Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
	Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP 
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành công của bài toán)
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Các dạng toán thường gặp:
Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, 
Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, 
Bài toán cực trị, quỹ tích.
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vuông
z
A
y
C
N
O
M
a
x
B
Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC=, (a>0) và đường cao OA=. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0),
, gọi N là trung điểm của AC Þ.
MN là đường trung bình của tam giác ABC Þ AB // MN
	Þ AB //(OMN) Þ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)).
, với .
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến 
O
A
C
N
M
a
B
Ta có: . Vậy, 
	Cách 2:
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.
Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình).
	Þ OM // (ABN)
	Þ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)).
Dựng 
Ta có: 
Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
. Vậy, 
b. Dạng khác
Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).
x
4
z
y
M
B
A
H
S
C
K
I
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
 A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0).
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy 
 (1).
, suy ra:
ptts SB: , SC: và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
 = 
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K.
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của DABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o.
Cách 1:
z
x
x
y
C
B
A
E
F
G
M
Gọi M là trung điểm của BC .
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G lên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông 
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0), B(a;0;0), 
C(0; a; 0), .
, với 
 với .
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến .
Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o.
G
M
C
S
I
A
B
Vậy, 
Cách 2:
Gọi M là trung điểm của BC (DABC vuông cân)
Ta có: . Suy ra: 
Dựng và là góc phẳng nhị diện (B; SA; C).
 cân tại I.
.
.
Ta có: .
	Vậy, 
Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm . Gọi I là trung điểm của BC, ta có:
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:
z
a
x
y
h
M
N
O
I
C
A
B
S
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), , ,
, và .
, 
.
2. Hình chóp tứ giác
	a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông.
	b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
z
x
y
A
D
D'
C'
B
B'
C
A'
	c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0), 
3. Hình lăng trụ đứng
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
Ví dụ: 1. Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD).
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O º A; B Î Ox; D Î Oy và A' Î Oz .
 	Þ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)Þ Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = 0
	 ÞPháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): và .
	Vậy AC' vuông góc với (A'BC)
2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.
Giải
Cách 1: 
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên 
A’
C’
B’
A
B
C
D
x
a
z
y
	Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0), 
Ta có: 
, với 
Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến : 
 Vậy, 
Cách 2:
A’
B’
C’
C
B
A
F
D
H
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên 
	Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều.
Ta có: .
	.
Ta có: 
Dựng 
Vì 
DA’FD vuông có: 
Vậy, 
x
y
z
A
B
C
D
3. Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Lời giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A º O.
D ÎOx; C Î Oy và B Î Oz
Þ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Þ Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
Û 3x + 3y + 4z - 12 = 0.
Suy ra khoảngr cách từ A tới mặt phẳng (BCD).
II. Lyuyện tập
Bài 1: Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đề bằng 1, O là trọng tâm của tam giác DABC. I là trung điểm của SO.
Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.
H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của DSAC. 
Lời giải
x
1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là gốc tọa độ. AÎOx, SÎOz, BC//Oy
Þ;;;;
z
x
y
I
O
H
A
C
S
G
N
Ta có: ;;
Þ Phương trình mặt phẳng (IBC) là: 
Hay: mà ta lại có: .
Phương trình đường thẳng SA: .
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: .
Thay (1), (2), (3) và (4):
M
z
x
y
I
O
B
A
C
S
;
Þ M nằm trên đoạn SA và .
2. Do G là trọng tâm của tam giác DASC 
Þ SG đi qua trung điểm N của AC
Þ GI Ì (SNB) Þ GI và SB đồng phẳng (1)
Ta lại có 
Từ (1) và (2) .
Bài 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
c
z
b
y
a
x
3
H
O
C
B
A
M
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d(M, (OAB)) = 3 Þ zM = 3.
Tương tự Þ M(1; 2; 3).
Þ (ABC): 
 (1). (2).
 .
(2).
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD=a, AC=b, B=c. Tính diện tích của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng .
x
y
z
A
B
C
D
Giải 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a).
Theo bất đẳng thức Cachy ta có:
Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác đề cạnh a. AA1 = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1; M di động trên cạnh AA1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1D.
Lời giải
z
x
C
C1
M
A
A
B
B
D
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho AºO; BÎOy; A1ÎOz. Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)
và D(0;a;a)
Do M di động trên AA1, tọa độ M(0;0;t) với t Î [0;2a]
Ta có : 
Ta có: 
Giá trị lớn nhất củatùy thuộc vào giá trị của tham số t.
Xét f(t) = 4t2 - 12at + 15a2
f(t) = 4t2 - 12at + 15a2 (t Î[0;2a])
 f '(t) = 8t -12a
Lập bảng biến thiên ta được giá trị lớn nhất củakhi t =0 hay M º A.
Chú ý
+ Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy.
+ Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật.
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC
Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2. Cho DABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của DABC.
2. Chứng minh 
3. Chứng minh 
4. Chứng minh 
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tính góc j giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm .
3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2, .
1. Tính độ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một.
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có DABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).
4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD.
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
3. Tính cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBD) và (SCD).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng (a) đi qua AB và vuông góc với SC.
1. Tìm điều kiện của h theo a để (a) cắt cạnh SC tại K.
2. Tính diện tích DABK.
3. Tính h theo a để (a) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD.
1. Tính diện tích DSBE.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cm. Mặt phẳng (a) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD.
2. Chứng minh BD song song với (a).
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của .
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).
2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
4. Tìm điều kiện của a và b để . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.
1. Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD).
2. Mặt phẳng (a) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ (a) cắt các cạnh SB, SD.
3. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng (a) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại .
1. Chứng minh đều.
2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m .
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Cho , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAK) và (SBK).
3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.
3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D].
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’).
2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k 
 a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
 b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB.
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD).
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp .
4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 
2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông.
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng (a) qua B và vuông góc với B’C.
1. Tìm điều kiện của a, b, c để (a) cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’).
2. Cho (a) cắt CC’ tại I.
 a. Xác định và tính diện tích của thiết diện.
 b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy.
-----------------------------