Chuyên đề: Hàm số - Dạng 2 Một số dạng toán về cực đại cực tiểu của hàm số phân thức

Chuyên đề: Hàm sốDạng 2Một số dạng toán về cực đại cực tiểu của hàm số phân thứcNội dungNội dungDạng 2: Một số dạng toán về cực đại cực tiểu của hàm số đa thứcDạng 2A. Một số kiến thức chung về cực trị của các hàm số trong chương trình phổ thông.Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu .Dạng 2C.Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phiá của một đường thẳngDạng 2D.Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu Dạng 2AMột số kiến thức chung về cực trị của các hàm số trong chương trình phổ thông.	Hàm số 	 có 	Gọi tam thức trên tử số của y’ là f(x). Hàm số có cực trị khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 	Ta có ĐK .	Hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận.	Với HÀM Số có dạng phân thức	Khi y’ = 0 ta có . 	Do đó tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn . 	Đó chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu. Dạng 2A. Một số kiến thức chung về cực trị của các hàm số trong chương trình phổ thôngDạng 2BKhoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểuBài tập mẫu	Cho hàm số 	Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị có khoảng cách nhỏ hơn 3.Giải	Ta có 	HÀM Số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. ĐK .	Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).	Ta có y1 = 2x1 -3m – 2 ;   y2 = 2x2 -3m – 2	và theo định lí Vi-et : x1 + x2 = 2 ; x1x2 = 2m-2.Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểuBài tập mẫu (tt)	Ta có 	Kết hợp với điều kiện HÀM Số có cực trị, ta được 	Lưu ý. 1.Khi tính giá trị cực đại, cực tiểu của HÀM Số phân thức 	ta sử dụng công thức . Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểuBài toán:	Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn một điều kiện cho trước (trong đó f(x) là một hàm số bậc ba hoạc hàm số phân thức).	Cách giải:Tính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).Tính y1, y2 theo x1, x2.Ta có Sử dụng biến đổi (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 để áp dụng định lí Vi - et. Từ đó tìm được điều kiện của tham số.Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểuBài tập tương tự 	Cho hàm số 	Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho OA, OB vuông góc với nhau.Giải	Ta có 	HÀM Số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm 	phân biệt khác 1. ĐK .	Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).	Ta có y1 = 2x1 - 4 m ;   y2 = 2x2 - 4m	và theo định lí Vi-et : x1 + x2 = 2 ; x1x2 = 3m - 3.Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu Bài tập tương tự (tt) Ta có :Các giá trị trên thoả mãn ĐK Đáp số: .Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểuLưu ý. 	Bài toán: Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho OA, OB vuông góc với nhau.(trong đó f(x) là một hàm số bậc ba hoạc hàm số phân thức).	Cách giải Tính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).	Tính y1, y2 theo x1, x2.	Ta có . Biến đổi hệ thức, áp dụng định lí Vi - et. Từ đó tìm được điều kiện của tham số.	Tương tự. Góc AOB nhọn khi 	 Góc AOB tù khi Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểuDạng 2CHai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phiá của một đường thẳngBài tập mẫu	Cho hàm số 	Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hai điểm CĐ, CT của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng 2x + y – 1 = 0 (d).Giải	Ta có 	HÀM Số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. ĐK 	Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).	Ta có y1 = 2x1 + m ;   y2 = 2x2 + m.	A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi:Dạng 2C. Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳngBài tập mẫu (tt)Theo định lí Vi-et: x1 + x2 = -2 ; x1x2 = m - 3. Thay vào BPHƯƠNG TRÌNH trên, ta đượcKết hợp với ĐK m 0, yCT > 0 khi Ta có yCĐ , yCT trái dấu khi y1y2 1. Hãy xác định đó là điểm cực đại hay cực tiểu của đồ thị.	Giải	HÀM Số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân 	biệt khác -1. ĐK 	Khi ĐK trên thoả mãn, phương trình có hai nghiệm thoả mãn  Dạng 2D. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểuBài tập tương tự (tt)	Do đó hàm số có cực trị tại điểm x > 1 khi 	Với m tìm được ở trên, hàm số có cực trị tại điểm x2 > 1. Vì x2 là nghiệm lớn của phương trình y’ = 0 nên y’ đổi dấu từ âm sang dương khi qua x2. Do đó hàm số có cực tiểu tại x2. 	Kết luận: hàm số có cực trị tại điểm x > 1 khi và đó là điểm cực tiểu của hàm số.xDạng 2D. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu