Chuyên đề ôn luyên - Môn Toán (5)

AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có: 
            ' '
3
, ' , ' , ' ', '
AHD
AHC DVCK AD CK mp AHD C mp AHD C mp AHD
S
    
Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được 
3
' ' ' '
1
. .
3 12
AHC D HC D
a
V AD S  
Page 65 of 130
Xét tam giác AHD có: 2 2
5
' ' ; 2
2
a
DH DC HC AD a    
 2 2
3
2
a
AH AD HD   
2
'
1 3 1 3
os ' sin ' . ' . ' .sin '
2 410 10
AD H
a
c AD H AD H S D AD H AD H          
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là: 
     ' '
3
, ' , '
3
AHD
AHC DV aCK AD CK mp AHD
S
   
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh 
rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. 
HDG: Gọi 1V là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ. 
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có: 
 1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
1 1
. . .
3 3
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
 
  
   
 
     
 
Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng 
1
2
V nên ta có đpcm. 
Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC, 
AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn 
1
3
AP
AB
 . Thiết diện với hình 
chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q. 
1. Chứng minh 
1
.
3
SQ
SC
 
2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương. 
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60 . 
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD) 
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V1, V2. Tìm tỉ 
số 1
2
V
V
. 
HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD): 
 ( )DoAC SBD AC SD   . Kẻ ( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P     
 Vậy (ACM) là thiết diện. 
3. Đặt 1 .D ACMV V 
 Ta có: 
.
.
1
2
S ACM
S DAC
V V SM
V SD
V

  . Gọi N là trung điểm của CD 
 0óc( ) 60HN CD SN CD g SNH     
Page 66 of 130
0 1óc( ) 60 2 . à 2; 3
2
1
5 2
5
HN CD SN CD g SNH HN SN SN DN m HN a HD a SH a
V
SC SD a CM a SM a
V
            

        
Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian. 
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a   . 
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 
2. Chứng minh SBD vuông tại S. 
HDG: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA SB SC a   nên 
 SO mp ABCD . Mà AC BD vì ABCD là hình thoi, nên O BD 
Có:        ,SO SBD SO ABCD SBD ABCD    
Bài 2: Tứ diện SABC có  .SA mp ABC Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác 
ABC và SBC. 
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và    SAC BHK 
2. Chứng minh  HK SBC và    .SBC BHK 
(Bài 2: có đính chính H, K là trực tâm) 
HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC   , theo giả thiết 
 SA mp ABC BH SA   . Nên  BH mp SAC SC BH   
Do K là trực tâm SBC BK SC   
Từ đó suy ra      SC mp BHK mp BHK mp SAC   (đpcm) 
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:  SB mp CHK SB HK   
Mà  SC mp BHK SC HK   . Do đó:      HK mp SBC mp SBC mp BHK   
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông 
góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. 
1. Chứng minh    .SBD SAC 
2. Chứng minh  ||BD mp P 
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA 
vuông góc với (ABCD) nên      SA BD BD SAC SBD SAC     
2. Từ giả thiết suy ra:    P SAC , mà    ||BD SAC BD P  
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax 
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S A ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) 
vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh: 
' , 'AB SB AD SD  và . ' . ' . 'SB SB SC SC SDSD  
HDG: Từ giả thiết suy ra:  , 'SA BC AB BC BC SAB BC AB      
Mà   'SC Q SC AB   . Do đó  ' 'AB SBC AB SB   
Ngoài ra ta cũng có , ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B    nên: 
Page 67 of 130
. ' . '
' '
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
   
Chứng minh tương tự ta được 'AD SD và . ' . 'SDSD SC SC 
Vậy ta có đpcm. 
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và BAC   . Gọi M 
là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc . 
1. Chứng minh ' .C BC   
2. Chứng minh tan os
2
c

 là điều kiện cần và đủ để 'BM MC . 
HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy 
ra: 
1
2
BA AC AN BA CN BCN     vuông tại B nên BN BC . 
Tương tự ta có 'BN BC 
Dễ thấy:    'BN mp MBC mp ABC  , từ trên suy ra     ' , 'C BC ABC MBC   
2. Vì BM là trung tuyến của 'BC N nên: ' 'BM MC NBC  cân đỉnh B 
. os
2' os tan
os 2
sin sin
2 2
BC c
BC BH
BC BN c
c



 
       
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC) 
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA h và vuông 
góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: 
1. SB và CD 
2. SC và BD 
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên BC CD 
Lại có: 
  
 
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA doSA ABCD

   
 
Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và BC a 
2. Gọi O AC BD   AC và BD vuông góc nhau tại O, mà 
SA BD   BD mp SAC . Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD 
và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD 
Ta có: 
 2 2
.
2 2
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC h a
      

Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 .a Gọi G là 
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. 
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M AG BC  
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ABC ABC nên  SG ABC SG BC   , từ đó suy ra 
 BC SAG . 
Trong SAM kẻ  MN SA N SA MN BC    . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung 
của BC và SA. Ta có: 
Page 68 of 130
2 . 3 3
...
4
SAMS SGMA aMN
SA SA
    
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 7 ,a cạnh bên SC 
vuông góc với mp(ABC) và 7 .SC a Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. 
Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 
3
.
3
a
OB  Trên 
đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho .SB a Tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng SA và BD. 
HDG: Dễ chứng minh được  BD SAC (vì ,BD AC BD SO  ) 
Trong mp(SAC) kẻ  OI SA I SA   OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD. 
Ta có: 2 2
6 2 3
3 3
a a
SO OA SA SO OA      
2 . 3
...
3
SOAS SOOA aOI
SA SA
     
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc 60BAD  . 
Đoạn 
3
4
a
SO  và SO vuông góc với mp(ABCD). 
1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC). 
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD) 
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là .a Gọi E, F và M lần lượt là 
trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). 
Tính osc  
HDG: Ta có: 2 2 2 2 2
2 6
A ,
2 2
a a
EF AE F ME MF MC CB BF        
Gọi I EF AC MI EF    . Mà    ,MI EF AC MEF ABCD EF    nên:góc 
giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) là MIC   
Do đó: 
2 2
3
3 114os ..
11IF
AC
IC
c
IM MF
    

Bài 12: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại 
A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt , .BM u DN v  Chứng minh rằng: 
   23 3a u v uv a   
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 30 . 
HDG: Ta có: 2 2 2 2 2 2;AM a u AN a v    
      
2 22 2 2 22 2MN a u a v a u v a u v         
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc MAN   
Do đó: 
2 2 2
30 os os30
2 .
AM AN MN
c c
AM AN
 
 
    
Page 69 of 130
 
   
 
2 2 2 2
2 22 2
2
3
2 .
3
3 3
a u v
a u a v
a uv a u v
a u v uv a

 
 
   
   
Page 70 of 130
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP VỀ ĐƯỜNG 
THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. 
Bài 1: 
 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1) 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG 
b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C. 
 CMR: ABC là tam giác đều. 
Bài 2: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng 
(d): 
 ( ) : 7 0P x y z    ; 
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
   

  
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P). 
Bài 3: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0 
 và 2 đường thẳng: 
 1 2
3 1 4 3
( ) : à ( ) :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d v d
   
   

a) CM: 1 2( ) à ( )d v d chéo nhau. 
b) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) cắt cả 1 2( ) à ( )d v d 
Bài 4: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M( 5;2;-3) và mặt phẳng 
 ( ) : 2 2 1 0P x y z    
1) Xác định hình chiếu của 1M của M lên (P). 
2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng: 
Page 71 of 130
1 1 5
( ) :
2 1 6
x y z  
  

Bài 5: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0) 
Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một 
 góc bằng 
030 . 
Bài 6: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình 
 1 2
3 1 01
( ) : à ( ) :
2 1 01 2 1
x zx y z
d v d
x y
  
  
  
a) CM: 1 2( ) à ( )d v d chéo nhau. 
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 1 2( ),( )d d và song song với 
4 7 3
( ) :
1 4 2
x y z  
  

Bài 7: 
 Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình: 
 1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
        
 
       
 và điểm A( 3;2;5). 
a) Tìm tạo độ điểm 
'A đối xứng với A qua 1( )d . 
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua 1( )d và song song với 2( )d . 
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 2( ) à ( )d v d . 
Bài 8: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương 
 trình: 
Page 72 of 130
 1 2
5 2
7 0
( ) : 1 à (d ) :
2 3 16 0
5
x t
x y z
d y t v
x y z
z t
 
   
  
     
a) CM: 1( )d song song với 2( )d . 
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 2( ) à ( )d v d 
Bài 9: 
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng 1 2( ),( )d d và mặt 
phẳng (P) có phương trình: 
 1 2
1 1 2 2 2
( ) : à ( ) :
2 3 1 1 5 2
x y z x y z
d v d
    
   

 ( ) : 2 5 1 0P x y z    
a) CM:. 1 2( ) à ( )d v d chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng. 
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P), cắt cả 1 2( ),( )d d . 
Bài 10: 
 Cho điểm A( 3;-2;5) và đường thẳng 
2 3 0
( ) :
3 2 7 0
x y z
d
x y z
   

   
a) Viết phương trình tham số của (d) 
b) Gọi 
'A là hình chiếu của A lên (d). Tìm tọa độ của 
'A . 
Page 73 of 130
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 05 
Bài 1: 
 ( )) ( ) ê (1;1;1;)Pa Do OG P n n n OG   
( ) :1( 1) 1( 1) 1( 1) 0 ( ) : 3 0P x y z hay P x y z          
0
) ì Ox : (3;0;0)
0
y
b V A
z



 Tương tự : (0;3;0) à (0;3;0)B v C 
Ta có: AB=BC=CA=3 2 ABC là tam giác đều 
Bài 2: Đường thẳng ( )d  cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt 
phẳng (Q) chứa (d) và có VTCP là ( )Pn 
( ) ( ) ( ). ( )ó : (1; 4;2) à M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5)
( ) : 6( 2) 5( 1) 0 6 5 7 0
6 5 7 0
ình hình chiê u ( ) :
7 0
d Q d PTa c u v n u n
Q x y z hay x y z
x y z
H d
x y z
        
 
         
   
  
   
Bài 3: 
   
   
1 2
1 2
( ) ( ) 1 1 2 2
( ) ( )1 2 1 2 1 2
) ó : ( 1;2;3) (1;1;2) à (0;3; 1) ; (4;0;3)
(4; 3;4) . . 23 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
     
        
 
1 2) ( ) ( 2;7;5) à ( ) (3; 1;1)
2 7 5
: ( ) :
5 8 4
b GS d P A A v d P B B
x y z
KQ AB
       
  
  
 
 Bài 4: 
1( ) 1 1 1
5 2
) ó : (2;2;1) à MM : 2 2 à MM ( )
3
P MM
x t
a Ta c n u v y t m M P
z t
 

      
   
Page 74 of 130
12(5 2 ) 2(2 2 ) ( 3 ) 1 0 2 à (1; 2; 1)t t t t v M             
( ) 0 0
( ) ( )0
) ó: (2;1; 6) à (1;1;5) ( ) (4;1; 8)
. (1;4;1) ( ) : 4 10 0Q
b Ta c u v M M M
n M M u Q x y z


      
        
 
Bài 5: 
 Giả sử mặt phẳng cần có dạng : 
( ) ( )0
( )
( ) ( )
( ) : 1( , , 0)
( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1
3 1
1 1 . 3 2
( ) ( ; ;1) à (0;0;1) os30
3 2.
( ) : 1
3 13 2
2
xOy
xOy
xOy
x y z
a b c
a b c
x y z
Do I c v do K a
b
n n
n v n c b
b n n
x y z



  


   
         
       
   
 Bài 6: 
   
   
1 2
1 2
( ) ( ) 1 1 2 2
( ) ( )1 2 1 2 1 2
) ó : (1;2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1)
(0;2;1) . . 8 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
     
       
 
   
1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1
2 1 1 2 1 2
( )
1 2
) ( ; 1 2 ; ) à ( ;1 2 ;1 3 )
( ;2 2 2 ;1 3 )
1 3 1
1 2 2
2; 1 2;3;2 : 1; 1;4
4 7 3
: ( ) :
1 4 2
b GS d d A A t t t v d d B B t t t
AB t t t t t t
t t t t t t
Do d song song u AB
t t A B
x y z
KQ d

         
      
    
    
    
  
  

 Bài 7: 
a) Gọi I là hình chiếu của A lên (d) 
(2 ; 1 ; ) ( 2; 1; 5)I t t t AI t t t         
Page 75 of 130
1( )
4
. 0
3
dDo AI u t   
 Áp dụng công thức trung điểm ta có kết quả: ( 15; 12;11)A   
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
) (1; 1; 1); (1; 2;2) . ( 4; 3; 1)
(4;3;1)
d d Q d d
Q
b Do u u n u u
Hay n
           
 

Mặt khác: 
1 2(2; 1;0) ; (0; 25;11)
( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0
I d J d
Q x y z hay Q x y z
   
          
1 1
1 1
( ) ( )
1 2
( ) ( )
. .IJ 69
) ó : ( ) IJ ( 2; 24;11)
26.
d d
d d
u u
c Ta c d d d
u u
 
 
     
 
 
Bài 8: 
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 1 2) ì : (2; 1; 1) à ( 2;1;1)d d d da V u v u u u d song song d        
 b) Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có: 
1
1 2
( ) ( )
(5;1;5) ; (5;2;0) (0;1; 5)
à . (0;1; 5) ( ) : 3( 5) 5( 1) 5 0
( ) :3 5 25 0
Q d
M d N d MN
v n u MN Q x y z
hay Q x y z
    
          
 
   
 Bài 9: 
   
   
1 2
1 2
( ) ( ) 1 1 2 2
( ) ( )1 2 1 2 1 2
) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1;2) ; (2; 2;0)
(3; 3; 2) . . 62 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
      
         
 
1 2
1 2
1 2
. .MN 62
ó : ( )
195.
u u
Ta c d d d
u u
 
 
  
 
 
Page 76 of 130
1 1 1 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
( )
) (2 1;3 1; 2) à
( 2;5 2; 2 ) ( 2 3;5 3 3; 2 2)
2 3 5 3 3 2 2
( ) (2; 1; 5)
2 1 5
1 4 3
: ( ) :
2 1 5
P
b GS d A A t t t v d B
B t t t AB t t t t t t
t t t t t t
Do P n AB
x y z
KQ
       
            
      
         
 
  
   
 
 Bài 10: 
( ) 1 2
( )
) ó: . (8; 4;2) à ( 8;5;0) ( )
8 4
( ) 5 2
) ( ) ( 8 4 ;5 2 ; ) (4 11;7 2 ; 5)
à . 0 3 (4; 1;3)
d
d
a Ta c u v v m M d
x t
d y t
z t
b Do A d A t t t AA t t t
M AA d u AA t A
     
 
  

  
 
           
        
Hết. 
Page 77 of 130
 ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 6 
 Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, vecto. 
Bài 1: ( Đề thi ĐHCĐ khối A-2007) 
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên (SAD) là tam 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là các 
trung điểm của SB,BC,CD. Tính thể tích tứ diện CMNP=? 
Bài 2: 
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’=h. 
Tính thể tích tứ diện BDD’C’=? 
Bài 3: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh 
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ. Trên cạnh SA lấy 
điểm M sao cho 
3
3
a
AM  . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tìm thể tích khối 
chóp S.BCNM=? 
Bài 4: ( Đề thi TS ĐH Hùng Vương) . 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a và SA vuông góc với 
mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD=? 
Bài 5: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt 
phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung diểm của CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S 
đến đường thẳng BE=? 
Bài 6: 
Trong không gian cho tứ diện OABC với (0;0; 3), ( ;0;0)A a B a và 
(0; 3;0); 0C a a  . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
AB và OM=? 
Bài 7: ( Đề thi TS CĐSP Tây Ninh-2006) 
 Cho trong mặt phẳng (P) hình vuông ABCD cạnh a. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng 
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên d lấy điểm S sao cho: 
3
2
a
SI  . 
a)Tính thể tích hình chóp S.ACD=? 
b)Tìm khoảng cách từ C đến (SAD)=? 
Bài 8: 
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bằng a và đường chéo 
Page 78 of 130
BD=a. Cạnh 
6
2
a
SC  vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 
CMR: Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau. 
Bài 9: 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
 Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’=? 
Bài 10: ( Đề thi TSĐH 2003 – Khối A) 
 Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D . 
 Tính số đo của góc phẳng nhị diện :  1, ,B AC D =? 
 .Hết 
Page 79 of 130
 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 06 
 Giải toán hình học KG bằng PP Tọa độ của điểm, vecto. 
 (Các em tự vẽ hình vào các bài tập) 
 Trước hết chúng tôi xin có một lưu ý nhỏ khi giải các bài toán loại này như sau: 
Với loại bài tập này xin khẳng định việc tính toán hoàn toàn không khó, song các bạn cần 
chọn góc tam diện cho phù hợp. Để thuận lợi cho việc này chúng tôi đưa ra cho các bạn 2 
nguyên tắc như sau: 
 Có 3 tia chung gốc, không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau. 
 Nếu ta đứng thẳng theo chiều dương của trục Oz, mắt hướng theo 
chiều dương của trục Oy thì khi giơ tay phải vuông góc với thân 
người ngón tay sẽ chỉ chều dương của trục Ox 
Bài 1: Gọi O là trung điểm của AD . Chọn hệ trục Oxyz sao cho: 
 (O, Ox, Oy, Oz) trùng với (O,OD,ON,OS). 
 Ta có: 
3
; ; ), (0; ;0), ( ; ;0)
4 2 4 2 2
3
( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ;0;0), (0;0; )
2 2 2 2 2
(
a a a a a
N a P
a a a a
A B a C a D S a
M
 

Vì: 
1
. .
6
CMNP CM CN CPV     với 
2 23
. (0; ; )
8 4
a a
CM CN    và 
( ; ;0)
4 2
a a
CP   
 Vậy: 
3 3
96
a
CMNPV  
Bài 2: Chọn góc tam diện là (A, AB, AD, AA’) ta có: 
 ( ; ;0); ' ( ; ; ); ' (0; ; )BD a a BD a a h BC a h     
 Mà : 
1
DD' ' . ' '
6
B C BD BD BCV     với . ' ( ; ;0)BD BD ah ah
    
 Vậy : 
2
DD' '
6
ha
B CV  
Bài 3: Gọi S(a;0;x) ( ;0; )SB a x   
Page 80 of 130
  0 0 060 ,( ) 90 , , 30( ) ( )SB ABCD SB SBABCD ABCDn n
   
        
   
0
2 2
.
os30 3
.
SB n x
c x a
SB n x a
   

Vì: 
1 1
. . .
6 6
S BCMN SM SC SB SM SC SNV         
 Chọn góc tam diện là (A,AB,AD,AS) 
 Ta có:  . (1;0; 3) : 3 3 0( ) BCMN BCM x z aBCMn         
 Tìm giao của (BCM) với (SD) trong đó : 
0
2 3
( ) : (0; ; )
3 3
3
x
a a
SD y a at N
z a t
 

   

 
 Ta có: 
2 2
2 2 3
2 3 2 3
. ; ;0
3 3
1 2 3 4 3 10 3
.
6 3 9 27
a a
SM SC
a a a
S BCMNV
 
       
 
 
    
 
Bài 4: Chọn góc tam diện là: (A,AB,AD,AS) ta có: 
3
2 2 2
4 4 4
. 6
( , ) ; . ( ; ;2 ) ( , )
62.
SC BD BC a a
d SC BD SC BD a a a d SC BD
a a aSC BD
 
           
 
Bài 5: Chọn góc tam diện là: (O;OB;OC;OA) 
4
4 4
2
2 2
2
2
. 3 54( ) ; . ( ; ; ) ( )
2 5
4
a
a aSB BE a a
d S BE SB BE a a d S BE
BE a
a
  
             