Chuyên đề Phương pháp giải phương trình vô tỷ

Nhiệt liệt chào mừngCác thầy cô giáo và các em học sinhVề dự buổi hội thảo chuyên đề của tổ Toán – Tin Trường THPT Yên Mô BPhương trình vô tỷ là loại toán rất quen thuộc và rất hay gặp trong các đề thi Đại học và là một phần quan trọng trong chương trình Đại số ở lớp 10 THPT. Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi đại học cho các em học sinh tôi thấy việc giải phương trình vô tỷ rất quan trọng đối với học sinh THPT bởi vì việc giải phương trình vô tỷ giúp cho học sinh rèn được kỹ năng giải toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn. Giải tốt phương trình vô tỷ học sinh nâng cao được tư duy và vận dụng để hiểu các nội dung khác trong chương trình toán THPT. Sau đây là một số dạng toán và phương pháp giải phương trình vô tỷ mà tôi đã giảng dạy và ôn luyện thi Đại học tuy kinh nghiệm chưa được nhiều lắm nhưng các em học sinh học tập có nhiều hứng thú và góp phần tỷ lệ đỗ Đại học cao. Tôi cũng không tham vọng gì nhiều chỉ mong đóng góp một chút kiến thức xây dựng tổ chuyên môn. Tôi xin đưa ra chuyên đề “Phương pháp giải phương trình vô tỷ” mong các đồng nghiệp tham khảo và góp ý để chuyên đề này được hoàn chỉnh và sớm được ứng dụng trong việc giảng dạy của Nhóm Toán.1. Phương pháp nâng bậc2. Phương pháp nhân liên hợp3. Phương pháp phân tích nhân tử đưa về dạng đẳng cấp4. Phương pháp hằng đẳng thức5. Phương pháp sử dụng hàm số đồng biến, nghịch biến6. Phương pháp đánh giá10. Phương pháp sử dụng bảng biến thiên của hàm số giải phương trình có tham số7. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn8. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về phương trình bậc hai9. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về hệ phương trình đối xứngMột số phương pháp giải phương trình vô tỷ1. Phương pháp nâng bậc hai vế của phương trìnhA. Phương pháp giảiB. Ví dụ minh họaGiải phương trình:ĐK: 2. Phương pháp nhân liên hợpA. Phương pháp giải: Trong phương trình có số chẵn căn bậc hai mà trong đó hiệu hai biểu thức trong căn bậc hai của từng cặp luôn bằng nhau hoặc trong phương trình có hai căn bậc hai mà hiệu hai biểu thức trong căn là bội của biểu thức ngoài căn khi đó ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp B. Ví dụ minh họaGiải phương trình 	 (1)LG: ĐK phương trình đã cho tương đương với 	(vì x + 3 > 0) cộng vế với vế của (1) và (2) ta suy ra bình phương hai vế được phương trình bậc hai: x2 - 344x + 684 = 0Giải ra được hai nghiệm x = 2; x = 342 đều thỏa mãn(2)Giải phương trình 	 (1)LG: ĐK phương trình đã cho tương đương với 	(vì x + 3 > 0) cộng vế với vế của (1) và (2) ta suy ra bình phương hai vế được phương trình bậc hai: x2 - 344x + 684 = 0Giải ra được hai nghiệm x = 2; x = 342 đều thỏa mãn3. Phương pháp phân tích nhân tử (phương trình đẳng cấp bậc 2)A. Phương pháp giảiĐưa phương trình về dạng au2 + buv + v2 = 0 Xét v = 0 nếu thỏa mãn thì v = 0 là một trường hợp thỏa mãn giải phương trình v = 0 được nghiệmTrường hợp v 0 chia cả hai vế cho v2 được phương trình bậc 2 ẩn là B. Ví dụ minh họa: Giải phương trình LG: ĐK x -1.Phương trình tương đương với So sánh điều kiện phương trình có hai nghiệm là 4. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thứcA. Phương pháp giải: Từ đẳng thức Ta cóTrong phương trình có 3 đến 4 căn bậc 3. mà trong đó tổng tất cả các biểu thức trong căn của vế này bằng biểu thức trong căn của vế kia ta đặt ẩn phụ để sử dụng hằng đẳng thức trênTừ nhận xét này ta có thể giải được những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Giải phương trình sau :Giải . Ta đặt : 	 	 khi đó ta có : B. Ví dụ minh họa: 5. Phương pháp sử dụng hàm số đồng biến, hàm số nghịch biếnA. Phương pháp giảiĐưa phương trình về dạng f(u) = f(v) trong đó hàm f là hàm đồng biến hoặc nghịch biến. Hoặc đưa về phương trình dạng f(x) = 0 với f là hàm đồng biến hoặc nghịch biến B. Ví dụ minh họaGiải phương trình: LG: ĐK x 2. xét hàm số có suy ra f(x) là hàm số đồng biến nên phương trình đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất. Mặt khác ta thấy là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất6. Phương pháp đánh giá để giải phương trìnhSử dụng các bất đẳng thức, sử dụng hằng đẳng thức đưa về bình phương của biểu thức để chứng minh vế này nhỏ hơn hoặc bằng vế kia, dấu bằng xảy ra khi hai vế đạt tại giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất A. Phương pháp giảiB. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Giải phương trình LG: ĐK Ta có VP = (x - 1)2 + 4 4 dấu bằng khi x = 1. VT = Dấu bằng xảy ra khi Vậy VT VP nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 1A. Phương pháp giảiB. Ví dụ minh họa7. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toànNếu có một biểu thức mà tất cả các biểu thức khác đều tính được theo biểu thức đó thì ta đặt làm ẩn phụ.Chú ý điều kiện chính xác nhằm mục đích sau khi giải được phương trình theo ẩn phụ ta loại nghiệm cho đỡ phải giải những phương trình vô nghiệm Sau khi thay vào phương trình ta được phương trình mới không còn ẩn cũ nữa.Ví dụ 1: Giải phương trình LG: ĐK x 4. Đặt t = ĐK t ta được phương trình t2 - t - 12 = 0 chỉ có t = 4 thỏa mãn. Với t = 4 ta đượcVậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5.Chú ý: việc đặt điều kiện cho ẩn phụ rất quan trọng cho việc loại nghiệm rất nhiều học sinh thường quên hoặc đặt điều kiện sai. Đối với bài tập biện luận phương trình chứa tham số lại rất quan trọng vì điều kiện sai dẫn đến bài làm saiĐối với học sinh lớp 10 chỉ cần sử dụng hằng đẳng thức đánh giá để tìm điều kiện nhưng đối với học sinh lớp 12 phải dùng khảo sát hàm số để tìm điều kiện vì tính liên tục của ẩn phụ để bài làm chặt chẽVí dụ 2: Giải phương trình LG: ĐK Đặt t =Lại có Theo cách đặt ta có phương trình đã cho đưa về t2 + 2t - 15 = 0 	 với t = 3 Ví dụ 3: Giải phương trình LG: ĐK Đặt đưa về hệ Giải ra ta được vậy phương trình đã cho có 3 nghiệmVí dụ 4: Giải phương trình LG: ĐK Đặt với Ta được phương trình 4t4 +12t2 - 7 = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = 5 Ví dụ 5: Giải phương trình: LG: ĐK x > 0 Đặt 	 ĐK khi đó thay vào phương trình đã cho ta được phươngtrình 5t = 2(t2 + 1) đối chiếu điều kiện chỉ có t = 2 thỏa mãn. thay t = 2 được Ví dụ 6: Giải phương trình:LG: ĐK Đặt Được Với u = v giải ra được x = Với u + v = 1 giải ra ta được x = 0 hoặc x = 1A. Phương pháp giảiB. Ví dụ minh họa8. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về pt bậc 2 Trong phương trình có các biểu thức chứa căn nhưng khi nâng bậc được phương trình bậc cao khó giải. Hoặc đặt ẩn phụ thì phương trình có cả ẩn phụ và ẩn cũ mà phương trình này là phương trình bậc 2 theo ẩn mới có biệt thức là bình phương của biểu thức chứa ẩn cũ.Ví dụ 1: Giải phương trình LG: Đặt ta được phương trình t2 - 2(1-x)t - 4x = 0Giải ra ta được t = 2 hoặc t = -2xVới t = 2 ta có x2 + 2x - 5 = 0 giải ra được 2 nghiệm hoặc với t = - 2x thay vào ta giải thấy không thỏa mãn vậy phương trình đã cho có hai nghiệm hoặc Ví dụ 2: Giải phương trình Với x > 0.LG: ĐK: Đặt ta đượcVới ta được + Cách giải: Đặt từ đó phương trình chuyển thành hệ9.Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về hệ pt đối xứng 1. Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:VớiSau đó giải hệ (1)(1)Nhận xét: Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng: là chọn được 2. Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba Với+ Cách giải: Đặt khi đó pt được chuyển thành hệ: Ví dụ 1: Giải phương trình LG: ĐK x -1 phương trình Đặt (1) Từ cách đặt thay vào phương trình đã cho ta có y + 2 = (x + 2)2 + 1 hay y + 1 = (x + 2)2 (2) kết hợp (1) và (2) ta có hệ (x - y)(x + y + 5) = 0 từ (1) và (2) ta suy ra x + y + 5 > 0 nên ta có x = y thay vào hệ vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. (1)Ví dụ 2: Giải phương trình LG: ĐK phương trình đã cho tương đương với Đặt (1). Thay vào phương trình đã cho ta được (2). Từ (1) và (2) ta có hệ (x - y)(2x + 2y - 5) = 0 Với y = x ta có 3x + 1 = 4x2 - 8x + 4 4x2 - 11x + 3 = 0 Với ta được 3x + 1 = (3 - 2x)2 hay 4x2 - 15x + 8 = 0 vậy phương trình đã cho có nghiệm ; 10. Phương pháp sử dụng bảng biến thiên hàm số để giải và biện luận phương trình chứa tham số.A. Phương pháp giảiB. Ví dụ minh họaCô lập tham số, lập bảng biến thiên hàm số ở vế không chứa tham số trên tập điều kiện của phương trình. Từ bảng biến thiên ta suy ra điều kiện của tham số.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: LG: ĐK x 1, Đặt 	Vì hàm số 	 là hàm đồng biến trên nên phương trình có nghiệm duy nhất (1)khi đó ta được phương trình: 6t = t2 - 6 + m -t2 + 6t + 6 = m. Lập bảng biến thiên hàm số f(t) = -t2 + 6t + 6 trên Kết hợp (1) và bảng biến thiên của hàm số f(t) = -t2 + 6t + 6 trên phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi Xin chân thành cảm on các thầy cô giáo và các em học sinh đã tham gia