Chuyên đề Đại số sơ cấp - Vấn đề: Các bài toán về tiếp tuyến

Chuyên đề đại số sơ cấp
Vấn đề: 
Các bài toán về tiếp tuyến
Người thực hiện	: Trần Thị Quỳnh
Lớp	: K54C Toán ĐHSP Hà Nội
ý nghĩa bài toán tiếp tuyến:
- Chúng tôi đề cập đến các bài toán về tiếp tuyến của đường cong . Và lời giải cho các bài toán này được dựa trên ý nghĩa hình học của đạo hàm là:
- Đường cong có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ khi và chỉ khi hàm số khả vi tại . Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc .
I. cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ:
Khi nói tới các bài toán về tiếp tuyến, chúng tôi đưa ra cho các bạn 3 bài toán cơ bản về tiếp tuyến như sau:
I/ a. Bài toán 1: Giả sử đường cong có tiếp tuyến tại điểm M với hoành độ x0. Hãy lập phương trình tiếp tuyến đó.
Giải:
Tiếp tuyến tại M có hoành độ x0 có tiếp tuyến có hệ số góc là , đồng thời qua 
 Phương trình tiếp tuyến tại M: 
Từ đó có:
* Hệ quả 1: Đường cong y f(x) tiếp xúc với trục hoành tại x0 khi và chỉ khi 
 *Chứng minh: 
Trục hoành (y = 0) là đường thẳng có hệ số góc bằng 0 ị . Mặt khác, điểm trên trục hoành (tiếp điểm) có tung độ bằng 0 ị 
ị 
* Nhận xét:
 1. Từ hệ quả thấy: đường cong tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm.
 (*)
2. Từ hệ (*) các bạn nghĩ tới điều gì??
(Các bạn hãy thử liên hệ với nghiệm kép xem sao)?
x0 được gọi là nghiệm bội d của đa thức P(x) nếu:
- Nếu d = 1 đ x0: nghiệm đơn
- Nếu d = 2 đ x0: nghiệm kép
Như vậy, đa thức P(x) nhận a làm nghiệm bội k nếu và chỉ nếu 
Khi đó có mối liên hệ giữa nghiệm bội và tiếp xúc với trục hoành của một hàm đa thức được thể hiện qua mệnh đề sau:
* Mệnh đề 2: Với P(x) là một đa thức bậc dương thì đường cong y = P(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm x0 khi và chỉ khi xảy ra nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 của đa thức P(x).
 Chứng minh: Từ hệ quả 1 thì đường cong tiếp xúc với trục hoành tại . Điều đó tương đương là nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 của đa thức .
- Như vậy chúng ta lập tức có hệ quả sau:
* Hệ quả 3: Với là một đa thức bậc dương thì đường cong tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2.
b. Ví dụ:
1. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
	(m là tham số)
tiếp xúc với trục hoành.
 Giải
Để trục hoành trở thành tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã cho thì hoành độ tiếp điểm phải là nghiệm của hệ phương trình:
(*)
Từ(*) 
Thay x = 3 vào (1) 
Thay x = m vào (1) 
Vậy các giá trị cần tìm của m là
2. Ví dụ 2: 
Với những giá trị nào của m thì đường cong
Tiếp xúc với trục hoành.
Giải
Ta có: 
 Như vậy 
Đặt 
Đường cong (C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình có nghiệm bội ³ 2
Điều này xảy ra nhận -1 hoặc 3 làm nghiệm hoặc có dạng tam thức bậc hai và có nghiệp kép.
Từc là: 
hoặc hoặc hoặc 
Vậy các giá trị cần tìm là: 
3. Ví dụ 3:
 Cho hàm số: (C), m là tham số lấy mọi giá trị thực ạ 0.
Với những giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Giải
TXĐ: R-{-m}
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình:
 (m ạ 0)
 (*)
Giải điều kiện x ạ m có: 
 (luôn đúng)
Mặt khác, 
Do tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox sẽ song song với nên có:
ị Hai giao điểm của (C) với trục hoành: 
ị Phương trình tiếp tuyến là:
 (qua A)
 (qua B)
4. Ví dụ 4:
Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ > 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm dó tạo với 2 đường tiệm cận một D có chu vi nhỏ nhất.
Với hàm số (C)
(ĐHQG-A.2000)
Giải
 * TXĐ: 
 * 
- Tiệm cận đứng x = 1 vì 
- Tiệm cận xiên vì 
- Toạ độ giao điểm hai đường tiệm cận: I (1,2)
Xét với a>1. Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng.
hay 
Toạ độ giao điểm A của (d) và tiệm cận đứng là nghiệm hệ:
Toạ độ giao điểm B của (d) và tiệm cận xiên là nghiệm hệ.
Chu vi D ABI:
0
x
y
B
I
A
d
2
1
2
3
4
x=1
= 
 đạt khi
y=x+1
Chú ý:
1. Mở rộng khái niệm nghiệm bội của đa thức, người ta đưa ra khái niệm nghiệm bội k của hàm f(x) như sau:
Hàm f(x) nhận a làm nghiệm bội k nếu như và 
Với khái niệm này chúng ta có hệ quả: Đường cong tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2.
Chú ý: Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép như nhiều người vẫn sai.
2. Biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm.
Ví dụ: (x-1)3=0 nhận 1 là nghiệm bội 3 nhưng phương trình tương đương x=1 lại nhận 1 làm nghiệm đơn.
Hay đường cong y = không tiếp xúc với trục hoành tại 0 tức phương trình = 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2, tuy nhiên phương trình tương đương của nó: lại nhận 0 làm nghiệm bội 3.
Vì vậy, chúng ta nên nhớ rằng, biến đổi tương đương phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm mà nhiều người mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến qua ngôn ngữ phương trình.
II/a. Bài toán 2: Cho đường cong và điểm M(a,b). Hãy tìm tất cả các tiếp tuyến của (C) qua M.
Giải
Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t, khi đó phương trình của (D) là .
(D) qua M(a, b) Û (*)
Giải (*) tìm các nghiệm , 
đ Các tiếp tuyến cần tìm: ; 
b. Ví dụ:
1. Ví dụ1: Hãy tìm các tiếp tuyến của đường cong (C)
đi qua điểm I(1,1).
Giải:
TXĐ: R-{5};
Có 
Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t thuộc (C) là:
Tiếp tuyến này qua I (1, 1) nên:
Khi đó có hai tiếp tuyến của (C) qua I là:
2. Ví dụ 2: Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
 qua điểm M(2,m).
Giải:
Số các tiếp tuyến qua M(2,m) chính là số nghiệm của phương trình 
T
 2 +
 - 0 + 0 -
+ -1
 -
Số nghiệm của phương trình f(t) = m chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y =f(t) và y = m
Như vậy:
 có duy nhất 1 tiếp tuyến qua M
 có hai tiếp tuyến qua M.
 có 3 tiếp tuyến qua M.
3. Ví dụ 3: Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ A(3,0)
(Đề tuyển sinh năm 1996)
Giải
* TXĐ: 
* Đường thẳng x = 3 qua A không là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
ị Phương trình tiếp tuyến qua A(3,0) có dạng 
(d) tiếp xúc với đồ thị hàm sốhệ phương trình sau có nghiệm.
TH1: x ³ 0, hệ có dạng : 
TH2: x < 0, hệ có dạng:
Với 	k = ị (d2)	y = (x-3)
	k = ị (d3)	y = (x-3)
Vậy có 3 tiép tuyến với đồ thị A(3,0) là (d1), (d2), (d3)
4. Ví dụ 4: Cho hàm số Xác định tất cả các điểm trên Oy sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị .
Giải 
* TXĐ: R vì > 0 "x ẻ R.
. Giả sử tiếp điểm là M (x0, y0). Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng 
Û (d): 
Tiếp tuyến (d) qua A(0, b) ẻ Oy khi:
+ Tìm điều kiện b ta tìm miền giá trị y = 
* Miền xác định: R
* y’ = 
x
0
+
y'
+
0
-
y 
1
ị Những điểm thuộc Oy là A(0, b) với < b Ê 1 luôn có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị.
III) a. Bài toán 3:
Cho hai đường cong (C): y = f(x) và (D): y = g(x)
Hãy tìm tất cả các tiếp tuyến chung của (C) và (D).
Giải
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (C) và (D)
(T) tiếp xúc với (C) và (D) lần lượt tại các điểm có hoành độ u và v. Khi đó:
Và 
 ị Hệ 	
 Giả sử là nghiệm của hệ với thì các tiếp tuyến cần tìm là : với 
b. Ví dụ 1: Tìm các tiếp tuyến chung cả 2 đường cong
 Giải:
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của hai đường cong trên.
(T) Tiếp xúc với (1) tại điểm có hoành độ u
(T) Tiếp xúc với (2) tại điểm có hoành độ v
Khi đó: 	
ị Có hệ : 
Û 	
Û 	
Thế v = từ (3) vào (4): 
Û 
Đặt 	
u
0
+
h'(u)
+
0
-
h(u)
+
5
+
ị h(u) ³ 5 " u ẻ R đ (*) vô nghiệm đ Hệ trên vô nghiệm
ị (1) và (2) không có tiếp tuyến chung.
2. Ví dụ 2:
Tuỳ thuộc vào m hãy biện luận số lượng tiếp tuyến chung của hai đường cong.
Giải
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (A) và (B) 
(T) tiếp xúc với (A), (B) lần lượt tại các điểm có hoành độ u và v.
đ 	
Như vậy 	
Û 	
Û (*) 
Số tiếp tuyến chung của (A) và (B) chính là số cặp nghiệm (u,v) phân biệt của hệ (*) với m ạ 0 vì m = 0
(B): y = x không có tiếp tuyến.
Thế u = mv từ (1) vào (2):
Số nghiệm của hệ (*) cũng là số nghiệm của (3), với m ạ 0
(B): y = x (loại)
- m = 1 đ (3) vô nghiệm đ (A) và (B) không có tiếp tuyến chung
m ạ 0
m ạ 1 đ (3) có hai nghiệm phân biệt
đ (A), (B) có hai tiếp tuyến chung.
Kết luận: 
m = 0
m = 1 đ Không có tiếp tuyến chung của (A) và (B)
m ạ 0
m ạ 1 đ Có 2 tiếp tuyến chung của (A) và (B)
Nhận xét:
Đối với dạng toán thứ 3 này, đôi khi hệ phương trình cần giải khá phức tạp thậm chí không giải được. Có lẽ đó là nguyên nhân khiến chúng ta ít gặp trong toán sơ cấp.
II. Các bài toán áp dụng:
Bài 1: Xác định a để đồ thị hàm số:
Tiếp xúc với trục hoành.
Giải
Đặt 
Để (C) tiếp xúc với trục hoành thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm bội ³ 2. Điều này Û 
Vậy với a = -1 hoặc a = hoặc a = thì (C) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 2: Cho hàm số 
 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Giải
Đặt 
Rõ ràng	ị 
Hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là nghiệm phương trình
ị Hoành độ của B và C chính là nghiệm của phương trình 
 Khi đó theo định lý viet 	
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C có hệ số góc lần lượt là:
f’(xB) và f’(xC)
Để hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau thì cần và đủ:
Do (*) nên: 
 thoả mãn (1)
Vậy với m = hoặc m = thì yêu cầu bài toán thoả mãn.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = 
Với những giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận.
Giải- TXĐ: R 
y' = 
ị y’(0) = 
 x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số.
 y = là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng thì 
y’(0) = 0 ị m2 – 16 = 0 đ m = ± 4 (thoả mãn m ạ 0)
- Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận xiên thì 
k.y’(0) = -1 (k: là hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0)
ị k. ị (vô nghiệm m)
ị Vậy tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc với tiệm cận đứng khi 
m = ± 4.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = (C)
a. Có nhận xét gì về ác tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm trên đường thẳng y = 7
b. Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kể đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450.
Giải 
* TXĐ: R\ 
y = xác định trên R\ 1
y’ = 2 - 
Tiệm cận đứng: x = 1 
Tiệm cận xiên: y = 2x + 1 
Bảng biến thiên
x
0
 1
2
+
y'
0
-
-
0
+
y 
-
-1
-
+
7
+
0
-1
1
2
1
3
7
y
y=2x+1
x=1
x
a. Đường thẳng y = 7 tiếp xúc với (C) 
tại điểm (2, 7), nên nó là một tiếp tuyến
của đồ thị. Do đó trong các tiếp tuyến 
kẻ đến đồ thị các điểm trên đường y = y
thì đường thẳng này là một tiếp tuyến
cố định. 
b. Giả sử A(x,7) là một điểm trên
đường thẳng y =7, từ đó có thể kẻ
đến đồ thị 2 tiếp tuyến lập với nhau
góc 450.
Vì y = 7 đã là 1 tiếp tiếp tuyến và là 
đường thẳng nằm ngang nên tiếp tuyến kia phải có hệ số góc = ± 1
(vì )
Gọi M (x0, y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 này với đồ thị. Ta có: 
± 1 = y’(x0) = 
Như vậy trên đồ thị có 4 điểm, tại đó tiếp tuyến có hệ số góc = ± 1. Bốn tiếp tuyến này cắt đường thẳng y = 7 tại 4 điểm phải tìm là (1 +, 7); (1-,7) ; (1+, 7); (1-, 7).
Ví dụ 4: Cho hàm số y = (C)
 Cho A(0, a). Xác định a để từ A kể được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía đói với 0x.
Giải
TXĐ : R-{1}
- Dễ thấy đường thẳng có dạng x =a không là tiếp tuyến (C) với " a ẻR.
- Đường thẳng qua A(0, a) có dạng y = k(x) + a là tiếp tuyến của (C)úhệ sau có nghiệm:
 Thay (2) vào (1) có: 
Rõ ràng x = 1 không phải là nghiệm của (3) nên (*) 
Để A qua có 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì cần và đủ là phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hoành độ điểm tiếp xúc
ị 	
2 điểm tiếp xúc nằm về hai phía Ox Û y(x1).y(x2) < 0
Û 	 < 0
Û	 < 0 (5)
Đặt t = 
 ị 	 Thay vào (5)
ị < 0 	Û 	
 * t < đ < Û < 0 Û < a < 1
 (Thoả mãn a > - 2 và a ạ 1)
 * t > 1 ị > 1 Û > 0 Û a > 1 (Thoả mãn a > -2 và a ạ 1)
Vậy với 	 thì bài toán thoả mãn
*Ví dụ 5: Trong không gian cho đường thẳng (Dm)
2mx + (1 – m2)y – (1 + m2) = 0
z ạ 0
Chứng minh rằng khi m thay đổi (Dm) luôn tiếp xúc với đường tròn c định trong (Oxy).
Giải
Trong (Oxy), (Dm) có dạng: 
M0(x0, y0, 0) ẻ (Oxy)
ị d(M0, Dm) = 
với x0 = 0; y0 = 0; z0 = 0
ị d(M0, Dm) = 1 " m
ị Dm luôn tiếp xúc với đường tròn cố định (0; 1) trong Oxy vì M0 luôn cách Dm một khoảng không đổi là 1.
Ví dụ 6: Cho hàm số y . Tìm những điểm trên đường thẳng y= 1 mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyên đến đồ thị hàm số.
Giải
* TXĐ: 
- Các điểm thuộc đường y = 1 có dạng A (a, 1). Phương trình đường thẳng qua A (a, 1) có dạng:
(
(d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:
Û 	Û 
(*) Û (1)
+ a = - 1 ị k = - 2 thoả mãn đ A1(-1, 1)
+ a ạ - 1. Từ A kẻ dc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm s khi (1) có nghiệm kép khác hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm làvà một nghiệm 
Vởy tồn tại 4 điểm A(-1,1); B2(1,1); A3(,1); A4(,1)
III. mở rộng vấn đề:
0
y
x
- ở những phần trên chúng ta chỉ xét tiếp tuyến với đồ thị hàm số có dạng một đường thẳng. Nếu bây giờ thay đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số cho trước là một đường cong, thì bài toán về các đường cong tiếp xúc nhau liệu có gì khác những bài toán mà ta đang xét ở trên hay không?
- Cho 2 hàm số:
 y = f(x1) có đồ thị (C1)
Và 	y = g(x) có đồ thị (C2)
Phương trình hoành độ giao điểm 
(C1) và (C2):
f(x) = g(x) Û f(x) – g(x) = 0 (*)
Số giao điểm (C1) và (C2) chính là số nghiệm phương trình trên.
Vậy để (C1) và (C2) tiếp xúc nhau thì phương trình (*) phải có nghiệm bội x0 tức:
(C1) tiếp xúc (C2) Û hệ 	 	 có nghiệm
Û 	có nghiệm
* Dễ dàng thấy nếu (C1) tiếp xúc với (C2) thì chúng sẽ có tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc đó.
- Để thấy được ý nghĩa của bài toán tiếp xúc của 2 đường cong chúng ta sẽ có những bài toán như: chứng minh họ đường cong tiếp xúc nhau, chứng minh một họ đường cong cho trước luôn có một đường không đổi tiếp xúc với nó.
Dạng 1: Chứng minh (tìm) đường thẳng, đường cong luôn tiếp xúc với đồ thị cho trước với điều kiện ta đã biết dạng đường cần tìm.
Bài 1: Chứng minh rằng họ đường cong (Cm) của hàm số
luôn tiếp xúc lẫn nhau
Giải
Lấy m1 ạ m2 thì phương trình hoành độ giao điểm của (Cm1) và (Cm2) là:
 Xét hệ: 
Hệ phương trình 	có nghiệm x=1
	Họ đường cong (Cm) luôn tiếp xúc lẫn nhau tại A (1;-1) và tại đó họ (cm) có 1 tiếp tuyến chung.
Bài 2: Cho hàm số y=
	Chứng minh rằng m - 1, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
Giải: Trước hết ta phải tìm điểm cố định A (x0, y0) sao cho (1) qua A với 
m - 1. Khi đó:
	Dễ thấy với m -1 thì (1) luôn qua (-1, -2).
	Mặt khác:
Từ đó ta thấy các đường cong (1) đều tiếp xúc với đường thẳng y =x – 1 cố định tại điểm (-1,-2) cố định.
Bài 3: Cho hàm số 
	Chứng minh rằng m 0, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Giải:
	- Rõ ràng đường thẳng x = luôn không tiếp xúc với đồ thị hàm số.
	- Giả sử y = ax + b là đường tiếp xúc với (cm) m 0.
Khi đó hệ 	có nghiệm
Hệ trên có nghiệm (*) có nghiệm bội x0 - m
Vậy đường thẳng là: y = x +1
Khi a = b = 1 nghiệm kép (*) là x = 0. Với x + m 0 m 0.
Vậy m 0 đồ thị luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x + 1 cố định
Bài 4: Cho đồ thị (Cm) của hàm số,
	 (m: tham số).
	Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định.
Giải: 
	TXĐ: R\ m
Trước hết là ta có nhận xét không có đường thẳng nào song song với 2 trục là tiếp tuyến của đồ thị (Cm)
Vì thế ta xét tiếp tuyến (Cm) có dạng: y = kx + b (k 0)	(d)
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (Cm) cần và đủ là hệ
	có nghiệm
	(*)
Điều đó cũng nghĩa là phương trình (*) có nghiệm bội x0.
 (*) có nghiệm kép x0 +m
	(*) 	x m	
	 	 có nghiệm kép.
	kx2 + có nghiệm kép.
	Vì km2 + 
Vì vậy đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định có phương trình là y = x + 2 và y = x – 6.
Bài 5: cho hàm số
	Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với 1 parabol cố định. Tìm quỹ tích tiếp điểm.
Giải: TXĐ: R\ cosa
đ Phương trình tiệm cận xiên: 
	Ta xét parabol y = ax2 + bx + c (a 0)
	Để tiệm cận xiên tiếp xúc với parapol thì cần và đủ là phương trình
	Có nghiệm kép a kp. (k € z).
	có nghiệm kép 
	Vì vậy tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với parapol.
	Hoành độ tiếp điểm xác định bằng hệ thức x = 2cosa.
	Với a kp đ 0 Ê < 2
 	Tập hợp các tiếp điểm là 2 cung parabol kể trên ở trên 2 miền (-2,2)
Dạng 2: Tìm (chứng minh) đồ thị hàm số đã cho luôn tiếp xúc với một đồ thị cố định.
	Cụ thể. Cho hàm số y = f(x, m). Hãy tìm đồ thị hàm số cố định luôn tiếp xúc với 
y = (x, m).
	- Giả sử đố là hàm số y = g (x). Đồ thị hàm số này tiếp xúc với 
y = f(x, m) 	 có nghiệm
	hay	 
	Với việc coi m là ẩn và x là tham số.
	Từ (2) m = h (x) thế vào (1) và tìm được y = g(x). Khi đó ta sẽ xét hàm y = g(x) có là đồ thị cần tìm hay không?
Bài 1: Cho hàm số 
	Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố định.
Giải:
	Xét hệ:	 
(2) đ x = - m thế vào (1) y = x3 + x2 
Ta sẽ chứng minh y= g(x) luôn tiếp xúc với y= f(x, m)
	luôn có nghiệm x = - m
 Đồ thị hàm số y = g(x) luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số cố định.