Chuyên đề: Hàm số - Dạng 1 Một số dạng toán về cực đại cực tiểu của hàm số đa thức

Chuyên đề: Hàm sốDạng 1Một số dạng toán về cực đại cực tiểu của hàm số đa thứcNội dungNội dungDạng 1: Một số dạng toán về cực đại cực tiểu của hàm số đa thứcDạng 1A. Một số kiến thức chung về cực trị của các hàm số trong chương trình phổ thông.Dạng 1B. Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu Dạng 1C. Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trướcDạng 1D. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)Dạng 1AMột số kiến thức chung về cực trị của các hàm số trong chương trình phổ thông.1. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).Ta có Nếu : y’ không đổi dấu, hàm số không có cực trị.Nếu : phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua nghiệm nên hàm số có cực đại, cực tiểu.Hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua điểm uốn.Chia đa thức y cho y’, ta được y = y’. q(x) + r(x), trong đó q(x), r(x) là các nhị thức bậc nhất và lần lượt là thương, số dư của phép chia. Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại (x1 ; y1), (x2 ; y2). Vì y’(x1) = y’(x2) = 0 nên tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn y = r(x). Đó chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị.Dạng 1A. Một số kiến thức chung về cực trị của các hàm số trong chương trình phổ thông.2. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có y’ = 2x(2ax2 + b). Dễ thấy nếu ab ≥ 0, hàm số có một cực trị tại x = 0. Nếu ab 0  m 0Chia đa thức y cho y’, ta được y = y’.() + (px+q). Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại (x1 ; y1), (x2 ; y2). Vì y’(x1) = y’(x2) = 0 nên tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn y = px+q. Đó chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị. Dạng 1B Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểuBài tập tương tự Cho hàm số y = x3 + 3x2 + (m - 1)x + 2.Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tạo với hai trục toạ độ một tam giác vuông cân.Giải.Ta có y’ = 3x2 + 6x + m -1. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.Ta có điều kiện Δ’ = 12 – 3m > 0  m 0  m > - 3Chia đa thức y cho y’, ta được Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).Vì y’(x1) = 0, y’(x2) = 0 nên từ hệ thức trên suy ra Dạng 1B Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểuta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu là Các điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng (d) trong 2 trường hợpsau:TH1. 	 (loại).TH2. Trung điểm của đoạn AB nằm trên (d).Tọa độ trung điểm AB là Có ĐS : m = 0. Dạng 1B Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểuLưu ý. Bài toán: Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng (d) cho trước (trong đó f(x) là một hàm số bậc ba hoạc hàm số phân thức). Cách giảiTính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giả sử các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A, B.Lập phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu (d1).Hai điểm A, B cách đều đường thẳng (d) trong hai trường hợp sau:	TH1. (d1) song song với (d).	TH2. Trung điểm của AB nằm trên (d).Dạng 1B Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểuDạng 1CTìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trướcDạng 1C. Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trướcBài tập mẫu. Cho hàm số y = x3 - x2 + mx + 1.Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn Giải. y’ = 3x2 - 2x + m . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phânbiệt. Ta có điều kiện Chia đa thức y cho y’, ta được Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).Vì y’(x1) = 0, y’(x2) = 0 nên từ hệ thức trên suy ra Dạng 1C. Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trướcBài tập mẫu (tt)Theo định lí Vi-et, ta có Do đó: Ta đượcCác nghiệm này thoả mãn bài toán.Đáp số: Dạng 1C. Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trướcLưu ý. Bài toán: Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước nào đó (trong đó f(x) là một hàm số bậc ba hoạc hàm số phân thức).Cách giải. Tính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2). Tính y1, y2 theo x1, x2.Biến đổi hệ thức trong đầu bài làm xuất hiện tổng và tích của x1, x2. Sử dụng định lí Vi-et tính x1+ x2 và x1x2. Thay kết quả đó vào hệ thức trên, ta tìm được tham số của đầu bài. Dạng 1DHàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)Dạng 1D. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)Bài tập mẫuCho hàm số y = x4 - 2mx2 + m - 1.Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.GiảiTa có y’ = 4x(x2- m)Hàm số có 3 cực trị khi phương trình y ’ = 0 có ba nghiệm phân biệt, haym > 0. Dễ tính được tọa độ 3 điểm cực trị làVì hàm số đã cho là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung nên ta luôncó AB = AC. Ta có Tam giác ABC đều khi AB2 = BC2.Ta được phương trình Đáp số: Lưu ý. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng quatrục tung. Có y’ = 2x(2ax2 + b). Nếu ab ≥ 0, hàm số có một cực trị tại x = 0. Điểm cực trị nẳm trên trục tung.Nếu ab < 0, hàm số có ba cực trị. Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên ba điểm cực trị luôn tạo thành một tam giác cân.  Dạng 1D. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)