Chuyên đề: Hàm số - Dạng 6 Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức

Dạng 6Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thứcChuyên đề: Hàm sốNội dungDạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức: Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, logDạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giácDạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6ABất đẳng thức về hàm số mũ, logaritDạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, logBài tập mẫu	Chứng minh rằng nếu x > 0 thì ex > 1 + x.	Giải	Xét hàm số f(x) = ex – (1 + x).	Ta có f ’(x) = ex – 1 > 0 x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R.	Do đó nếu x > 0 => f(x) = ex – 1 – x > 0 => ex > 1 + x x > 0 (đpcm).Lưu ýBài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong khoảng (a ; b).Cách giải thường gặp:Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số. Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì x (a ; b) => f(a) f(b) 0 thì 	Giải	Xét hàm số 	Ta có 	 ,suy ra hàm số f(x) 	nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R). 	Do đó nếu 	 (đpcm).Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, logBài tập tương tự (tt)Lưu ý. Ta có các bất đẳng thức sau:Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, logDạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giácBài tập mẫu	Chứng minh rằng nếu 	 thì sinx f(0) = 0 =>sinx g(0) = 0 => tanx > x 	Vậy nếu	 thì sinx 2x. 	Giải	Xét hàm số 	Nếu 	thì 	Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . 	Do đó nếu 	thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0 => sinx + tanx > 2x (đpcm).Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giácLưu ý	Ta thường gặp các bất đẳng thức sau:Nếu x > 0 thì Với mọi x, có bất đẳng thức Nếu 	 thì 2sinx + tanx > 3x.Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giácDạng 6CSử dụng đạo hàm bậc cao Bài tập mẫu	Chứng minh rằng nếu x > 0 thì  	Giải 	Xét hàm số 	suy ra hàm số f ’’(x) đồng biến trên R. 	Do đó nếu x > 0 thì f ’’(x) > f ’’(0) = 0, suy ra hàm số f ’(x) đồng biến khi x > 0 .	Do đó nếu x > 0 thì f ’(x)> f’(0) = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến khi x > 0 .	Do đó nếu x > 0 thì 	 (đpcm)Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc caoBài tập tương tự 	Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có bất đẳng thức 	 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?	Giải	Xét hàm số 	Ta có 	suy ra hàm số f ’(x) đồng biến trên R. 	Do đó nếu x > 0 thì f ’(x) =ex – sinx – 1 + x > f’(0) = 0 , suy ra hàm số f(x) đồng biến khi x > 0. Do đó nếu x > 0 thì .Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc caoBài tập tương tự (tt)	Do đó nếu x < 0 thì f’(x) = ex – sinx – 1 + x < f(0) = 0 , suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x < 0. Do đó nếu x < 0 thì 	Ta được trong mọi trường hợp đều có bất đẳng thức 	dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 (đpcm)Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc cao