiên và tiệm cận xiện 
 tiếp xúc với đường trịn tâm I(1;2), bán kính 3R
2 2
= (CTNC) 
Bài 5: Cho hàm số 
26x (3m 2)x m 3
y
3x 1
+ + + −
=
+
. Tìm m để đồ thị hàm số cĩ tiệm cận xiên và ti