Chuyên đề khảo sát hàm số

 tọa độ O. 
Bài 3: Cho hàm số ( )2 2x 2 m 1 x m 4my
x 2
+ + + += + (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại, cực 
tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác 
vuơng tại O. (CTNC) 
Bài 4: Cho hàm số 
2mx 1y
x
+= (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và khoảng 
cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 2
2
. (CTNC) 
Bài 5: Cho hàm số my x m
x 2
= + + − (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực trị tại các điểm A, B 
sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. (CTNC) 
Bài 6: Cho hàm số my x 1
2 x
= − + + − (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ cực đại tại điểm A sao 
cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuơng cân. (CTNC) 
II.CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN CỦA 
 LỚP HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 
TĨM TẮT GIÁO KHOA: 
Bài 1: Tìm m sao cho đồ thị hàm số 
22x mx m 3y
x 2
+ − −= + cĩ tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ 
một tam giác cĩ diện tích bằng 4 (CTNC) 
Bài 2: Cho hàm số ( )23mx 5m 3 x 8y
mx 1
− + − += + (C) và đường thẳng (d): . Xác định 
m biết rằng (C) cĩ điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên của nĩ tạo với (d) một gĩc cĩ cơsin là 
y mx m 2= − +
1
5
 (CTNC) 
Bài 3: Cho hàm số 3x my
mx 1
+= + . Tìm m sao cho đồ thị hàm số cĩ tiệm cận đứng, tiệm cận ngang 
và các tiệm cận cùng với hai trụ tọa độ tạo thành một hình chữ nhật cĩ diện tích bằng 12 
Bài 4: Cho hàm số ( )22mx 3m 1 x m 2y
x 1
+ − + += + . Tìm m để đồ thị hàm số cĩ tiệm cận xiên và 
tiệm cận xiện tiếp xúc với đường trịn tâm I(1;2), bán kính 3R
2 2
= (CTNC) 
Bài 5: Cho hàm số 
26x (3m 2)x m 3y
3x 1
+ + + −= + . Tìm m để đồ thị hàm số cĩ tiệm cận xiên và tiệm 
cận xiên tiếp xúc với đường cong (C): 3 2y x 2mx 3x m= − + + (CTNC) 
Bài 6: Cho hàm số 2x 1y
x 2
+= − cĩ đồ thị (C). M là một điểm tùy ý trên (C) . Tiếp tiếp với (C) tại 
M cắt tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B 
 1) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. 
 2) Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một 
tam giác cĩ diện tích khơng đổi. 
 3) Chứng minh khơng cĩ tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. 
Bài 7: Cho hàm số 
2x 3x 1y
x 2
+ −= − cĩ đồ thị (C). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một 
điểm M bất kỳ trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một hằng số. Từ đĩ tìm tọa độ của M sao cho 
tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. (CTNC) 
Bài 8: Cho hàm số 
2x xy
x 1
− += −
1 cĩ đồ thị (C). Tìm điểm M (C)∈ sao cho khoảng cách từ M tới 
giao điểm I của hai tiệm cận là nhỏ nhất. (CTNC) 
II.TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG 
 a. Dạng 1: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm 0 0 0M (x ;y ) (C)∈ 
 (C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M Δ
 Phương pháp: 
 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: 
 y - y0 = k ( x - x0 ) 
 Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm 
 y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) 
 k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k =f'(x0) 
Áp dụng: 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn của nó 333 +−= xxy
`b. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 
cho trước 
 (C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M Δ
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau 
 Bước 1: Gọi 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : ' 0( )f x k= , từ đó suy ra 0 0( )y f x= =? 
 Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. 
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến 
song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . 
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: 
 Định lý 1: Nếu đường thẳng (Δ ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (Δ ) 
là: k aΔ =
 Định lý 2: Nếu đường thẳng (Δ ) đi qua hai điểm B A( ; ) và B(x ; ) với x xA A B BA x y y ≠ thì 
hệ số góc của ( ) là : Δ
B A
B A
y yk
x xΔ
−= − 
 Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( )1 2 và ( )Δ . Khi đó: Δ
1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
 k .k 1
Δ Δ
Δ Δ
Δ Δ ⇔ =
Δ ⊥ Δ ⇔ = − 
Áp dụng: 
(C): y=f(x) 
x
y
ak =
baxy +=
1Δ
2Δ
(C): y=f(x) 
Δ
x
y
ak /1−=
O
baxy +=Δ :2
Bài 1 : Cho đường cong (C): 3 21 1 2
3 2
y x x x= + − − 4
3
.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết 
tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2. 
Bài 2 : Cho đường cong (C): 
1
32
+
+=
x
xy . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 
vuông góc với đường thẳng ( xy 3:) = −Δ 
c. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA) 
xy
AAAA yxxkyxxkyy +−=⇔−=−Δ )()(:
O
);( AA yxA
)(:)( xfyC = 
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau 
 Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (Δ ) qua A và có hệ số 
 góc là k bởi công thức: 
 ( ) ( )A A A Ay y k x x y k x x y− = − ⇔ = − + (*) 
 Bước 2: Định k để ( ) tiếp xúc với (C). Ta có: Δ
 A'
f(x)=k(x-x )
 tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
Ay
x k
+⎧⎪Δ ⇔ ⎨ =⎪⎩
 Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm. 
Áp dụng: 
Bài 1 : Cho đường cong (C): 43 23 ++= xxy
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) 
Bài 2 : Cho đường cong (C): 2 5
2
xy
x
−= − 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0). 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) của hàm số xxxy 32
3
1 23 +−= tại điểm 
uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Δ
Bài 2: Cho đường cong (C): 
2
12
+
−+=
x
xxy Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp 
tuyến vuông góc với đường thẳng ( 2:) −= xy Δ
Bài 3: Cho hàm số 
1
632
+
++=
x
xxy (C).Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó 
vuông góc với đường thẳng xyd
3
1:)( =
Bài 4: Cho đường cong (C): 
2 1
1
x xy
x
+ += + .Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại 
đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). 
Bài 5: Cho hàm số 
1
12
−
−+=
x
xxy (C).Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi 
điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). 
(CTNC) 
Bài 6: Cho hàm số 
3
1
23
1 23 ++= xmxy (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -
1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 
Bài 7: Cho đường cong (C): .Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp 
tuyến đi qua điểm M(2;-7) 
23 23 +−= xxy
Bài 8: Cho hàm số (1) . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm cĩ 
hồnh độ bằng 1 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho diện tích cùa tam 
giác OAB bằng 
3 2y x 3x m= − +
3
2
. 
Bài 9: Cho hàm số 2xy
x 1
= + . Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số, biết tiếp tuyến 
của (C) tại M cắt các trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1
4
. 
Bài 10: Cho hàm số xy
x 1
= − (1). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm 
cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 
III.SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 
 Bài toán tổng quát: 
 Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1
2
(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)
=⎧⎨ =⎩
x
y y y
x x
OOO
)( 1C
)( 2C
)( 1C
)( 2C
1x 2x
1M 2M2y
1y 0M
)( 2C
)( 1C 
 (C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp 
xúc nhau 
 Phương pháp chung: 
 * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: 
 f(x) = g(x) (1) 
 * Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1) 
 chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
 Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
Chú ý 1 : 
 * (1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm điểm chung 
 * (1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung 
Chú ý 2 : 
 * Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). 
 Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). 
x
y
0y
0x O
Áp dụng: 
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 
1
12
+
−=
x
xy và đường thẳng 13:)( −−= xyd 
Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): 2
1y
x 1
= + và 
2x(C') : y
2
= 
Bài 3: Cho hàm số x 3y
x 1
+= + . Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y 2 luơn cắt đồ 
thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 
x m= +
Bài 4: Cho hàm số 3 2xy
x 1
−= − . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx 2= + 
cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 
Bài 5: Cho hàm số (1) 2( 1)(y x x mx m= − + + )
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
Bài 6: Cho hàm số (1) 3 23 2= + + + −y x x mx m
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
Bài 7: Cho hàm số (1) ( )3 22 1= − + + +y x m x xm m
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 
dương. 
Bài 8: Cho hàm số ( ) ( )3 22 1 7 2 4 6= − + + − + −y x m x m x m (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 
dương. 
Bài 9: Cho hàm số ( ) ( )3 2 23 1 2 4 1 4 (= − + + + + − +y x m x m m x m m 1) (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 
lớn hơn 1. 
Bài 10: Cho hàm số (1) 4 2 1y x mx m= − + −
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Bài 11: Cho hàm số 4 2(3 1) 3= − + +y x m x m (1) 
Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho các các 
hoành độ giao điểm này lập thành một cấp số cộng . 
Bài 12: Tìm m để đường thẳng y 1= − cắt đồ thị (C) của hàm số tại bốn 
điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2. 
( )4 2y x 3m 2 x 3m= − + +
Bài 13: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y x m= − + cắt đồ thị hàm số 
2x 1y
x
−= tại hai 
điểm phân biệt A,B sao cho AB 4=
Bài 14: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y 2x m= − + cắt đồ thị hàm số 
2x x 1y
x
+ −= tại hai 
điểm phân biệt A,B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. (CTNC) 
Bài 15: Tìm m để đường thẳng ( )y m x 1 2= + − cắt đồ thị (C) của hàm số x 1y
x 1
+= − tại hai điểm 
phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M(1;1)
Bài 16: Tìm m để đường thẳng y x m= − + cắt đồ thị (C) của hàm số 2x 1y
x 2
+= + tại hai điểm phân 
biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. 
Bài 17: Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị (C) của hàm số 
2x mx my
x 1
− + −= +
1 tại hai điểm 
phân biệt A, B sao cho OA OB⊥
b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : 
 Định lý : 
 hệ :
⎧⎪⎨ có nghiệm ' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=
 (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ =⎪⎩
M
O Δ
)( 1C
)( 2C
y
x
Áp dụng: 
Bài 1: Cho và 13:)( 2 −−= xxyP
1
32:)( . Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc 
nhau 
2
−
−+−=
x
xxyC
Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y kx= tiếp xúc với đường cong (C 3 2) : y x 3x 1= + +
Bài 3: Tìm k để đường thẳng ( )(d) : y k x 2 7− − tiếp xúc với đường cong 3 2(C) : y x 3x 2= − + =
Bài 4: Tìm k để đường thẳng ( )(d) : y k x 1 3+ + tiếp xúc với đường cong 2x 1(C) : y
x 1
+
+ = =
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;-5) và tiếp xúc với đường cong 
2x x(C) : y
x 1
− −= +
1 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số (C) 3 22 3y x x= − −1
 Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường 
thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. 
Bài 2: Cho hàm số (1) 4 2 1y x mx m= − + −
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Bài 3: Cho hàm số 
2 2 4
2
x xy
x
− += − (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt 
Bài 4: Cho hàm số 
1
12
+
−−=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt 
Bài 5: Cho hàm số ( )2mx m 1 x 4y (1) 
x 1
+ + += +
 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 4= 
Bài 6: Cho hàm số 
2
1
mx x my
x
+ += − (1) 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có 
hoành độdương . 
Bài 7: Cho hàm số 
2 1
1
x mxy
x
+ −= − (1) 
 Định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao 
cho OA . OB⊥
Bài 8: Cho hàm số 
)1(2
332
−
−+−=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1 
Bài 9: Cho hàm số 
2x 2x 2y
x 1
− += − (C) và đường thẳng (d): y x m= − + . Xác định m để (d) cắt (C) 
tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x 3= + . 
VI.BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 
Cơ sở của phương pháp: 
 Xét phương trình f(x) = g(x) (1) 
 Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và 
 (C2): y=g(x) 
Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m (*) 
y
x
0x
)( 1C
)( 2C
Phương pháp: 
 Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
 ( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định 
 ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox 
 và cắt Oy tại M(0;m)
C y f x
y m
• =
• Δ = Δ
 Bước 2: Vẽ (C) và (Δ ) lên cùng một hệ trục tọa độ 
 Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (Δ ) và (C) 
 Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) 
 Minh họa: 
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1m
2m
my =Δ
O
Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *) 
Phương pháp: Đặt k = g(m) 
 Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
 ( ) : ( ) : (C) là đồ thi cố đinh 
 ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox 
 và cắt Oy tại M(0;k)
• =
• Δ = Δ
C y f x
y k
 Bước 2: Vẽ (C) và (Δ ) lên cùng một hệ trục tọa độ 
 Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của (Δ ) và (C) . 
 Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m 
 Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**). 
x
y
Δ ky =
);0( k
K
1M
O
2K
Minh họa: 
Áp dụng: 
Bài 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 41292 23 −+−= xxxy
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 041292 23 =−−+− mxxx
 3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: mxxx =+− 1292 23 
Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2y 2x 4x= −
 2) Với giá trị nào của m, phương trình 2 2x x 2 m− = cĩ đúng 6 nghiệm phân biệt. 
V.HỌ ĐƯỜNG CONG 
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: 
Cho họ đường cong ( ( m là tham số ) ),(:) mxfyCm =
Biện luận theo m số đường cong của họ đi qua điểm cho trước. )( mC );( 000 yxM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 
Ta có : Họ đường cong đi qua điểm )( mC );( 000 yxM ⇔ ),( 00 mxfy = (1) 
Xem (1) là phương trình theo ẩn m. 
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0
Cụ thể: 
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua 
M0 
• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua 
M0 
• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi 
qua M0 
 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong )( mC
Áp dụng: 
Bài 1: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số mx
mmxy +−++−=
2
1 . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi 
qua điểm A(2;0) (CTNC) 
Bài 2: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc 
đường thẳng y=x+1 
193 23 ++−= xmxxy
Bài 3: Cho hàm số ( )4 2y x m 1 x m= − + + . Chứng minh rằng đồ thị của hàm đã cho luơn đi qua 
hai điểm cố định với mọi giá trị của m 
IV.ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
 CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 TÓM TẮT GIÁO KHOA 
Phương pháp chung: 
Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau: 
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trị tuyệt đối . 
Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối 
 Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 ( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức) 
Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ) 
* Các kiến thức cơ bản thường sử dụng: 
1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối : 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0A nếu 
0A nếu 
A
A
A 
2. Định lý cơ bản: 
 ⎩⎨
⎧
±=
≥⇔=
BA
B
BA
0
3. Một số tính chất về đồ thị: 
a) Đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành 
b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng 
c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 
* Ba dạng cơ bản: 
Bài toán tổng quát: 
Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
)(:)(
)(:)(
)(:)(
3
2
1
xfyC
xfyC
xfyC
Dạng 1: Từ đồ thị )(:)()(:)( 1 xfyCxfyC =→= 
Cách giải 
 B1. Ta có : 
⎩⎨
⎧
<−
≥==
(2) 0f(x) nếu 
(1) 0f(x) nếu 
)(
)(
)(:)( 1 xf
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1) 
Minh họa 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 31 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2 
Dạng 2: Từ đồ thị 2(C) : y f(x) (C ) : y f( x )= → = ( đây là hàm số chẵn , đồ thị 
đối xứng qua trục tung) 
Cách giải 
B1. Ta có : {2 f(x) nếu x 0 (1)(C ) : y f( x ) f( x) nếu x 0 (2)≥= = − < 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy 
 ( do do tính chất hàm chẵn ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đượ (C2) 
 Minh họa: 
x 
 Dạng 3: Từ đồ thị )(:)()(:)( 3 xfyCxfyC =→= 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
2
4
6
8
x
y
-8
-6
-4
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 32 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2 
yy
x
Cách giải 
 B1. Ta có : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎢⎣
⎡
−=
=
≥
⇔=
(2) 
(1) 
)(
)(
0)(
)(:)( 3
xfy
xfy
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3) 
 Minh họa: 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
y=x3-
x
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=-(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4