Chuyên đề: Hệ phương trình hai ẩn

CHUYEÂN ÑEÀ: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN
VẤN ĐỀ 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hệ có dạng: 
Đặt: D = = ab’ – a’b 
	Dx= = cb’ – c’b 
	Dy= = ac’ – a’c 
Nếu: · D ¹ 0: Hệ có nghiệm duy nhất là: 
	 · D = 0 và Dx ¹ 0 (hoặc Dy ¹ 0): Hệ vô nghiệm 
	 · D = Dx = Dy = 0: Hệ vô số nghiệm 
Chú ý: Bài toán Hệ có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của tham số
	· Cho hệ phụ thuộc vào hai tham số a, b. Tìm điều kiện của tham số a 	 để hệ có nghiệm với mọi b: 
	· PP: Chọn vài giá trị đặc biệt của b để hẹ có dạng đơn giản. Tìm điều 	 kiện của a để hệ này có nghiệm. Sau đó kiểm tra lại để được 	 điều kiện cần và đủ.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hệ phương trình: 
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x ³ y?
Với m tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y ?
Bài 2: Với giá trị nào của a và b thì hệ sau vô nghiệm:
Bài 3: Tìm các giá trị của b để hệ sau có nghiệm với mọi aÎ R:
Bài 4: Cho hệ phương trình: 
	Xét nghiệm của hệ trên với a = 0; a = 
Bài 5: Cho hệ phương trình: 
	Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn x < y + 2
Bài 6: Với giá trị nào của a, b thì hệ sau có nghiệm:
VẤN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 · Hệ phương trình đối xứng đối với x, y có nghĩa là hệ không thay đổi 	 
 khi ta thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x
 · PHƯƠNG PHÁP: Đặt S = x + y và P = xy
	Ta được một hệ mới 2 ẩn S và P. Giải hệ này ta tìm được S và P. Từ đó 	tìm nghiệm x, y bằng cách giải phương trình: 
	X2 - SX + P = 0 với điều kiện: S2 – 4P ³ 0.
Chú ý: 
	· Nhiều hệ phải đặt ẩn phụ trước khi tiến hành các bước giải nêu trên
	· Nếu hệ có nghiệm (x0; y0) thì nó cũng có nghiệm (y0; x0). Do đó 	 	nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó phải có dạng 	(x0; y0)	(Điều kiện cần).
	· Một hệ thuộc loại này cũng có thể giải bằng phương pháp thế.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau: 
	a. 
	b. 
	c. 
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau: 
	a. 
	b. 
Bài 9: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
Bài 10: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = 12
Tìm m để hệ trên có nghiệm ?
Bài 11: Cho hệ phương trình: 
CMR với mọi m thì hệ luôn có nghiệm. Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 12: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = 3
CMR với mọi m thì hệ luôn có nghiệm. 
Bài 13: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = 2
	b. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện: x, y >0 
VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
	· Hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là đối xứng dạng 2 nếu khi trao 	 đổi vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình 	 	 kia của hệ.
	· Phương pháp: Trừ từng vế của hai phương trình, ta thu được một 	 phương trình tích, dựa vào phương trình tích này để giải hệ.
Chú ý: 
	· Nhiều hệ phải đặt ẩn phụ trước khi tiến hành cách giải nêu trên
	· Nếu hệ có nghiệm (x0; y0) thì nó cũng có nghiệm (y0; x0). Do đó 	 	nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó phải có dạng 	(x0; y0)	(Điều kiện cần).
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 14: Giải các hệ phương trình: 
	a.	
	b. 	
	c. 
Bài 15: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
Bài 16: Tìm các giá trị âm của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
Bài 17: Cho hệ phương trình:
Giải hệ khi m = 0
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó?
Bài 18: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
	a. 
	b. 
VẤN ĐỀ 4: HỆ ĐẲNG CẤP BẬC 2 (BẬC 3) CHỨA HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình bậc hai có dạng:
· Phương pháp: Xét 2 trường hợp:
	+ TH1: Xem hệ có nghiệm x = y = 0 hay không ?
	+ TH2: Nếu x = y = 0 không là nghiệm: Ta đặt y = tx hay x = ty, thay 	 vào hệ và khử x (hay y) ta được một phương trình bậc 2 theo 	 t, giải phương trình này theo t và suy ra nghiệm x và y.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 19: Giải các hệ phương trình sau:
	a. 
	b. 
	c.
Bài 20: Giải các hệ phương trình sau:
	a. 
	b. 
Bài 21: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình với m = 0
Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm ?
Bài 22: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình với a = 4
CMR hệ luôn có nghiệm với mọi a
VẤN ĐỀ 5: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐƯỢC VỀ 	 CÁC DẠNG HỆ ĐÃ GẶP (TỪ VẤN ĐỀ 1 ® 4)
A. PHƯƠNG PHÁP:
- Một cách tổng quát ta dùng phép biến đổi tương đương đưa hệ phương 
 trình đã cho về hệ đơn giản đã biết. Ta hay gặp các trường hợp sau:
	· Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép đặt ẩn 	 phụ.
	· Nếu biến đổi được 1 phương trình của hệ thành phương trình tích số, 	 thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản.
	· Nếu thấy trong hệ có các biểu thức đồng dạng thì ta đặt ẩn phụ.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 23: Giải các hệ phương trình sau:
	a. 
	b. 
Bài 24: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a: 	 a. 
	b. 
Bài 25: CMR hệ sau luôn có nghiệm với mọi k: 
Bài 26: Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng hai nghiệm:
Bài 27: Cho hệ: 
Giải hệ khi m = 4
Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm
Bài 28: Giải hệ phương trình: 
	a.
	b. 
Bài 29: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = 1
Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt 
Bài 30: Giải hệ phương trình: 
	a. 
	b.
	c. 
Bài 31: Giải hệ phương trình: 
	a. 
	b. 
VẤN ĐỀ 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
A. PHƯƠNG PHÁP:
Để giải hệ phương trình chứa căn ta chú ý các thao tác sau:
· Đặt điều kiện để các biểu thức dưới căn có nghĩa 
· Dùng các phép khử biến để để đưa về phương trình đã biết cách giải
· Đặt ẩn số phụ để đưa hệ về các hệ đơn giản đã biết cách giải.
· Kiểm tra sự tương đương giữa các hệ
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 32: Giải các hệ phương trình:
	a. 	b. 
Bài 33: Giải các hệ phương trình:
	a. 
	b. 
Bài 34: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình khi a = 4
Tìm a để hệ có nghiệm
Bài 35: Giải các hệ phương trình:
a.
b. 
	c. 
Bài 36: Tìm m để sau có nghiệm: 
	a. 	b. 
Bài 37: Giải các hệ phương trình:
	a. 
	b. 	
	c. 
VẤN ĐỀ 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
A. PHƯƠNG PHÁP:
Ta thường dùng các phương pháp sau:
· Phép thế: Giải một phương trình của hệ rồi thế kết qủa vào phương trình 	 còn lại.
· Đặt ẩn phụ: Đưa về hệ đã biết cách giải
· Biến đổi tương đương về hệ đơn giản và áp dụng một trong 2 cách trên.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 38: Giải các hệ phương trình sau: 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 39: Cho hệ: 
Giải hệ với m = 3
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
Bài 40: Giải các hệ phương trình sau: 
a. 
	b. 
Bài 41: 
	a. Giải hệ phương trình: 	
	b. Tìm tất cả các cặp số dương (x, y) thỏa mãn hệ:
	c. Giải hệ phương trình:
Bài 42: Giải các hệ phương trình sau: 
	a. 
	b. 
	c. 
C. GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CHÍNH THỨC (2002 – 2007)
Bài 43: Giải hệ phương trình: 
	(Khối B – 2002)
Bài 44: Giải hệ phương trình: 
	(Khối D – 2002)
Bài 45: Giải hệ phương trình: 
	(Khối A – 2003)
Bài 46: Giải hệ phương trình: 
	(Khối B – 2003)
Bài 47: Giải hệ phương trình: 
	(Khối A – 2004)
Bài 48: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
	(Khối D – 2004)
Bài 49: Giải hệ phương trình: 
	(Khối B – 2005)
Bài 50: CMR Với mọi a hệ sau có nghiệm:
	(Khối D – 2006)
Bài 51: Giải hệ phương trình: 
	(Khối A – 2006)
Bài 52: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực: 
	(Khối D – 2007)
CHUYEÂN ÑEÀ: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN
VẤN ĐỀ 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
	- Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c , a ¹ 0. Bất phương trình (bpt) bậc hai là bpt có dạng f(x) > 0 hoặc f(x) ³ 0 hoặc f(x) £ 0 hoặc f(x) < 0. Muốn giải bpt bậc hai ta đi xét dấu tam thức f(x), từ đó suy ra tập nghiệm của bpt. Nếu hệ số a có thể triệt tiêu ta phải xét thêm trường hợp a = 0
Chú ý: 
 1. Xét dấu f(x) = ax2 + bx + c , a ¹ 0
	D = b2 – 4ac
 · D 0 với mọi x Î R
 · D = 0 Þ af(x) > 0 với mọi x ¹ (nghiệm kép)
 · D > 0 Þ f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 và: 
 2. Bất phương trình bậc hai vô nghiệm:
	· ax2 + bx + c > 0 vô nghiệm Û ax2 + bx + c > 0, có nghiệm với "x
	Û 
	· ax2 + bx + c < 0 vô nghiệm Û ax2 + bx + c ³ 0, có nghiệm với "x
	Û 
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 53: Cho tam thức f(x) = (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + 2m – 1
	Tìm m để :
Bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm
Bất phương trình f(x) ³ 0 có nghiệm
Bài 54: Giải và biện luận bất phương trình:
	(m + 1)x2 + 4x + m – 2 £ 0
VẤN ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Giải bất phương trình chứa căn thức thường đưa đến các dạng cơ bản sau:
- Ngoài ra nếu một bpt chứa nhiều căn thức bậc hai, ta phải tìm điều kiện để các biểu thức của ẩn chứa trong căn là không âm, sau đó sắp xếp hai vế của bất phương trình đều dương và dùng phương pháp nâng lũy thừa thích hợp để đưa bất phương trình về các dạng cơ bản trên.
- Chú ý: 
	· Nếu a, b ³ 0 thì ta có: a < b Û a2n < b2n 	(n Î N) 
	· Với mọi a, b Î R, ta có: a < b Û a2n+1 < b2n+1 	(n Î N)
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 55: Giải các bất phương trình:
	a. 	b.
	c. 	d. 
Bài 56: Giải các bất phương trình:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 57: Giải các bất phương trình:
	a.	(ĐH QG HCM)
	b. (ĐH KHTN HCM)
	c.	(ĐH An ninh)
Bài 58: Giải các bất phương trình:
	a. 	(ĐH KD – 2002)
	b. 	(ĐH KA – 2004)
	c. 	(ĐH KA – 2005)
VẤN ĐỀ 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Để giải một bất phương trình mũ ta thường sử dụng các phương pháp sau:
1. Đưa hai vế của bất phương trình cho về cùng một cơ số rồi sử dụng tính tăng, giảm của hàm số mũ để giải.
Ghi nhớ: 
	· Nếu a > 1 thì ta có: 	 af(x) ³ ag(x) Û f(x) ³ g(x)
	· Nếu 0 < a < 1 thì ta có: af(x) ³ ag(x) Û f(x) £ g(x)
	· Tổng quát ta có: 	 af(x) ³ ag(x) Û 
2. Đặt ẩn phụ rồi đưa bất phương trình cho về một bất phương trình bậc 1, 2 
  theo một biến để giải.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 59: Giải các bất phương trình:
	a.	b. 
	c. 	d. 
Bài 60: Giải các bất phương trình:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Bài 61: Giải các bất phương trình:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
VẤN ĐỀ 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Để giải một bất phương trình lôgarit ta đưa hai vế của bất phương trình cho 
 về cùng một cơ số rồi sử dụng tính tăng, giảm của hàm số mũ để giải.
Ghi nhớ: 
	· Nếu a > 1 thì ta có: 	 logaf(x) ³ logag(x) Û	
	· Nếu 0 < a < 1 thì ta có: logaf(x) ³ logag(x) Û	
	· Tổng quát ta có: logaf(x) ³ logag(x) Û 
- Ta có thể đặt ẩn phụ rồi đưa bất phương trình cho về một bất phương trình 
 bậc 1, 2  theo một biến để giải.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 62: Giải các bất phương trình:
	a. logx(x - ) ³ 2	b. log4	
	c. 	d. 
Bài 63: Giải các bất phương trình:
	a. 	(ĐH NL TP.HCM)	
	b. 	(ĐH TC KT HN)
	c. 	(HV NG.hàng TP. HCM)
	d.	(ĐH Mỏ - Địa chất)
Bài 64: Giải các bất phương trình:
	a. 	(ĐH Y Hà Nội)
	b. 
Bài 65: Giải các bất phương trình:
	a. 	(ĐH TS Nha Trang)
	b. 	(ĐH KB - 2002)
	c. 	(ĐH KB - 2006)
	d.	(ĐH KA - 2007)